北师大版七年级数学下册：第六章《概率初步》同步练习.docx

第六章 概率初步 同步练习
感受可能性
题组 事件的分类
1.下列事件中,是必然事件的是 ( )
A.将油滴在水中,油会浮在水面上
B.车辆随机到达一个路口,遇到红灯
C.如果 a =b ,那么 a=b
2
2
D.掷一枚质地均匀的硬币,一定正面向上
【解析】选 A.根据“必然事件的定义:在一定的条件下重复进行试验时,有的事
件在每次试验中必然会发生 ,这样的事件叫必然发生的事件 ,简称必然事件” ,A
选项是一客观事实,一定发生.
2.掷一枚质地均匀的骰子,下列事件是不可能事件的是 ( )
A.向上一面点数是 4
B.向上一面点数是 2
C.向上一面点数大于 7
D.向上一面点数不大于 6
【解析】选C.
A.向上一面点数是 4,是随机事件;
B.向上一面点数是 2,是随机事件;
C.向上一面点数大于 7,是不可能事件;
D.向上一面点数不大于 6,是必然事件.
3.指出下列事件中随机事件的个数 ( )
①投掷一枚硬币正面朝上;②明天太阳从东方升起;③五边形的内角和是 560°;
④购买一张彩票中奖.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选 C.掷一枚硬币正面朝上是随机事件;明天太阳从东方升起是必然事件;
五边形的内角和是 560°是不可能事件;购买一张彩票中奖是随机事件;
所以随机事件有 2 个.
1

4.“一个有理数的绝对值是负数”是
或“不确定事件”)
.(填“必然事件”或“不可能事件”
【解析】“一个有理数的绝对值是负数”是不可能事件.
答案:不可能事件
5.下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是不确定事件?
(1)我走出校门,看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数.
(2)在一个平面内,三角形三个内角的和是 190 度.
(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
(4)打开电视,它正在播放篮球比赛.
【解析】(1)不确定事件.
(2)不可能事件.
(3)必然事件.
(4)不确定事件.
题组
可能性的大小及应用
1.下列说法正确的是 (
)
A.可能性很大的事件必然发生
B.可能性很小的事件也可能发生
C.如果一件事情可能不发生,那么它就是必然事件
D.如果一件事情发生的机会只有百分之一,那么它就不可能发生
【解析】选 B.
A.可能性很大的事件不是必然事件,不一定发生,故错误;
B.可能性很小的事件也可能发生,可能不发生,故正确;
C.如果一件事情可能不发生,那么它就是随机事件,故错误;
D.如果一件事情发生的机会只有百分之一,那么它可能发生,也可能不发生,故错
误.
2.袋子中装有 10 个黑球、1 个白球,它们除颜色外无其他差别,随机从袋子中摸
出一个球,则 (
)
A.这个球一定是黑球
B.摸到黑球、白球的可能性的大小一样
2

C.这个球可能是白球
D.事先能确定摸到什么颜色的球
【解析】选 C.因为袋中有除颜色外完全相同的 11 个球,其中 10 个黑球、1 个白
球,所以从袋中随机摸出一个球是黑球的概率为 ,摸出一个球是白球的概率为 ,
所以 A、这个球一定是黑球,错误;B、摸到黑球、白球的可能性的大小一样,错误;C、
这个球可能是白球,正确;D、事先能确定摸到什么颜色的球,错误.
3.把下列事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是
号).
(填序
(1)一副去掉大小王的扑克牌中,随意抽取一张,抽到的牌是红色.
(2)随意遇到一位青年,他接受过九年义务教育.
(3)从装有 1 个红球和 2 个黄球的袋子中摸出的一个球恰好是黄球.
(4)站在平地上抛一块小石头,石头会落下.
【解析】(1)一副去掉大小王的扑克牌中,随意抽取一张,抽到的牌是红色的可能
性为 .
(2)随意遇到一位青年,他接受过九年义务教育的可能性接近于 1.
(3)从装有 1 个红球和 2 个黄球的袋子中摸出的一个球恰好是黄球的可能性为 .
(4)站在平地上抛一块小石头,石头会落下的可能性为 1.
从小到大排序为(1)(3)(2)(4).
答案:(1)(3)(2)(4)
4.一只不透明的袋子中装有 1 个红球、2 个绿球和 3 个白球,每个球除颜色外都
相同.将球搅匀后,从中任意摸出一个球 ,你认为摸到哪种颜色的球可能性最大 ?
摸到哪种颜色的球可能性最小?
【解析】因为白球最多,红球最少,
所以摸到白球的可能性最大,摸到红球的可能性最小.
在一个不透明的口袋中,装着 10 个大小和外形完全相同的小球,其中有 5 个红
球,3 个蓝球,2 个黑球,把它们搅匀以后,请问:下列哪些事件是必然事件,哪些是
不可能事件,哪些是不确定事件.
3

(1)从口袋中任意取出一个球,它刚好是黑球.
(2)从口袋中一次取出 9 个球,恰好红、蓝、黑三种颜色全齐.
(3)从口袋中一次取出 6 个球,它们恰好是 1 个红球,2 个蓝球,3 个黑球.
【解析】(1)从口袋中任意取出一个球,它刚好是黑球,可能发生,也可能不发生,
是不确定事件.
(2)从口袋中一次取出 9 个球,恰好红、蓝、黑三种颜色都有,一定会发生,是必然
事件.
(3)从口袋中一次取出 6 个球,它们恰好是 1 个红球,2 个蓝球,3 个黑球,袋中共有
2 个黑球,一定不会发生,是不可能事件.
【母题变式】
[变式一]小明购买双色球福利彩票时,两次分别购买了 1 张和 100 张,均未获奖,
于是他说:“购买 1 张和 100 张中奖的可能性相等.”小华说:“这两个事件都是
不可能事件.”他们的说法对吗?请说明理由.
【解析】小明的说法错误,因为买 100 张中奖的可能性比买 1 张中奖的可能性大.
小华的说法错误 ,这两个事件都是随机事件 ,不能因为事件发生的可能性小就认
为它是不可能事件
[变式二]班里有 18 个男生,15 个女生,从中任意抽取 a 人打扫卫生.
(1)女生被抽到是必然事件.求 a 的值.
(2)女生小丽被抽到是随机事件,求 a 的值.
【解析】(1)因为班里有 18 个男生,15 个女生,从中任意抽取 a 人打扫卫生,女生
被抽到是必然事件,
所以 a>18.
(2)因为班里有 18 个男生,15 个女生,从中任意抽取 a 人打扫卫生,女生小丽被抽
到是不确定事件,
所以 1≤a≤18.
[变式三]现有甲、乙两个完全相同的空纸盒,还有除颜色外完全相同的 10 个白球
和 10 个黄球,设计操作使之满足下列条件:
(1)从甲盒中拿到黄球为必然事件.
(2)从乙盒中拿到白球为随机事件.
4

(3)20 个球均要用到,但每个盒中球的数量可以不等.
看谁设计得又快又对,并能写出一件不可能事件.
【解析】答案不唯一.方案:甲盒中放置 8 个黄球,乙盒中放置 10 个白球和 2 个黄
球.
则从甲盒中摸出白球是不可能事件 .从乙盒中一次摸出三个黄球也是不可能事
件.
盒中装有红球,黄球共 10 个,每个球除颜色外都相同,每次从盒中摸出一个球,摸
三次(不放回),请按照要求设计盒中红球,黄球的个数:
(1)A=摸出 3 个球都是红球是不可能事件.
(2)B=摸出红球是必然事件.
(3)C=至少摸出 2 个黄球是不确定事件.
(4)事件 C 是确定事件.
【解析】(1)至多 2 个红球.
(2)至少 8 个红球.
(3)至少 2 个黄球,至多 9 个黄球.
(4)只放一个红球或只放一个黄球或没有黄球
频率的稳定性
题组
频率的稳定性
1.一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球,其中有 9 个黄球.
每次摸球前先将盒子里的球摇匀 ,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子 ,通过
大量摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在 30%,那么估计盒子中小球的个数 n
为 (
A.20
)
B.24
C.28
D.30
【解析】选 D.由题意可知 ×100%=30%,易解得 n=30.
2.在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共 20 个,除颜色外,形状、
大小、质地等完全相同,小明通过多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率
分别稳定在 10%和 15%,则箱子里蓝色球的个数很可能是
个.
5

【解析】根据题意得摸到红色、黄色球的概率为 10%和 15%,
所以摸到蓝球的概率为 75%,
因为 20×75%=15(个),
所以可估计袋中蓝色球的个数为 15 个.
答案:15
3.黔东南下司“蓝莓谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客,某果
农今年的蓝莓得到了丰收 ,为了了解自家蓝莓的质量 ,随机从种植园中抽取适量
蓝莓进行检测,发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定
在 0.7,该果农今年的蓝莓总产量约为 800kg,由此估计该果农今年的“优质蓝莓”
产量约是
kg.
【解析】由题意可得,该果农今年的“优质蓝莓”产量约是:800×0.7=560(kg).
答案:560
4.公园里有一人设了个游戏摊位,游客只需掷一枚正方体骰子,如果出现 3 点,就
可获得价值 10 元的奖品,每抛掷 1 次骰子只需付 1 元的费用.小明在摊位前观察
了很久,记下了游客的中奖情况:
游客
抛掷次数 30 20 25 6 16 50 12
中奖次数 1 0 0 1 0 2 0
1 2 3 4 5 6 7
看了小明的记录,你有什么看法?
【解析】对于一个普通的正方体骰子,3 点出现的频率应为 ,小明记录的抛掷次
数为 159 次,中奖的次数应为 27 次左右,而实际中奖次数只有 4 次,于是可以怀疑
摆摊人所用的骰子质量分布不均匀,
要进一步证实这种怀疑,可以通过更多的试验来完成.
题组 用频率估计概率
1.为了看图钉落地后钉尖着地的概率有多大 ,小明做了大量重复试验 ,发现钉尖
着地的次数是试验总次数的 40%,下列说法错误的是 ( )
A.钉尖着地的频率是 0.4
6

B.随着试验次数的增加,钉尖着地的频率稳定在 0.4 附近
C.钉尖着地的概率约为 0.4
D.前 20 次试验结束后,钉尖着地的次数一定是 8 次
【解析】选 D.A.钉尖着地的频率是 0.4,故此选项正确,不符合题意;
B.随着试验次数的增加 ,钉尖着地的频率稳定在 0.4,故此选项正确 ,不符合题
意;
C.因为钉尖着地的频率是 0.4,所以钉尖着地的概率大约是 0.4,故此选项正确,
不符合题意;
D.前 20 次试验结束后,钉尖着地的次数应该在 8 次左右,故此选项错误,符合题
意.
2.某种小麦播种的发芽概率约是 95%,1 株麦芽长成麦苗的概率约是 90%,一块试
验田的麦苗数是 8 550 株,该麦种的一万粒质量为 350 千克,则播种这块试验田需
麦种约为
千克.
【解析】设播种这块试验田需麦种 x 千克,根据题意得
x·95%·90%=8 550,
解得 x=350.
答案:350
3.如图是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图,该射手击中靶心的概
率的估计值为
.
【解析】依题意得击中靶心的频率逐渐稳定在 0.600 附近,
估计这名射手射击一次,击中靶心的概率约为 0.600.
答案:0.600
4.表格记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果.
投篮次数 n 100 150 300 500 800 1000
7

96 174 302 484 601
投中频率 0.580 0.640 0.580 0.604 0.605 0.601
这名球员投篮一次,投中的概率约是
.
【解析】由表可知,随着投篮次数的增加,投中的频率逐渐稳定到常数 0.6 附近,
故这名球员投篮一次,投中的概率约是 0.6.
答案:0.6
5.某商场为了吸引顾客,举行抽奖活动,并规定:顾客每购买 100 元的商品,就可
随机抽取一张奖券,抽得奖券“紫气东来”“花开富贵”“吉星高照”,就可以分别
获得 100 元、50 元、20 元的购物券,抽得“谢谢惠顾”不赠购物券;如果顾客不
愿意抽奖,可以直接获得购物券 10 元.小明购买了 100 元的商品,他看到商场公布
的前 10 000 张奖券的抽奖结果如下:
奖券种类 紫气东来 花开富贵 吉星高照 谢谢惠顾
出现张数(张) 500
1000 2000 6500
(1)求“紫气东来”奖券出现的频率.
(2)请你帮助小明判断,抽奖和直接获得购物券,哪种方式更合算?并说明理由.
【解析】(1) = 或 5%.
(2)平均每张奖券获得的购物券金额为
100× +50× +20× +0×
=14(元).
因为 14>10,所以选择抽奖更合算.
在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 30 个,某小
组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断
重复.下表是活动进行中的一组统计数据:
摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 …
8

…
0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 …
(1)请估计:当 n 很大时,摸到白球的频率将会接近
(2) 假 如 你 去 摸 一 次 , 你 摸 到 白 球 的 概 率 是
.
, 摸 到 黑 球 的 概 率
是
.
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个?
【解析】(1)根据题意可得当 n 很大时,摸到白球的频率将会接近 0.60.
答案:0.60
(2)因为当 n 很大时,摸到白球的频率将会接近 0.60,
所以摸到白球的概率是 0.6.
摸到黑球的概率是 0.4.
答案:0.6 0.4
(3)因为摸到白球的概率是 0.6,摸到黑球的概率是 0.4,
所以白球有 30×0.6=18(个),
黑球有 30×0.4=12(个).
【母题变式】
[变式一]2015 年榕城区从区中随机调查了 5 所初中九年级学生的数学考试成绩,
学生的考试成绩情况如表(数学考试满分 120 分)
分数段
72 分以下
72-80 分
81-95 分
96-108 分
109-119 分
120 分
频数
368
460
184
54
9

(1)这 5 所初中九年级学生的总人数有多少人?
(2)统计时,老师漏填了表中空白处的数据,请你帮老师填上.
(3)从这 5 所初中九年级学生中随机抽取一人,恰好是 108 分以上(不包括 108 分)
的概率是多少?
【解析】(1)这 5 所初中九年级学生的总人数为 368÷0.2=1 840(人).
(2)因为 81-95 分的频率为 1-(0.2+0.25+0.2)=0.35,
则 81-95 分的频数为 1 840×0.35=644,
所以 109-119 分的频数为 1 840-(368+460+644+184+54)=130.
答案:644 0.35 130
(3)随机抽取一人,恰好是 108 分以上的概率为 = .
[变式二]某批足球的质量检测结果如下:
抽取足球数 n 100 200 400 600 800 1000
合格的频数 m 93 192 384 564 759 950
0.93 0.96 0.96 0.94
合格的频率
(1)填写表中的空格.(结果保留 0.01)
(2)画出合格的频率折线统计图.
(3)从这批足球中任意抽取的一个足球是合格品的概率估计值是多少 ?并说明理
由.
【解析】(1)完成表格如下:
抽取足球数 n 100 200 400 600 800 1000
合格的频数 m 93 192 384 564 759 950
10

0.93 0.96 0.96 0.94 0.95 0.95
合格的频率
(2)如图所示:
(3)从这批足球中任意抽取的一个足球是合格品的概率估计值是 0.95,
因为从折线统计图中可知 ,随着试验次数的增大 ,频率逐渐稳定到常数 0.95 附
近,
所以从这批足球中任意抽取的一个足球是合格品的概率估计值是 0.95.
等可能事件的概率
题组 概率的计算
1.抛掷一枚质地均匀的硬币,连续 3 次都是正面向上,则关于第 4 次抛掷结果,下
面叙述正确的是 ( )
A.P(正面向上)>P(反面向上)
B.P(正面向上)<P(反面向上)
C.P(正面向上)=P(反面向上)
D.无法确定
【解析】选 C.因为抛掷一枚质地均匀的硬币一次,可能的结果有:正面向上,反面
向上,所以 P(正面向上)=P(反面向上)= .
2.在一个不透明的袋子中装有 4 个红球和 3 个黑球,它们除颜色外其他均相同,
从中任意摸出一个球,则摸出黑球的概率是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选 B.因为在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的 4 个红球
和 3 个黑球,所以从中任意摸出一个球,则摸出黑球的概率是 .
11

3.从一副洗匀的普通扑克牌中随机抽取一张,则抽出红桃的概率是 (
A. B. C. D.
)
【解析】选 B.一副扑克牌 54 张,红桃有 13 张,每张牌被抽中的可能性一样大,所
以抽出一张牌是红桃的概率为 .
4.从长为 3,5,7,10 的四条线段中任意选取三条作为边,能构成三角形的概率是
(
)
A.
B.
C.
D.1
【解析】选 B.从长为 3,5,7,10 的四条线段中任意选取三条作为边,所有等可能
情况有:3,5,7;3,5,10;3,7,10;5,7,10,共 4 种,
其中能构成三角形的情况有:3,5,7;5,7,10,共 2 种,
则 P(能构成三角形)= = .
5.一个不透明的袋子中装有 1 个白球、2 个黄球和 3 个红球,每个球除颜色外都
相同,将球摇匀.
(1)如果从中任意摸出 1 个球.
①你能够事先确定摸到球的颜色吗?
②你认为摸到哪种颜色的球的概率最大?
③如何改变袋中白球、红球的个数,就能使摸到这三种颜色的球的概率相等.
(2)从中一次性最少摸出
个球,必然会有红色的球.
【解析】(1)①不能事先确定摸到的球是哪一种颜色;
②摸到红球的概率最大;
③增加 1 个白球,减少 1 个红球;只要使袋子中的白球、黄球、红球的个数相等即
可.
(2)从中一次性最少摸出 4 个球,必然会有红色的球.
题组
概率的简单应用
1.商场举行摸奖促销活动,对于“抽到一等奖的概率为 0.1”.下列说法正确的是
(
)
12

A.抽 10 次必有一次抽到一等奖
B.抽一次不可能抽到一等奖
C.抽 10 次也可能没有抽到一等奖
D.抽了 9 次如果没有抽到一等奖,那么再抽一次肯定抽到一等奖
【解析】选 C.根据概率的意义可得,“抽到一等奖的概率为 0.1”就是说抽 10
次可能抽到一等奖,也可能没有抽到一等奖.
2.下列游戏对双方公平的是 (
)
A.随意转动被等分成 3 个扇形,且分别均匀涂有红、黄、绿三种颜色的转盘,若指
针指向绿色区域,则小明胜,否则小亮胜
B.从一个装有 3 个红球,2 个黄球和 2 个黑球(这些球除颜色外完全相同)的袋中
任意摸出一个球,若是红球,则小明胜,否则小亮胜
C.投掷一枚均匀的正方体形状的骰子,若偶数点朝上,则小明胜,若是奇数点朝上,
则小亮胜
D.从分别标有数 1,2,3,4,5 的五张纸条中,任意抽取一张,若抽到的纸条所标的
数字为偶数,则小明胜,若抽到的纸条所标的数字为奇数,则小亮胜
【解析】选 C.A 中,P(小明胜)= ,P(小亮胜)= ,P(小明胜)<P(小亮胜),不公平;B
中,P(小明胜)= ,P(小亮胜)= ,P(小明胜)<P(小亮胜),不公平;C 中,P(小明胜)=
,P(小亮胜 )= ,P(小明胜 )=P(小亮胜 ),公平 ;D 中 ,P( 小明胜 )= ,P(小亮胜 )=
,P(小明胜)<P(小亮胜),不公平.
3.三名运动员参加定点投篮比赛,原定出场顺序是:甲第一个出场,乙第二个出场,
丙第三个出场,由于某种原因,要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序,
则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为
.
【解析】依题可得甲、乙、丙三人出场顺序的情况有 :甲乙丙,甲丙乙,乙丙甲,
乙甲丙,丙甲乙,丙乙甲共 6 种情况,符合条件的有乙丙甲,丙甲乙这 2 种情况,所
以 P= = .
4.小明和小乐做摸球游戏.一只不透明的口袋里只放有 3 个红球和 5 个绿球,每个
球除颜色外其他都相同 ,每次摸球前都将袋中的球充分搅匀 ,从中任意摸出一个
球,记录颜色后再放回,若是红球小明得 3 分,若是绿球小乐得 2 分.游戏结束时得
13

分多者获胜.
(1)你认为这个游戏对双方公平吗?
(2)若你认为公平 ,请说明理由 ;若你认为不公平 ,也请说明理由 ,并修改规则 ,使
该游戏对双方公平.
【解析】(1)不公平.
(2)P(摸出红球)= ,P(摸出绿球)= .
所以小明平均每次得分为 ×3= (分),
小乐平均每次得分为 ×2= (分).
因为 < ,所以游戏对双方不公平.
游戏规则可修改为:①口袋里只放 2 个红球和 3 个绿球,摸出红球小明得 3 分,摸
出绿球小乐得 2 分;
②袋中放 3 个红球和 5 个绿球,摸出红球小明得 5 分,摸出绿球小乐得 3 分等(答
案不唯一,只要使游戏公平即可).
随机掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数,则
这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为
【解析】因为骰子六个面中奇数为 1,3,5,
.
所以 P(向上一面为奇数)= = .
答案:
【母题变式】
[变式一]随机掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的
点数,则这个骰子向上的一面点数不大于 4 的概率为
.
【解析】因为随机掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到
6 的点数,且这个骰子向上的一面点数不大于 4 的有 4 种情况,
所以这个骰子向上的一面点数不大于 4 的概率为 = .
[变式二]掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别刻有 1 到 6 的点数),向上
14

一面出现的点数大于 2 且小于 5 的概率为
.
【解析】掷一枚质地均匀的骰子,有 6 种情况,出现点数大于 2 且小于 5 的情况有
2 种,
故其概率是 = .
等可能时间的概率
题组
与面积有关的概率问题
1.如图,共有 12 个大小相同的小正方形,其中阴影部分的 5 个小正方形是一个正
方体的表面展开图的一部分 ,现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影 ,能构成
这个正方体的表面展开图的概率是 (
)
A.
B.
C.
D.
【解析】选 A.当阴影涂在下面一行的四个空格中的任一空格时,均可构成正方体
的表面展开图,而共有 7 个空格,故能构成正方体表面展开图的概率为 .
2.小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上 ,玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸
板上,且落在纸板的任何一个点的机会都相等),则飞镖落在阴影区域的概率是
(
)
【解析】选 C.根据平行四边形的性质可得:平行
边形的对角线把平行四边形分成四个面积相等的
四
15

三角形,根据平行线的性质可得 S =S ,则阴影部
2
1
分的面积占总面积的 ,故飞镖落在阴影区域的
概率为 .
3.如图,是由大小完全相同的正六边形组成的图形,小军准备用红色、黄色、蓝色
随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色,则上方的正六边形涂红色的概率
是
.
【解析】共有三种等可能结果,上方的正六边形涂红色的可能结果有一种,所以上
方的正六边形涂红色的概率是 .
4.如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构
成的.若向圆面投掷飞镖,则飞镖落在阴影区域的概
【解析】从整体看,共有 6 个圆锤形图形,6 个喇叭花
形图形,其中阴影部分各占 2 个,因此飞镖落在阴影区
域的概率为 = .
5.甲、乙两人打赌,甲说,往图中的区域掷石子,它一定会落在阴影部分上,乙说决
不会落在阴影部分上,你认为谁获胜的概率较大?通过计算说明.
【解析】甲获胜的概率为: = ,
乙获胜的概率为: = ,
16

可见乙获胜的概率大.
题组
与面积有关的概率问题的应用
1.“五一”节,某超市开展“有奖促销”活动,凡购物不少于 30 元的顾客均有一
次转动转盘的机会,如图,转盘被分为 8 个全等的小扇形,当指针最终指向数字 8
时,该顾客获一等奖;当指针最终指向 5 或7 时,该顾客获二等奖(若指针指向分界
线则重转).经统计,当天发放一、二等奖奖品共 300 份,那么据此估计参与此次活
动的顾客为
人次.
【解析】由题意可知转盘被分为 8 个全等的小扇形,带有数字 8,5,7 的扇形占总
面积的 ,所以获奖概率为 .
因为当天发放一、二等奖奖品共 300 份,
所以参与此次活动的顾客为 300÷ =800(人次).
答案:800
2.在如图所示的图案中,黑白两色的直角三角形
都全等.将它作为一个游戏盘,游戏规则是:按
一定距离向盘中投镖一次,扎在黑色区域则甲
胜,扎在白色区域则乙胜.你认为这个游戏公
平吗?为什么?
【解析】这个游戏是公平的.理由如下:
因为黑白两色的直角三角形都全等,且个数也分别相等.
所以黑白两色直角三角形面积的和也分别相等.
又因为黑白两色的弓形的弦长都是直角三角形的斜边,
所以黑白两色的弓形的面积和也分别相等.
因此黑白两色区域面积各占圆面积的 50%,
17

即镖扎在黑白两色区域面积的概率均为 50%,
故此游戏公平.
3.学校新年联欢会上某班举行有奖竞猜活动,猜对问题的同学即可获得一次摇奖
机会,摇奖机是一个圆形转盘,被分成 16 等分,摇中红、黄、蓝色区域,分别获得
一、二、三等奖,奖品分别为台灯、笔记本、签字笔.请问:
(1)摇奖一次,获得笔记本的概率是多少?
(2)小明答对了问题,可以获得一次摇奖机会,请问小明能获得奖品的概率有多大?
请你帮他算算.
【解析】(1)由图知,黄色的有 2 个,则摇奖一次,获得笔记本的概率是: = .
(2)由图知,获奖的机会有 7 个,故一次摇奖,能获得奖品的概率为: .
小明正在玩飞镖游戏,如果他将飞镖随意投向如图 1 所示的正方形纸板中,那么
投中阴影部分的概率为
.
图 1
【解析】观察这个图可知:阴影部分占 6 个小正方形,占总数 16 个的 = ,则阴影
区域的面积占总面积的 ,故其概率是 .
18

答案:
【母题变式】
[变式一]某游戏的规则为:选手蒙眼在一张如图 2 所示的正方形黑白格子纸(九
个小正方形面积相等 )上描一个点,若所描的点落在黑色区域 ,获得笔记本一个 ;
若落在白色区域,获得钢笔一支.选手获得笔记本的概率为
.
图 2
【解析】因为整个正方形被分成了 9 个小正方形,黑色正方形有 5 个,所以落在黑
色区域即获得笔记本的概率为 .
答案:
[变式二]如图 3 所示的 3×3 方格形地面上,阴影部分是草地,其余部分是空地,
一只自由飞翔的小鸟飞下来落在草地上的概率为
.
图 3
【解析】因为阴影部分的面积=3 个小正方形的面积,
大正方形的面积=9 个小正方形的面积,
所以阴影部分的面积占总面积的 = ,
所以小鸟飞下来落在草地上的概率为 .
答案:
19

[变式三]小猫在如图所示的地板上自由走动 ,并随意停留在某块方砖上 ,那么它
停留在黑色区域上的概率是多少?
【解析】观察这个图可知:大正方形被等分成 9 个小正方形,黑色区域有 3 个小正
方形,占总数的 3÷9= .故它停留在黑色区域上的概率是 .
[变式四]小明家阳台地面上,水平铺设黑白颜色相间的 18 块方砖(如图),他从房
间向阳台抛小皮球,小皮球最终随机停留在某块方砖上.
(1)求小皮球分别停留在黑色方砖与白色方砖上的概率.
(2)要使停留在黑色方砖和白色方砖上的概率相等,应怎样改变方砖的颜色?
【解析】(1)因为白色方砖 8 块,黑色方砖 10 块,
又因为黑白颜色相间的有 18 块方砖,
所以小皮球停留在黑色方砖上的概率是 = ,
小皮球停留在白色方砖上的概率是 = .
(2)因为 > ,
所以小皮球停留在黑色方砖上的概率大于停留在白色方砖上的概率,
要使这两个概率相等,只要把其中一块黑色方砖改为白色方砖即可.
20

答案:
【母题变式】
[变式一]某游戏的规则为:选手蒙眼在一张如图 2 所示的正方形黑白格子纸(九
个小正方形面积相等 )上描一个点,若所描的点落在黑色区域 ,获得笔记本一个 ;
若落在白色区域,获得钢笔一支.选手获得笔记本的概率为
.
图 2
【解析】因为整个正方形被分成了 9 个小正方形,黑色正方形有 5 个,所以落在黑
色区域即获得笔记本的概率为 .
答案:
[变式二]如图 3 所示的 3×3 方格形地面上,阴影部分是草地,其余部分是空地,
一只自由飞翔的小鸟飞下来落在草地上的概率为
.
图 3
【解析】因为阴影部分的面积=3 个小正方形的面积,
大正方形的面积=9 个小正方形的面积,
所以阴影部分的面积占总面积的 = ,
所以小鸟飞下来落在草地上的概率为 .
答案:
19

[变式三]小猫在如图所示的地板上自由走动 ,并随意停留在某块方砖上 ,那么它
停留在黑色区域上的概率是多少?
【解析】观察这个图可知:大正方形被等分成 9 个小正方形,黑色区域有 3 个小正
方形,占总数的 3÷9= .故它停留在黑色区域上的概率是 .
[变式四]小明家阳台地面上,水平铺设黑白颜色相间的 18 块方砖(如图),他从房
间向阳台抛小皮球,小皮球最终随机停留在某块方砖上.
(1)求小皮球分别停留在黑色方砖与白色方砖上的概率.
(2)要使停留在黑色方砖和白色方砖上的概率相等,应怎样改变方砖的颜色?
【解析】(1)因为白色方砖 8 块,黑色方砖 10 块,
又因为黑白颜色相间的有 18 块方砖,
所以小皮球停留在黑色方砖上的概率是 = ,
小皮球停留在白色方砖上的概率是 = .
(2)因为 > ,
所以小皮球停留在黑色方砖上的概率大于停留在白色方砖上的概率,
要使这两个概率相等,只要把其中一块黑色方砖改为白色方砖即可.
20

答案:
【母题变式】
[变式一]某游戏的规则为:选手蒙眼在一张如图 2 所示的正方形黑白格子纸(九
个小正方形面积相等 )上描一个点,若所描的点落在黑色区域 ,获得笔记本一个 ;
若落在白色区域,获得钢笔一支.选手获得笔记本的概率为
.
图 2
【解析】因为整个正方形被分成了 9 个小正方形,黑色正方形有 5 个,所以落在黑
色区域即获得笔记本的概率为 .
答案:
[变式二]如图 3 所示的 3×3 方格形地面上,阴影部分是草地,其余部分是空地,
一只自由飞翔的小鸟飞下来落在草地上的概率为
.
图 3
【解析】因为阴影部分的面积=3 个小正方形的面积,
大正方形的面积=9 个小正方形的面积,
所以阴影部分的面积占总面积的 = ,
所以小鸟飞下来落在草地上的概率为 .
答案:
19

[变式三]小猫在如图所示的地板上自由走动 ,并随意停留在某块方砖上 ,那么它
停留在黑色区域上的概率是多少?
【解析】观察这个图可知:大正方形被等分成 9 个小正方形,黑色区域有 3 个小正
方形,占总数的 3÷9= .故它停留在黑色区域上的概率是 .
[变式四]小明家阳台地面上,水平铺设黑白颜色相间的 18 块方砖(如图),他从房
间向阳台抛小皮球,小皮球最终随机停留在某块方砖上.
(1)求小皮球分别停留在黑色方砖与白色方砖上的概率.
(2)要使停留在黑色方砖和白色方砖上的概率相等,应怎样改变方砖的颜色?
【解析】(1)因为白色方砖 8 块,黑色方砖 10 块,
又因为黑白颜色相间的有 18 块方砖,
所以小皮球停留在黑色方砖上的概率是 = ,
小皮球停留在白色方砖上的概率是 = .
(2)因为 > ,
所以小皮球停留在黑色方砖上的概率大于停留在白色方砖上的概率,
要使这两个概率相等,只要把其中一块黑色方砖改为白色方砖即可.
20

答案:
【母题变式】
[变式一]某游戏的规则为:选手蒙眼在一张如图 2 所示的正方形黑白格子纸(九
个小正方形面积相等 )上描一个点,若所描的点落在黑色区域 ,获得笔记本一个 ;
若落在白色区域,获得钢笔一支.选手获得笔记本的概率为
.
图 2
【解析】因为整个正方形被分成了 9 个小正方形,黑色正方形有 5 个,所以落在黑
色区域即获得笔记本的概率为 .
答案:
[变式二]如图 3 所示的 3×3 方格形地面上,阴影部分是草地,其余部分是空地,
一只自由飞翔的小鸟飞下来落在草地上的概率为
.
图 3
【解析】因为阴影部分的面积=3 个小正方形的面积,
大正方形的面积=9 个小正方形的面积,
所以阴影部分的面积占总面积的 = ,
所以小鸟飞下来落在草地上的概率为 .
答案:
19

[变式三]小猫在如图所示的地板上自由走动 ,并随意停留在某块方砖上 ,那么它
停留在黑色区域上的概率是多少?
【解析】观察这个图可知:大正方形被等分成 9 个小正方形,黑色区域有 3 个小正
方形,占总数的 3÷9= .故它停留在黑色区域上的概率是 .
[变式四]小明家阳台地面上,水平铺设黑白颜色相间的 18 块方砖(如图),他从房
间向阳台抛小皮球,小皮球最终随机停留在某块方砖上.
(1)求小皮球分别停留在黑色方砖与白色方砖上的概率.
(2)要使停留在黑色方砖和白色方砖上的概率相等,应怎样改变方砖的颜色?
【解析】(1)因为白色方砖 8 块,黑色方砖 10 块,
又因为黑白颜色相间的有 18 块方砖,
所以小皮球停留在黑色方砖上的概率是 = ,
小皮球停留在白色方砖上的概率是 = .
(2)因为 > ,
所以小皮球停留在黑色方砖上的概率大于停留在白色方砖上的概率,
要使这两个概率相等,只要把其中一块黑色方砖改为白色方砖即可.
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