山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期末考试数学试题(学生版).docx

山东省烟台市 2020届高三上学期期末考试数学试题
第Ⅰ卷（共 60分）
一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
{ }
{
}
A = x | x2 - x - 2 £ 0
B = x | y = x
，则 A B
=
1.已知集合
，
（
）
{x | -1£ x £ 2
}
{x | 0 £ x £ 2
}
{x | x ³ -1
}
{ }
x | x ³ 0
A.
B.
C.
D.
"x Î R, x - x +1 > 0
2.命题“
”的否定是（ ）
2
"x Î R, x - x +1£ 0
"x Î R, x - x +1< 0
A.
C.
B.
D.
2
2
$x Î R, x - x +1£ 0
$x Î R, x - x +1< 0
2
2
0
0
0
0
0
0
x2 y (
a2
)
2
5
-
=1 a > 0,b > 0
3.若双曲线
的离心率为
，则其渐近线方程为（
）
b2
2
2x ± 3y = 0
± 2y = 0
æ 1 ö-0.5
x ± 2y = 0
2x 3y 0
± =
D.
3x
A.
B.
C.
a = log 3
0.5
=
，b 0.5 ，c
=
，则 a,b,c 的大小关系为（
4.设
）
3
ç ÷
è 3ø
A. a < b < c
B. < <
a c b
C.
b < a < c
< <
D. b c a
5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设
“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第
一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（
A. 216 B. 480 C. 504
6.函数 y = x +sin x 的部分图象可能是（
）
D. 624
）
A.
B.
C.
D.
f x
( )= 3sin x + 4cos x
7.若 x = a
时，函数
取得最小值，则sina （
）
=
3
A.
3
5
4
C.
4
-
-
D.
B.
5
5
5

ì2log x, x ³1,
( )
( )
f x = -2x + m
有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值
f x = í ( 2 )
8.函数
，若方程
f x +1 , x <1,
î
范围是 （
）
( )
-¥,4
( )
-2,4
( -¥,4]
( -
D.
]
2,4
.
A.
B.
C.
二、多项选择题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
.
9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50 名男生和 50 名女生，每位学生对食堂的服
» 4.762
务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算 K 的观测值k
，则可以推断出（
）
2
满意
30
不满意
男
女
20
10
40
( )
0.050
3.841
6.635
k
3
5
A. 该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
B. 调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C. 有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D. 有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
p
p
ö
æ
p
( ) ( )
j
j
f x = sin 3x +
- < <
x
=
10.已知函数
ç
÷ 的图象关于直线
对称，则（
）
è 2
2 ø
4
æ
p ö
f x +
A. 函数 ç
÷ 为奇函数
è 12 ø
p p
( ) é
ù
ú
f x
,
B. 函数
在
上单调递增
ê
ë12 3 û

( ) ( )
p
f x - f x = 2
x
- x
C. 若
，则
的最小值为
1
2
1
2
3
p
的图象向右平移 个单位长度得到函数
( )
f x
y = -cos3x
的图象
D. 函数
4
ABCD - A B C D
B C
1
11.如图，在正方体
中，点 在线段
P
上运动，则 （
）
1
1
1
1
A. 直线
^ 平面 AC D
1 1
BD
1
P - AC D
B. 三棱锥
的体积为定值
1
1
[ ]
45
°,90°
A D
1
C. 异面直线
与
所成角 取值范围是
AP
6
C P
1
D. 直线
与平面 AC D所成角 的正弦值的最大值为
1
1
3
( ) ( )
C : y = 4x 的焦点为 F 、准线为l ，过点 F 的直线与抛物线交于两点
P x , y
，Q x , y
，
12.已知抛物线
2
1
1
2
2
点 在l 上的射影为 P ，则 （
）
P
1
x + x = 6
PQ
=8
A. 若
，则
1
2
B. 以 PQ 为直径的圆与准线 相切
l
( )
M 0,1
PM
+ PP ³ 2
C. 设
，则
1
( )
M 0,1
D. 过点
与抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条
C
第Ⅱ卷（共 90 分）
三、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
| a |=1
^ +
13. 已知向量a, 满足
= a
，| b | 2 ， a (a b) ，则 与 夹角的大小是______．
b
b
( )
(
)
( )
P X ³ 3 =
__________．
X N 1,s
P -1< X <1 = 0.4
14.已知随机变量
，
，则
2
= e + x
x - y -1 = 0的最小距离为__________．
15.设点 是曲线 y
P
上任一点，则点 到直线
P
x
2
- ABC
O
^
ABC
=
=
，AC 2 ，
AB = 2 3
16.已知三棱锥 P
的四个顶点都在球 的表面上，PA 平面
，PA 6，

BC = 4，则：（1）球O的表面积为__________；（2）若 D 是
面积的最小值是__________．
BC
的中点，过点 D 作球O的截面，则截面
四、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.
B
+ C
p
17.在条件①(a +b)(sin A-sin B) = (c -b)sin C
任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
=
，② asin B bcos(A
+
) ，③bsin
=
asin B 中
6
2
在
DABC中，角 A, B,C 的对边分别为a,b,c ，b + c = 6， a = 2 6 ，
DABC的面积.
.
求
( )
( )
{ }
a
n
的前 项和 满足
S
2S = n +1 a nÎ N
a = 2
1
18.已知数列
* ，且
.
n
n
n
n
{ }
a
（1）求数列
的通项公式；
n
( )
{ }
b = a -1 2
n
b
n
的前 项和 .
T
（2）设
a ，求数列
n
n
n
n
^ CD
SCD ^
19.如图，在四棱锥 -
S ABCD
中，ABCD为直角梯形，AD / /BC ，BC
，平面
平面 ABCD，
DSCD是以CD
=
=
=
为斜边的等腰直角三角形，BC 2AD 2CD 4 ， 为 BS 上一点，且 BE 2ES .
=
E
（1）证明：直线SD / / 平面
；
ACE
- AC- E
（2）求二面角S
的余弦值.
20.已知椭圆 x2 y (
)
3
2
+ =1 a > b > 0
=
， 是其右焦点，直线y kx 与椭圆交于 ， 两点，
F A B
的离心率为
a b
2
2
2
AF + BF = 8 .
（1）求椭圆 标准方程；
( )
Q 3,0 ，若∠AQB
（2）设
为锐角，求实数 的取值范围.
k
21.某企业拥有 3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，
1
且出现故障的概率为 .
3

（1）求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率；
（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人
每月只有及时维修 1 条生产线的能力，且每月固定工资为1 万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况
下，每条生产线创造 12 万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8 万元的利润；如果出现
=1 n = 2
与
故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在n
之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）
æ 1
ö
3
f (x) = x - ax ln x + 2ax - x ，其中0
< a < e
.
22.已知函数
ç
÷
2
2
è 2
ø
4
（1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）讨论函数 f (x) 零点的个数；
< e
.
（3）若 f (x) 存在两个不同的零点
，求证： x x
x , x
1
2
2
1 2

BC = 4，则：（1）球O的表面积为__________；（2）若 D 是
面积的最小值是__________．
BC
的中点，过点 D 作球O的截面，则截面
四、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.
B
+ C
p
17.在条件①(a +b)(sin A-sin B) = (c -b)sin C
任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
=
，② asin B bcos(A
+
) ，③bsin
=
asin B 中
6
2
在
DABC中，角 A, B,C 的对边分别为a,b,c ，b + c = 6， a = 2 6 ，
DABC的面积.
.
求
( )
( )
{ }
a
n
的前 项和 满足
S
2S = n +1 a nÎ N
a = 2
1
18.已知数列
* ，且
.
n
n
n
n
{ }
a
（1）求数列
的通项公式；
n
( )
{ }
b = a -1 2
n
b
n
的前 项和 .
T
（2）设
a ，求数列
n
n
n
n
^ CD
SCD ^
19.如图，在四棱锥 -
S ABCD
中，ABCD为直角梯形，AD / /BC ，BC
，平面
平面 ABCD，
DSCD是以CD
=
=
=
为斜边的等腰直角三角形，BC 2AD 2CD 4 ， 为 BS 上一点，且 BE 2ES .
=
E
（1）证明：直线SD / / 平面
；
ACE
- AC- E
（2）求二面角S
的余弦值.
20.已知椭圆 x2 y (
)
3
2
+ =1 a > b > 0
=
， 是其右焦点，直线y kx 与椭圆交于 ， 两点，
F A B
的离心率为
a b
2
2
2
AF + BF = 8 .
（1）求椭圆 标准方程；
( )
Q 3,0 ，若∠AQB
（2）设
为锐角，求实数 的取值范围.
k
21.某企业拥有 3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，
1
且出现故障的概率为 .
3

（1）求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率；
（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人
每月只有及时维修 1 条生产线的能力，且每月固定工资为1 万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况
下，每条生产线创造 12 万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8 万元的利润；如果出现
=1 n = 2
与
故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在n
之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）
æ 1
ö
3
f (x) = x - ax ln x + 2ax - x ，其中0
< a < e
.
22.已知函数
ç
÷
2
2
è 2
ø
4
（1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）讨论函数 f (x) 零点的个数；
< e
.
（3）若 f (x) 存在两个不同的零点
，求证： x x
x , x
1
2
2
1 2