河北省衡水中学2017届上学期高三年级五调考试(理数).doc

河北省衡水中学2017届上学期高三年级五调考试
数学（理科）
本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，，
则图中阴影部分表示的集合为
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，则表示
复数的点是
A． B． C． D．
3．如图所示，墙上挂有边长为的正方形木板，它的四个角的空
白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向
此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能
性都一样，则他击中阴影部分的概率是
A． B． C． D．与的取值有关
4．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：

经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为
A．45 B．60 C.55 D．50
5．已知焦点在轴上的双曲线的中点是原点，离心率等于.以双曲线的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为
A． B． C. D．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B．35
C. D．
7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为
（参考数据：,,）
A．12 B．4
C. 36 D．24
8．如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点
从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直
线与轴交于点，则函数的图象大致为
9．三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是
A． B． C. D．
10. 在中，角，，的对边分别为，，，且.若的面积，则的最小值为
A． B． C. D．3
11．已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是
A． B． C. D．
12．已知直线分别与函数和交于两点，则之间的最短距离是
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若的展开式中含有常数项，则的最小值等于________.
14．已知抛物线方程为，焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为，若的面积为，则的值为__________.
15．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.
16．若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是___________.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
设数列的前项和为，,且为等差数列的前三项.
（Ⅰ）求数列,的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）
某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：

（Ⅰ）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；
（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？

下面临界值表供参考：

参考公式：，其中.
19.（本小题满分12分）
已知在三棱柱中，侧面为正方形，延长到，使得，平面平面，，.
（Ⅰ）若分别为，的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）
已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于
两点，直线交圆于两点，且为的中点，
求面积的取值范围.

21.（本小题满分12分）
已知函数，且曲线与轴切于原点.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若恒成立，求的值.

请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求出相应点的坐标.

23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲
已知实数，函数的最大值为3.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设函数，若对于均有，求实数的取值范围.
数学（理科）参考答案
一、选择题
（1）B （2）C （3）A （4）B （5）D （6）C （7）D （8）A
（9）C （10）A （11）D （12）B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）
17.解：（Ⅰ），
，
，即，
又，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，…………2分
，
，整理得，得，…………4分
数列是以1为首项，以3为公差的等差数列.
………………6分
（Ⅱ），设的前项和为，
…………①
…………②…………8分
① —②得
…………10分
整理得：………………12分
18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失元”为事件.
由，得，频数为…………4分
（Ⅱ）联表：

非重度污染
重度污染
合计
供暖季

非供暖季

合计

…………8分
的观测值.
所以有的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分
19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）取的中点，
连接，在中，为中位线，
.平面，平面，
同理可得平面，…………2分
又，所以平面平面，
平面，平面.…………4分
（Ⅱ）连接，在中，
，
所以由余弦定理得是等腰直角三角形，且，
又因为平面平面，平面平面平面，平面，，…………7分
又因为侧面，为正方形，，以为坐标原点，分别以所在直线作为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系

设，则，
………………8分
设平面的一个法向量为，则，，即，令，则，
为平面的一个法向量. ………………9分
设平面的一个法向量为，
则
令，
为平面的一个法向量，………………10分
所以，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值.………………12分
20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆的右焦点，………1分
在椭圆上，，…………2分
由得，所以椭圆的方程为.…………4分
（Ⅱ）由题意可得的斜率不为零，当垂直轴时，的面积为，…5分
当不垂直轴时，设直线的方程为：，则直线的方程为：，由消去得，
所以，…………7分
则，………………8分
设圆心到的距离为得，…………9分
又，所以点到的距离等于点到的距离，设为，则，………………10分
所以面积
，…………11分
令，则，
综上，面积的取值范围为.…………12分
21.解：（Ⅰ）
，…………1分
，又.………………4分
（Ⅱ）不等式，
整理得，
即或，…………6分
令.
当时，；当时，，
在单调递减，在区间内单调递增，，
即，所以在内单调递增，而；
.
当或时，；
当时，.
由恒成立，可得当或时，，
当时，，故和是方程的两根，
从而.…………12分
22.解:（Ⅰ）由，得，代入，
得直线的普通方程.
由，得
.…………5分
（Ⅱ）的直角坐标方程为.
设，则.

当，即或时，上式取最小值.
即当或时，的最小值为.…………10分
23.解：（Ⅰ），…………2分
所以的最大值为，
.………………4分
（Ⅱ）当时，，…………6分
对于，均有等价于，成立，
的对称轴为，
在为减函数，
的最大值为，…………8分
，即，解得或，
又因为，所以.
实数的取值范围是………………10分

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