高三一轮复习教案.docx
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导数与函数的单调性、极值 复习目标: 1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)。 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)。 【梳理自测】 一、函数的导数与单调性 1.(教材改编)函数f(x)=1+x-sin x在(0,2π)上是( ) A.增函数 B.减函数 C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减 D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增 2.函数f(x)=x2-2lnx的单调减区间是( ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-1,1) 3.(教材改编)函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为________. 4.函数f(x)=x3+ax-2在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________. 【答案】1.A 2.A 3.(-1,11) 4.[-3,+∞) ◆以上题目主要考查了以下内容: 在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0⇔f(x)在(a,b)为增函数; f′(x)≤0⇔f(x)在(a,b)为减函数. 二、函数的导数与极值 1.若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.(教材改编)函数f(x)=x3-3x2+1在x=________处取得极小值. 【答案】1.D 2.2 ◆以上题目主要考查了以下内容: (1)判断f(x0)是极值的方法: 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时, ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤: ①求f′(x); ②求方程f′(x)=0的根; ③检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点. 【指点迷津】 1.一个方程 求函数y=f(x)的极值点,先解方程f′(x)=0的根. 2.两个条件 (1)f′(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上单调递增的充分条件. (2)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件. 3.三个步骤 求函数单调区间的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f′(x); (3)由f′(x)>0(f′(x)<0)解出相应的x的范围. 当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是减函数,还可以列表,写出函数的单调区间. 考向一 利用导数研究函数的单调性 例一: (2014·湖北省八校联考)已知函数 f(x)=(x+a)2-7bln x+1,其中a,b是常数且a≠0. (1)若b=1时,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,求a的取值范围; (2)当b=a2时,讨论f(x)的单调性. 【审题视点】 (1)当x>1时,f′(x)≥0恒成立,求a的范围. (2)讨论a>0和a<0时,f(x)的单调性. 【典例精讲】 (1)∵b=1,∴f(x)=(x+a)2-7ln x+1, ∴f′(x)=2x+2a-. ∵当x>1时,f(x)是增函数, ∴f′(x)=2x+2a-≥0在x>1时恒成立. 即a≥-x在x>1时恒成立. ∵当x>1时,y=-x是减函数, ∴当x>1时,y=-x<,∴a≥. (2)∵b=a2, ∴f(x)=(x+a)2-4a2ln x+1,x∈(0,+∞). ∴f′(x)==. 当a>0时,f′(x)>0,得x>a或x<-2a, 故f(x)的减区间为(0,a),增区间为(a,+∞); 当a<0时,f′(x)>0,得x>-2a或x<a, 故f(x)的减区间为(0,-2a),增区间为(-2a,+∞). 【类题通法】 (1)当f(x)不含参数时,可通过解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间. (2)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f′(x)≥0([或f′(x)≤0],x∈(a,b)]恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围. 1.(2014·山东名校联考)已知函数f(x)=-2x2+ln x,其中a为常数且a≠0. (1)若a=1,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=3x-2x2+ln x,其定义域为(0,+∞),则f′(x)=-4x+3==(x>0), 当x∈(0,1)时,f′(x)>0,故函数f(x)在区间(0,1)上单调递增; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,故函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减. 所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)由题易得f′(x)=-4x+(x>0), 因为函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数, 所以在区间[1,2]上,f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立, 即-4x+≥0或-4x+≤0在x∈[1,2]时恒成立,即≥4x-或≤4x-(1≤x≤2),即≥(4x-)max或≤(4x-)min,其中1≤x≤2. 令h(x)=4x-(1≤x≤2),易知函数h(x)在[1,2]上单调递增,故h(1)≤h(x)≤h(2). 所以≥h(2)或≤h(1),即≥4×2-=,≤4×1-=3, 解得a<0或0<a≤或a≥1.故a的取值范围为 (-∞,0)∪(0,)∪[1,+∞). 考向二 利用导数求函数的极值 例二: (2012·高考江苏卷)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点. (1)求a和b的值; (2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点. 【审题视点】 1和-1为f(x)的极值点,则有f′(1)=0,f′(-1)=0求a和b,再根据极值的概念求g(x)的极值点. 【典例精讲】 (1)由题设知f′(x)=3x2+2ax+b, 且f′(-1)=3-2a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0. 解得a=0,b=-3. (2)由(1)知f(x)=x3-3x.因为f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g′(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,于是函数g(x)的极值点只可能是1或-2. 当x<-2时,g′(x)<0;当-2<x<1时,g′(x)>0,故-2是g(x)的极值点. 当-2<x<1或x>1时,g′(x)>0,故1不是g(x)的极值点. 所以g(x)的极值点为-2. 【类题通法】 利用导数研究函数的极值的一般流程: 2.(2014·广东省惠州市高三调研)已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R). (1)当a=1时,求f(x)的极小值; (2)若对任意的m∈R,直线x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f′(x)=3x2-3, 令f′(x)=0,得x=-1或x=1, 当x∈(-1,1)时,f′(x)<0, 当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f′(x)>0, ∴f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-∞,-1],[1,+∞)上单调递增, ∴f(x)的极小值是f(1)=-2. (2)f′(x)=3x2-3a,直线x+y+m=0即y=-x-m, 依题意,切线斜率k=f′(x)=3x2-3a≠-1,即3x2-3a+1=0无解, ∴Δ=0-4×3(-3a+1)<0, ∴a<. 用导数研究函数单调性和极值 例三 (2014·烟台四校达标检测)已知函数f(x)=ln x+-x,其中常数m>0. (1)当m=2时,求函数f(x)的极大值; (2)讨论函数f(x)在区间(0,1)上的单调性. 【审题视点】 讨论f′(x)=0的根与区间(0,1)的关系. 【思维流程】 求定义域,并求导函数f′(x). 确定极值点. 确定极大值. 求导函数f′(x)=0的根. 分三种情况讨论m与区间(0,1)的关系,从而确定f′(x)的正负.确定单调性. 【规范解答】 (1)当m=2时,f(x)=ln x+-x, ∵f′(x)=--1=-(x>0).2分 ∴当0<x<或x>2时,f′(x)<0;当<x<2时,f′(x)>0. ∴函数f(x)在区间和区间(2,+∞)上单调递减,在区间上单调递增,4分 ∴函数f(x)的极大值为f(2)=ln 2-.6分 (2)由题意知,f′(x)=--1= -=-(x>0,m>0).8分 ①当0<m<1时,>1,故当x∈(0,m)时,f′(x)<0,当x∈(m,1)时,f′(x)>0, 此时函数f(x)在区间(0,m)上单调递减,在区间(m,1)上单调递增.10分 ②当m=1时,=1,故当x∈(0,1)时,f′(x)=-<0恒成立, 此时函数f(x)在区间(0,1)上单调递减.11分 ③当m>1时,0<<1,故当x∈时,f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0, 此时函数f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增.12分 【规范建议】 ①在第一步中,不能忽视定义域(x>0)否则单调区间求错. ②在第五步讨论中,不可丢掉m=1的情况. 拓展延伸: 1.(2013·高考福建卷)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( ) A.∀x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0是f(-x)的极小值点 C.-x0是-f(x)的极小值点 D.-x0是-f(-x)的极小值点 2.函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的图象大致为( ) 【答案】D 3.(2012·高考重庆卷)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( ) 4.(2013·高考全国大纲卷)已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1. (1)当a=-时,讨论f(x)的单调性; (2)若x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.- 配套讲稿:
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