吉林省长春市2012-2013学年高二数学下学期期初考试试题(A)-理-新人教A版.doc

2012-2013学年高二下学期期初考试数学（理）试题（A）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 ( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
2．设函数，则 （ ）
A．为的极大值点 B．为的极小值点
C．为的极大值点 D．为 的极小值点
3. 已知命题：，；命题：.则下列结论正确的是 （ ）
A．命题是真命题 B． 命题是真命题
C．命题是真命题 D． 命题是假命题
4. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为 （ ）
A． B．
C． D．
5. 设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且
则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分不必要条件
6. 已知F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则
cos∠F1PF2= ( )
A． B. C. D.
7. 设{an}是等比数列，则 “a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的 (　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8. 已知双曲线：的离心率2.若抛物线的
焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 ( )
A. 　 B. 　 　 C.　　 D.
9. 已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(p1)∨p2和q4：p1∧(p2)中，真命题是(　)
A．q1，q3 B．q1，q4 C．q2，q3 D．q2，q4
10. 已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④。
其中正确结论的序号是 （ ）
A．②④ B．①④ C.①③ D．②③
11. 已知椭圆的离心学率为.双曲线渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形面积为16，则椭圆的方程为( )
A． B． C． D．
12. 若，则下列不等式恒成立的是 ( )
A． B．
C． D．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13. 设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根，q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根.则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是____________.
14. 椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。
15. 已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾
斜角均不小于的锐角，则实数的取值范围是 .
16. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点.
(1)求证:⊥平面PAB；(2)设,求与平面所成的角的正弦值。

17题图 18题图
18. (本小题满分12分)
如图，在长方体中，，为中点。
（1）求证：；（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由。
（3）若二面角的大小为，求的长。
19. (本小题满分12分)
如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上。
（1）求抛物线的方程；
（2）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点。证明：以为直径的圆恒过轴上某定点。

19题图 20题图
20. (本小题满分12分)
如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为
．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 求ABP的面积取最大值时直线l的方程．
21. (本小题满分12分)
设，证明：
(1)当＞1时，＜；(2)当时，.
22. (本小题满分12分)
设函数f(x)= ex－ax－2。
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值.
长春市实验中学2012-2013学年第二学期高二开学初考试
理科数学A卷参考答案
一． 选择题

二.填空题
13. (－∞，－2]∪[－1,3) 14. 3
15. 16.
三.解答题
17. (本小题满分10分)（1）略(2)AC与平面AEF所成的角的正弦值为。
（Ⅲ）设，连接，过点作于点，连接
面，得：是二面角的平面角。在中
在矩形中，
， 得：

（2）设；则
过点的切线方程为即
令
设满足：及
得：对均成立
.以为直径的圆恒过轴上定点
20. (本小题满分12分)
解：(1)由题：； (1)
左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：
． (2)
由(1) (2)可解得：．
∴所求椭圆C的方程为：．
(2)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．
∵A，B在椭圆上，
∴．
设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，
代入椭圆：．
显然．∴＜m＜且m≠0．
由上又有：＝m，＝．
∴|AB|＝||＝＝．
∵点P(2，1)到直线l的距离为：．
∴SABP＝d|AB|＝|m-4|==,
其中，令，
，当取到最大值，此时S取到最大值。综上，所求直线l的方程为。
21. 解:(1)记=，则当＞1时，=
又∵，∴＜0，即＜； ……4分
（法2）由均值不等式，当＞1时，，∴， ①
令，则，，∴，即， ②
由①②得，当＞1时，＜. ……4分
(2)（法1）记，由(Ⅰ)得，
==＜=，
令=，则当时，= ……10分
∴在（1,3）内单调递减，又，∴＜0，
∴当1＜＜3时，. ……12分
（证法2）记=，则当当1＜＜3时，
=＜
=＜
=＜0. ……10分
∴在（1,3）内单调递减，又，∴＜0，
∴当1＜＜3时，. ……12分
22. (本小题满分12分) 2012年高考新课标文科试题第21题。

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