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《椭圆及其标准方程》（第一课时）教学设计

一、教学内容分析
教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例。椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。一方面，它是对前面所学的运用“代数方法研究几何问题”的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；另一方面，教科书以椭圆作为学习圆锥曲线的开始和重点，并依此来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法。因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。
椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方
程建立的基石，这是本节课的一个教学重点；而坐标法是解析几何中的重要数学方
法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例，让学生亲身经历椭
圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程，有利于培养学生观察
分析、抽象概括的能力。
学生对“曲线与方程”的内在联系仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础。
根据以上分析，确定本课时的教学难点和教学重点分别是：
教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，体会坐标法的应用。
教学难点：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程。
二、学生学情分析
在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要

利用曲线方程的知识推导出方程，与前面学生熟悉的圆相比，对学生的抽象、分析、实践的能力要求比较高，可能困难要大一点，导致学生在学习中可能出现的困难是：学生动手作图慢；用尺规作图的思路可能出现障碍；受教材的影响，学生选择坐标系的思维可能受到限制；方程的化简也是一个难点。 
三、教学目标与目标解析
根据新课程标准对本节课的要求以及对教材和学生情况的分析，本节课教学目标确定为:
1、感受建立曲线方程的基本过程，使学生理解椭圆的定义。即通过学生动手用图钉、细绳画椭圆，能用自己的语言叙述出什么是椭圆，进而引导学生利用直尺、圆规作出椭圆，用等价转化的方法从不同角度加深对椭圆的理解。
2、体会坐标法的应用，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程。即要让学生自己选择坐标系，根据对椭圆概念的不同理解，选择适当的方法，推导椭圆的方程，在这些活动的基础上，让学生进一步感受曲线与议程的内在联系。
3、培养学生动手能力、合作意识和分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。即通过对同一概念从不同角度的理解，坐标系的不同选择，用不同的方法得到不同的方程，通过比较，体会曲线方程的不确定性及其标准方程的对称和谐美。
四、教学方法：探究式教学法。即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．
五、教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．
六、教学过程
（一）创设情境，引入概念
1、“嫦娥一号”是我国的首颗绕月人造卫星。以中国古代神话人物嫦娥命名，已于2007年10月24日18时05分左右在西昌卫星发射中心升空，在快要到达月球时，依靠控制火箭的反向助推减速。在被月球引力“俘获”后，成为环月球卫星，绕月球飞行。请问“嫦娥一号”卫星的绕月运行轨道是什么？
学生根据自己平时的积累，可能会回答圆或椭圆。

【设计意图】：展示“嫦娥一号”绕月球运行的轨道图片，指出卫星进入太空后，以椭圆形轨道绕月运行后又以极月圆轨道绕月球飞行。由于实际的结果与学生已有的认知产生了冲突，从而激发了学生的兴趣和探索欲望。
2、用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形．当端起水杯喝水时，水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆形．联想生活中还有哪些是椭圆图形？
回忆：1、圆是怎么画出来的？2、圆的定义是什么？3、圆的标准方程是什么形式？
（圆是到定点距离等于定长的点的轨迹，根据圆的定义，用一根细绳就可画出一个圆．将细绳的一贯固定在黑板上，在另一端系上一支粉笔，将细绳绷紧并绕固定端点旋转一周即可．）
猜想：1、椭圆是怎么画出来的？2、椭圆的定义是什么？3、椭圆的标准方程又是什么形式？
提出：将圆心从一点“分裂”成两点，将细绳的两端固定在这两点，用粉笔挑起细绳并绷紧，移动粉笔，可画出什么图形？
【设计意图】：从生活实际出发，从而激起学生强烈的求知欲望。用类比的思想，通过已经学过的圆的知识猜想椭圆，开展后续教学。
（二）实验探究，形成概念
1．学生分组，合作探究，教师巡视指导．通过动手实践、观察，猜想轨迹为椭圆（每四人一组，在预先准备好的绘图板上，用图钉固定细绳两端，用铅笔挑起细绳并绷紧，移动铅笔，观察画出的图形．）
2．展示学生成果。请学生代表本小组交流探究结论：根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义——与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）．
3．几何画板动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想

【设计意图】：给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”；让每个人都动手画图，自己思考问题，由此培养学生的自信心。
4．椭圆定义的完善
（1）提出问题：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证它足够严密、经得起推敲．那么，这个常数可以是任意正实数吗？有什么限制条件吗？
引导学生回答：在“定义”中需要加上“常数大于”的限制。
（2）深化问题：若常数等于 或常数小于,情况会发生什么变化？
应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”为理论依据，得出结论：当常数等于时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是线段；当常数小于时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹不存在．
【设计意图】：使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风
5、概括椭圆定义
请学生给出经过修改的椭圆定义：
定义：平面内与两个定点距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。
教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
思考：焦点为的椭圆上任一点M，有什么性质？
令椭圆上任一点M，则有，
补充：若时，轨迹是线段；若时，无轨迹。
【设计意图】：让学生通过反思画图过程，归纳定义，学习定义，为后面分析椭圆的标准方程做下铺垫；比较深入地理解椭圆定义的条件。
（三）研讨探究，推导方程
问题：请你选择适当的坐标系，求出焦点是，焦距是，动点到定点距离之和是的椭圆中的方程。请先说出解决这个问题的方案，讨论之后再进行解决。
活动方式：学生先独立思考，之后全班交流，确定最后的解决方案，然后分工合作，共同完成，之后再交流。
【设计意图】：通过坐标系的不同选择，用不同的方法得到不同的方程，通过比较体会曲线的方程的不确定性，理解曲线与方程的关系，感受恰当选择坐标系的优越性，感受标准方程的简洁、对称、和谐之美，并在实践中通过对比提高决策能力、计算能力、培养学生简约的思维能力。
预设的解决方案：
方案1 ：如图1建立坐标系，得到方程
方案2 ：如图2建立坐标系，得到方程

方案3 ：如图3建立坐标系，得到方程
方案4 ：如图4建立坐标系，得到方程
方案5 ：如图5建立坐标系，
以下是方案1的过程（其它方案的过程略）：
以过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．设，点为椭圆上任意一点，
则 （称此式为几何条件），
∴ 得（实现集合条件代数化），
（想一想：下面怎样化简？）
（１）教师为突破难点，进行引导设问：
我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得  ．
（2）的引入．
由椭圆的定义可知，,　∴．
让点运动到轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得，的几何意义，进而自然引进，此时设，于是得， 两边同时除以，得到方程：（注意：两次平方时的等价性，可以根据学生的具体情况选择加以证明，或者不加证明的指出。）
板书：方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，其坐标是，其中。
（把学生推导椭圆方程的具有代表性的方法，在实物展台上投影。）
问题：通过对比学生求出椭圆各种形式的方程，你能发现什么规律？哪一种方程最简洁？
活动形式：学生思考后主动发言回答。
【设计意图】：让学生通过对比及感性认识，总结归纳出椭圆方程的标准形式：
（1）焦点在轴（以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系）上的椭圆的标准方程；
（2）焦点在轴（以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系）上的椭圆的标准方程
（四）归纳概括，方程特征
1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳
（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；
（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；
（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：；
2、在归纳总结的基础上，填下表

【设计意图】：把两种类型的椭圆方程推导出来，那这两类方程有什么相同点，有什么不同点呢？先让学生进行小组讨论，找出性质，再列出表格让学生填空。这样通过表格的对比可以对知识深化理解。
（五）例题研讨，变式精析
例1：判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆
（1）到点和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）
（2）到点和点的距离之和为4的点的轨迹；（不是）
（3）到点和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）
（4）到点和点的距离之和为4的点的轨迹；（不是）
【设计意图】：巩固椭圆定义
例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10.
变式一：将上题焦点改为、，结果如何？
变式二：将上题改为两个焦点的距离为8 ，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10 ，结果如何？（学生直接抢答）
【设计意图】：1、根据不同条件求椭圆的标准方程（定义或待定系数）；2、提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程.
例3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点的坐标分别是、，并且经过点P．
活动形式：学生独立思考完成．教师巡视，投影学生答案．学生讨论总结．
解题思路1：先根据已知条件设出焦点在轴上的椭圆方程的标准方程，再将椭圆上点的坐标代入此方程，并结合、、间的关系求出、的值，从而得到椭圆的标准方程为．
【设计意图】：学会用待定系数法求椭圆的标准方程.
解题思路2：利用椭圆定义（椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数2）求出值，再结合已知条件和、、间的关系求出的值，进而写出标准方程．
【设计意图】：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用.
（六）小结归纳，提高认识
最后进行课堂小结，先由学生小组讨论，再个别提问，然后集体补充，最后教师才引导和完善。师生应共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和方法。
定义
椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
标准方程

图形

焦点坐标
F1(c,0), F2(-c,0)
F1(0,c), F2(0,-c)
的关系

【学情预设】学生总结出在知识、数学思想等方面的收获．
【设计意图】摆脱传统教学中教师小结的做法，以表格形式出现，让学生自己总结，加深对本节课内容的认识．
（七）作业训练，巩固提高
1、课本作业；
2、你能用直尺和圆规作出椭圆上的任意一点吗？作图的依据是什么？根据你的作图方法，能找到与之相应的方法求出椭圆方法吗？
活动方式：留作课后自主或交流完成。
【设计意图】：巩固椭圆标准方程的相关知识。按照能力来选择作业也体现了分层教学的思想，还可以激发学生挑战自己的能力，激发兴趣。
（八）板书设计
根据课堂教学要求，板书设计如下。

七、教学设计说明
本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，学生在自觉进入问题情境后，在问题的指引下和老师的指导下，通过实践、探索、体验、反思等活动把探究活动层层展开、步步深入，亲身经历知识的产生过程。使学生在知识的形成过程中，获得数学的情感体验，享受到成功的乐趣，同时在思想方法运用、思维能力等方面得到提高和发展。课堂进行中通过实际操作、多媒体课件演示等，激发学生的学习兴趣，使学生让学生在生生互动、师生互动中把学生的学习过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用。
本节课学生活动较多，知识拓展较深，运算较困难，因此本节课不能按预计完成，剩余问题下节课解决。
八、课后反思
1、本节课整个教学过程为：提出问题——探索——解决问题——归纳反思——提高。在问题的设计中，从多角度探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。
2、存在的问题：（1）对课堂调控没有真正达到目的，如推导椭圆方程的目的是要让学生从代数的角度去理解椭圆，但由于学生没能及时推导出方程，实际上没能达到这个效果。（2）对学生估计不够，如问题“建系求方程”提出后，学生讨论积极但由于计算不过关，导致几种解法没有结果，只能课下研究。