江苏省苏州市2018届高三上学期期中考试数学.doc

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苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试·数学　第页(共6页)
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苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试
数学一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{2，3}，则A∩(∁UB)＝________．
2. 函数y＝的定义域为______________．
3. 设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
4. 已知幂函数y＝x2m－m2(m∈N*)在(0，＋∞)是增函数，则实数m的值是________．
5. 已知曲线f(x)＝ax3＋ln x在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则实数a的取值是________．　
6. 已知在等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则＝________．
7. 函数y＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值是________．
8. 已知奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式>0的解集是________．　
9. 已知tan＝2，则cos2α的值是________．
10. 若函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域为[6，＋∞)，则实数a的取值范围是________．　
11. 已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝(n∈N*)，则b1·b2·…·b2 017＝________．　
12. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若b＝acosC＋csinA且CD＝，则△ABC面积的最大值是________．
13. 已知函数f(x)＝sin，若对任意的实数α∈，都存在唯一的实数β∈[0，m]，使f(α)＋f(β)＝0，则实数m的最小值是________．
14. 已知函数f(x)＝若直线y＝ax与y＝f(x)交于三个不同的点A(m，f(m))，B(n，f(n))，C(t，f(t))(其中m<n<t)，则n＋＋2的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共6个小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知函数f(x)＝－sin＋＋b(a>0，b>0)的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为.
(1) 求a，b的值；
(2) 求f(x)在上的最大值和最小值．

16. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinB＋sinC＝msinA(m∈R)，且a2－4bc＝0.
(1) 当a＝2，m＝时，求b，c的值；
(2) 若角A为锐角，求实数m的取值范围．
17. (本小题满分15分)
已知数列{an}的前n项和是Sn，且满足a1＝1，Sn＋1＝3Sn＋1(n∈N*)．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 在数列{bn}中，b1＝3，bn＋1－bn＝(n∈N*)，若不等式λan＋bn≤n2对n∈N*有解，求实数λ的取值范围．

18. (本小题满分15分)
如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB为2米，梯形的高为1米，CD为3米，上部是个半圆，固定点E为CD的中点．MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计)，且滑动过程中始终保持和CD平行．当MN位于CD下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH(阴影部分均不通风)．
(1) 设MN与AB之间的距离为x米，试将通风窗的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数y＝S(x)；
(2) 当MN与AB之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S取得最大值？

19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2－x－m.
(1) 求过点P(0，－1)的f(x)的切线方程；
(2) 当m＝0时，求函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，a]上的最大值；
(3) 证明：当m≥－3时，不等式f(x)＋g(x)<x2－(x－2)ex对任意x∈均成立(其中e为自然对数的底数，e＝2.718…)．
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1，a2＝2，且anan＋3＝an＋1an＋2对任意n∈N*恒成立，记{an}的前n项和为Sn.
(1) 若a3＝3，求a5的值；
(2) 证明：对任意正实数p，{a2n＋pa2n－1}成等比数列；
(3) 是否存在正实数t，使得数列{Sn＋t}为等比数列？若存在，求出此时an和Sn的表达式；若不存在，请说明理由．

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苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试·数学附加题　第页(共2页)
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苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试
数学附加题21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)
如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，CF⊥AB，垂足为F，D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于点E，∠AEC＝30°.
(1) 求证：AF＝FO；
(2) 若CF＝，求AD·AE的值．

B. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)
已知矩阵A＝，α＝，求A49α.

C. 选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝acos(a≠0)．
(1) 求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
(2) 若圆C的任意一条直径的两个端点到直线l的距离之和为，求实数a的值．

D. 选修45：不等式选讲(本小题满分10分)
设x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3.

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1，2，…，10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6，7，…，10的客人留下，其余的淘汰；第二轮放入1，2，…，5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3，4，5的客人留下；第三轮放入1，2，3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2，3的客人留下；同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏．
(1) 求甲拿到礼物的概率；
(2) 设ξ表示甲参加游戏的轮数，求ξ的概率分布列和数学期望E(ξ)．

23. (本小题满分10分)
(1) 若不等式(x＋1)ln(x＋1)≥ax对任意x∈[0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围；
(2) 设n∈N*，试比较＋＋…＋与ln(n＋1)的大小，并证明你的结论．

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苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试·数学参考答案　第页(共4页)
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苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试
数学参考答案

1. {1}　2. (1，2)∪(2，＋∞)　3. 充分不必要
4. 1　5. 　6. 4　7. 　8. (－2，0)∪(1，2)
9. －　10. (1，2]　11. 　12. ＋1
13. 　14.
15. (1) 因为f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为，
所以f(x)的周期为，
所以＝且a>0，
所以a＝2，
此时f(x)＝－sin＋＋b.
因为f(x)的图象与x轴相切，
所以＝且b>0，
所以b＝－.
(2) 由(1)可得f(x)＝－sin(4x＋)＋.
因为x∈，所以4x＋∈，
所以当4x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值为；
当4x＋＝，即x＝时，f(x)有最小值为0.
16. (1) 由题意得b＋c＝ma，a2－4bc＝0.
当a＝2，m＝时，b＋c＝，bc＝1，
解得或
(2) cosA＝＝＝＝2m2－3.
因为A为锐角，所以cosA＝2m2－3∈(0，1)，
所以<m2<2.
又由b＋c＝ma可得m>0，
所以<m<.
17. 解：(1) 因为Sn＋1＝3Sn＋1(n∈N*)，
所以Sn＝3Sn－1＋1(n∈N*，n≥2)，
所以an＋1＝3an(n∈N*，n≥2)．
又当n＝1时，由S2＝3S1＋1得a2＝3符合a2＝3a1，
所以an＋1＝3an(n∈N*)，
所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以an＝3n－1(n∈N*)．
(2) 因为bn＋1－bn＝＝3(n∈N*)，
所以{bn}是以3为首项，3为公差的等差数列，
所以bn＝3＋3(n－1)＝3n(n∈N*)，
所以λan＋bn≤n2，即λ≤对n∈N*有解．
设f(n)＝(n∈N*)．
因为f(n＋1)－f(n)＝－＝，
所以当n≥4时，f(n＋1)<f(n)；当n<4时，f(n＋1)>f(n)，
所以f(1)<f(2)<f(3)<f(4)>f(5)>f(6)>…，
所以f(n)max＝f(4)＝，
所以λ≤.
18. (1) 当0≤x<1时，过点A作AK⊥CD，垂足K，如图1，则AK＝1，DK＝＝，HM＝1－x.
由＝＝2，得DH＝＝，
所以HG＝3－2DH＝2＋x，
所以S(x)＝HM·HG＝(1－x)(2＋x)＝－x2－x＋2；
当1<x<时，过点E作ET⊥MN，垂足为T，连结EN，如图2，则ET＝x－1，TN＝＝＝，
所以MN＝2，
所以S(x)＝MN·ET＝2·(x－1)．
综上所述，
S(x)＝
图1

　图2

(2) 当0≤x<1时，S(x)＝－x2－x＋2＝－＋在[0，1)上单调递减，
所以S(x)max＝S(0)＝2；
当1<x<时，
S(x)＝2(x－1)≤2×＝，
当且仅当x－1＝，即x＝＋1∈时取等号，
所以S(x)max＝，此时S(x)max＝>2，
所以S(x)的最大值为.
答：当MN与AB之间的距离为米时，通风窗的通风面积S取得最大值．
19. (1) 设切点坐标为(x0，lnx0)，则切线方程为y－lnx0＝(x－x0)，
将点P(0，－1)代入上式，得lnx0＝0，即x0＝1，
所以切线方程为y＝x－1.
(2) 当m＝0时，F(x)＝lnx－x2＋x，x∈(0，＋∞)，
所以F′(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
所以当0<x<1时，F′(x)>0；当x>1时，F′(x)<0，
所以F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以当0<a≤1时，F(x)的最大值为F(a)＝lna－a2＋a；
当a>1时，F(x)的最大值为F(1)＝0.
(3) f(x)＋g(x)<x2－(x－2)ex可化为m>(x－2)ex＋lnx－x.
设h(x)＝(x－2)ex＋lnx－x，x∈，要证m≥－3时m>h(x)对任意x∈均成立，只要证h(x)max<－3.下证此结论成立：
因为h′(x)＝(x－1)，
所以当<x<1时，x－1<0.
设u(x)＝ex－，则u′(x)＝ex＋>0，
所以u(x)在上单调递增．
因为u(x)在区间上的图象是一条不间断的曲线，且u＝－2<0，u(1)＝e－1>0，
所以∃x0∈，使得u(x0)＝0，即ex0＝，lnx0＝－x0，
所以当x∈时，u(x)<0，h′(x)>0；
当x∈(x0，1)时，u(x)>0，h′(x)<0，
所以函数h(x)在上单调递增，在[x0，1]上单调递减，
所以h(x)max＝h(x0)＝(x0－2)ex0＋lnx0－x0＝(x2－2)·－2x0＝1－－2x0.
因为y＝1－－2x在x∈上单调递增，
所以h(x0)＝1－－2x0<1－2－2＝－3，即h(x)max<－3，
所以当m≥－3时，不等式f(x)＋g(x)<x2－(x－2)ex对任意x∈均成立．
20. (1) 因为a1a4＝a2a3，所以a4＝6.
又a2a5＝a3a4，
所以a5＝a4＝9.
(2) 由已知得
两式相乘得anan＋1an＋3an＋4＝an＋1aan＋3.
因为an>0，所以anan＋4＝a(n∈N*)，
所以{an}的奇数项和偶数项均构成等比数列．
设{an}的奇数项和偶数项的公比分别为q1，q2，则a2n＝a2q＝2q，a2n－1＝a1q＝q.
因为＝，
所以＝＝2＝，即q1＝q2.
设q1＝q2＝q，则a2n＋pa2n－1＝q(a2n－2＋pa2n－3)，且a2n＋pa2n－1>0恒成立，
所以数列{a2n＋pa2n－1}是首项为2＋p，公比为q的等比数列．
(3) 由(2)知a2n＝2qn－1，a2n－1＝qn－1，且S1＝1，S2＝3，S3＝3＋q，S4＝3＋3q.
因为数列{Sn＋t}为等比数列，
所以
即
即
解得或(舍去)，
所以a2n＝2qn－1＝22n－1，a2n－1＝22n－2，从而对任意n∈N*有an＝2n－1，
所以Sn＝20＋21＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，
此时Sn＋t＝2n，＝2为常数，满足{Sn＋t}成等比数列，
综上，存在t＝1使得数列{Sn＋t}为等比数列，此时an＝2n－1，Sn＝2n－1(n∈N*)．

数学附加题
21. A. (1) 如图，连结OC，AC.
因为∠AEC＝30°，
所以∠AOC＝2∠AEC＝60°.
又OA＝OC，所以△AOC为等边三角形．
因为CF⊥AB，
所以CF为△AOC中AO边上的中线，
所以AF＝FO.

(2) 如图，连结BE.
因为CF＝，△AOC是等边三角形，
所以AF＝1，AB＝4.
因为AB为圆O的直径，所以∠AEB＝90°，
所以∠AEB＝∠AFD.
因为∠BAE＝∠DAF，
所以△AEB∽△AFD，所以＝，
所以AD·AE＝AB·AF＝4×1＝4.
B. 矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－2λ－3，
令f(λ)＝0，解得λ1＝－1，λ2＝3，
当λ1＝－1时，对应的特征向量为α1＝；
当λ2＝3时，对应的特征向量为α2＝，
所以α＝＝α1＋3α2，
所以A49α＝λα1＋3λα2＝.
C. (1) 直线l的普通方程为x＋2y－2＝0，
圆C的直角坐标方程为＋＝.
(2) 因为圆C的任意一条直径的两个端点到直线l的距离之和为，
所以圆心C到直线l的距离为，
即＝，
解得a＝3或a＝－.
D. 因为x>0，y>0，x－y>0，
所以2x＋－2y＝2(x－y)＋
＝(x－y)＋(x－y)＋
≥3＝3，
所以2x＋≥2y＋3.
22. (1) 记“甲拿到礼物”为事件A.
在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，
则P(A)＝×××＝，
答：甲拿到礼物的概率为.
(2) 随机变量ξ的所有可能取值是1，2，3，4.
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××＝，
P(ξ＝4)＝××＝，
随机变量ξ的概率分布列为

ξ
1
2
3
4
P

所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝2.
23. (1) 原问题等价于ln(x＋1)－≥0对任意x∈[0，＋∞)恒成立，
令g(x)＝ln(x＋1)－，
则g′(x)＝.
当a≤1时，g′(x)＝≥0恒成立，
所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(0)＝0恒成立；
当a>1时，令g(x)＝0，则x＝a－1>0，
所以g(x)在(0，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增，
所以g(a－1)<g(0)＝0，即存在x>0使得g(x)<0，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1]．
(2) 方法一：在(1)中取a＝1，得ln(x＋1)>(x∈(0，＋∞))，
令x＝(n∈N*)，
上式即为ln>，
即ln(n＋1)－lnn>，
所以
上述各式相加可得＋＋…＋<ln(n＋1)(n∈N*)．
方法二：注意到<ln2，＋<ln3，…，
故猜想＋＋…＋<ln(n＋1)(n∈N*)，
下面用数学归纳法证明该猜想成立．
证明：①当n＝1时，<ln2，成立；
②假设当n＝k时结论成立，即＋＋…＋<ln(k＋1)．
在(1)中取a＝1，得ln(x＋1)>(x∈(0，＋∞))，
令x＝(k∈N*)，则<ln，
那么，当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋<ln(k＋1)＋<ln(k＋1)＋ln＝ln(k＋2)，也成立．
由①②可知＋＋…＋<ln(n＋1)．