初中数学九大几何模型-初中几何九大模型-初中九大几何模型.docx
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初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 D (1)等边三角形 O O C D E B E C A A B 图 1 图 2 【条件】:△OAB 和△OCD 均为等边三角形; 【结论】:①△OAC≌△OBD;②∠AEB=60°;③OE 平分∠AED D (2)等腰直角三角形 D O O C E E C A B A B 图 1 图 2 【条件】:△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形; 【结论】:①△OAC≌△OBD;②∠AEB=90°;③OE 平分∠AED D (3)顶角相等的两任意等腰三角形 O O 【条件】:△OAB 和△OCD 均为等腰三角形; 且∠COD=∠AOB C D E E 【结论】:①△OAC≌△OBD; ②∠AEB=∠AOB; C ③OE 平分∠AED B A B A 图 1 图 2 O O 二、模型二:手拉手模型----旋转型相似 (1)一般情况 D 【条件】:CD∥AB, C D E 将△OCD 旋转至右图的位置 C A B A B 【结论】:①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD; D ②延长 AC 交 BD 于点 E,必有∠BEC=∠BOA O O C B (2)特殊情况 E C D 【条件】:CD∥AB,∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 A A B 【结论】:①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD; ②延长 AC 交 BD 于点 E,必有∠BEC=∠BOA; BD OD OB = = AC OC OA = tan∠OCD;④BD⊥AC; ③ 1 2 + BC = AB2 + CD = AC BD ´ ⑤连接 AD、BC,必有AD2 ;⑥S 2 2 △BCD A 三、模型三、对角互补模型 (1)全等型-90° C D 【条件】:①∠AOB=∠DCE=90°;②OC 平分∠AOB O E B 图 1 1 = S + S = OC 【结论】:①CD=CE;②OD+OE= 2 OC;③S 2 △DCE △OCD △OCE 2 A M 证明提示: C ①作垂直,如图 2,证明△CDM≌△CEN ②过点 C 作 CF⊥OC,如图 3,证明△ODC≌△FEC D O N 图 2 E B ※当∠DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时(如图 4): A 以上三个结论:①CD=CE;②OE-OD= 2 OC; C 1 M - S = OC ③S 2 A D △OCE △OCD 2 C B O N E D 图 4 O E F B 图 3 (2)全等型-120° 【条件】:①∠AOB=2∠DCE=120°;②OC 平分∠AOB 3 = S + S = OC2 【结论】:①CD=CE;②OD+OE=OC;③S △DCE △OCD △OCE 4 证明提示:①可参考“全等型-90°”证法一; ②如右下图:在 OB 上取一点 F,使 OF=OC,证明△OCF 为等边三角形。 A A C C F F O E B O E F B (3)全等型-任意角ɑ 【条件】:①∠AOB=2ɑ,∠DCE=180-2ɑ;②CD=CE; 【结论】:①OC 平分∠AOB;②OD+OE=2OC·cosɑ; = S + S = OC × sin α × cosα ③S 2 △DCE △OCD △OCE ※当∠DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时(如右下图): 原结论变成:① ; ② ③ ; 。 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 A C D A O B E C O B E D 对角互补模型总结: ①常见初始条件:四边形对角互补,注意两点:四点共圆有直角三角形斜边中线; A ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别; ③注意 OC 平分∠AOB 时, C ∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB 如何引导? D O E B 四、模型四:角含半角模型 90° (1)角含半角模型 90°---1 【条件】:①正方形 ABCD;②∠EAF=45°; 【结论】:①EF=DF+BE;②△CEF 的周长为正方形 ABCD 周长的一半; 也可以这样: 【条件】:①正方形 ABCD;②EF=DF+BE; D F D F 【结论】:①∠EAF=45°; A A B C B C E G E (2)角含半角模型 90°---2 【条件】:①正方形 ABCD;②∠EAF=45°; 【结论】:①EF=DF-BE; A A A D D D C F C F C F E B E B E B (3)角含半角模型 90°---3 【条件】:①Rt△ABC;②∠DAE=45°; + CE = DE 【结论】: BD2 (如图 1) 2 2 + CE = DE 若∠DAE 旋转到△ABC 外部时,结论BD2 仍然成立(如图 2) 2 2 A A F B D E C B C D F E A A B C A B C D E D E (4)角含半角模型 90°变形 D A D F 【条件】:①正方形 ABCD;②∠EAF=45°; 【结论】:△AHE 为等腰直角三角形; 证明:连接 AC(方法不唯一) ∵∠DAC=∠EAF=45°, H H F G G B C B C E E ∴∠DAH=∠CAE,又∵∠ACB=∠ADB=45°; DA AC = AH AE ∴△DAH∽△CAE,∴ ∴△AHE∽△ADC,∴△AHE 为等腰直角三角形 模型五:倍长中线类模型 A D A D (1)倍长中线类模型---1 【条件】:①矩形 ABCD;②BD=BE; ③DF=EF; F F B C E H B H E 【结论】:AF⊥CF 模型提取:①有平行线 AD∥BE;②平行线间线段有中点 DF=EF; 可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。 (2)倍长中线类模型---2 【条件】:①平行四边形 ABCD;②BC=2AB;③AM=DM;④CE⊥AB; 【结论】:∠EMD=3∠MEA 辅助线:有平行 AB∥CD,有中点 AM=DM,延长 EM,构造△AME≌△DMF,连接 CM 构造 等腰△EMC,等腰△MCF。(通过构造 8 字全等线段数量及位置关系,角的大小转化) F A A M M D D E E B C B C 模型六:相似三角形 360°旋转模型 (1)相似三角形(等腰直角)360°旋转模型---倍长中线法 【条件】:①△ADE、△ABC 均为等腰直角三角形;②EF=CF; 【结论】:①DF=BF;②DF⊥BF 辅助线:延长 DF 到点 G,使 FG=DF,连接 CG、BG、BD,证明△BDG 为等腰直角三角形; C 突破点:△ABD≌△CBG; C 难点:证明∠BAO=∠BCG G F F D D A B A B E (2)相似三角形(等腰直角)360°旋转模型---补全法 C 【条件】:①△ADE、△ABC 均为等腰直角三角形;②EF=CF; C G 【结论】:①DF=BF;②DF⊥BF F 辅助线:构造等腰直角△AEG、△AHC; D 辅助线思路:将 DF 与 BF 转化到 CG 与 EF。 F A D B A B E E H (3)任意相似直角三角形 360°旋转模型---补全法 【条件】:①△OAB∽△ODC;②∠OAB=∠ODC=90°;③BE=CE; 【结论】:①AE=DE;②∠AED=2∠ABO 辅助线:延长 BA 到 G,使 AG=AB,延长 CD 到点 H 使 DH=CD,补全△OGB、△OCH 构造旋转模 H 型。转化 AE 与 DE 到 CG 与 BH,难点在转化∠AED。 O G D D A B B E E C C (4)任意相似直角三角形 360°旋转模型---倍长法 【条件】:①△OAB∽△ODC;②∠OAB=∠ODC=90°;③BE=CE; 【结论】:①AE=DE;②∠AED=2∠ABO 辅助线:延长 DE 至 M,使 ME=DE,将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO,此为难点, 将△AMD∽△ABC 继续转化为证明△ABM∽△AOD,使用两边成比例且夹角相等,此处难点在 O 证明∠ABM=∠AOD O D A D A B E C B E C 模型七:最短路程模型 M (1)最短路程模型一(将军饮马类) A 总结:右四图为常见的轴对称类最短路程问题, B 最后都转化到:“两点之间,线段最短:解决; 特点:①动点在直线上;②起点,终点固定 l B' l1 A A' P A' A A' A B P l1 B Q l l2 l2 Q Q P PA+PQ+BQ PA+PQ+BQ B' B' B (2)最短路程模型二(点到直线类 1) 【条件】:①OC 平分∠AOB;②M 为 OB 上一定点;③P 为 OC 上一动点;④Q 为 OB 上一动点; 【问题】:求 MP+PQ 最小时,P、Q 的位置? 辅助线:将作 Q 关于 OC 对称点 Q’,转化 PQ’=PQ,过点 M 作 MH⊥OA, A 则 MP+PQ=MP+PQ’³ MH(垂线段最短) A H Q' P O P Q B M (3)最短路程模型二(点到直线类 2) 【条件】:A(0,4),B(-2,0),P(0,n) 5 + PA 【问题】:n 为何值时,PB 最小? 5 5 求解方法:①x 轴上取 C(2,0),使 sin∠OAC= ;②过 B 作 BD⊥AC,交 y 轴于点 E,即为 5 1 所求;③tan∠EBO=tan∠OAC= ,即 E(0,1) 2 y y A A P D E B B x O C x (4)最短路程模型三(旋转类最值模型) 【条件】:①线段 OA=4,OB=2;②OB 绕点 O 在平面内 360°旋转; 【问题】:AB 的最大值,最小值分别为多少? 【结论】:以点 O 为圆心,OB 为半径作圆,如图所示,将问题转化为 B “三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”。 最大值:OA+OB;最小值:OA-OB A O 最小值位置 最大值位置 【条件】:①线段 OA=4,OB=2;②以点 O 为圆心,OB,OC 为半径作圆; ③点 P 是两圆所组成圆环内部(含边界)一点; 【结论】:若 PA 的最大值为 10,则 OC= 6 ;若 PA 的最小值为 1,则 OC= 3 ; 若 PA 的最小值为 2,则 PC 的取值范围是 0<PC<2 B C A O P 【条件】:①Rt△OBC,∠OBC=30°; ②OC=2;③OA=1;④点 P 为 BC 上动点(可与端点重合); ⑤△OBC 绕点 O 旋转 1 【结论】:PA 最大值为 OA+OB=1 + 2 3 ;PA 的最小值为 OB = OA = 3 - 1 2 如下图,圆的最小半径为 O 到 BC 垂线段长。 C P C P B O A B O A 模型八:二倍角模型 【条件】:在△ABC 中,∠B=2∠C; 辅助线:以 BC 的垂直平分线为对称轴,作点 A 的对称点 A’,连接 AA’、BA’、CA’、 则 BA=AA’=CA’(注意这个结论) 此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一,不是唯一作法。 A A B C B C A A E D 模型九:相似三角形模型 A (1)相似三角形模型--基本型 平行类:DE∥BC; E D E D B C B C B C A字型 8字型 A字型 AD AE DE = = AB AC BC 结论: (注意对应边要对应) A A E (2)相似三角形模型---斜交型 【条件】:如右图,∠AED=∠ACB=90°; 【结论】:AE×AB=AC×AD E D C C B B 斜交型 斜交型 D A A E 【条件】:如右图,∠ACE=∠ABC; 【结论】:AC2=AE×AB E B 斜交型 C B C 双垂型 第四个图还存在射影定理:AE×EC=BC×AC;BC2=BE×BA;CE2=AE×BE; (3)相似三角形模型---一线三等角型 【条件】:(1)图:∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°; (2)图:∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°; E A (3)图:∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°; C 图(1) D B 【结论】:①△ABC∽△CDE;②AB×DE=BC×CD; 一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。 A A E E B C 图(2) D B C D 图(3) (4)相似三角形模型---圆幂定理型 【条件】:(2)图:PA 为圆的切线; 【结论】:(1)图:PA×PB=PC×PD; A D P C B 2 (2)图:PA =PC×PB; (3)图:PA×PB=PC×PD; 图(1) 以上结论均可以通过相似三角形进行证明。 A P P A C B B C D 图(2) 图(3) (3)相似三角形模型---一线三等角型 【条件】:(1)图:∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°; (2)图:∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°; E A (3)图:∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°; C 图(1) D B 【结论】:①△ABC∽△CDE;②AB×DE=BC×CD; 一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。 A A E E B C 图(2) D B C D 图(3) (4)相似三角形模型---圆幂定理型 【条件】:(2)图:PA 为圆的切线; 【结论】:(1)图:PA×PB=PC×PD; A D P C B 2 (2)图:PA =PC×PB; (3)图:PA×PB=PC×PD; 图(1) 以上结论均可以通过相似三角形进行证明。 A P P A C B B C D 图(2) 图(3) (3)相似三角形模型---一线三等角型 【条件】:(1)图:∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°; (2)图:∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°; E A (3)图:∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°; C 图(1) D B 【结论】:①△ABC∽△CDE;②AB×DE=BC×CD; 一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。 A A E E B C 图(2) D B C D 图(3) (4)相似三角形模型---圆幂定理型 【条件】:(2)图:PA 为圆的切线; 【结论】:(1)图:PA×PB=PC×PD; A D P C B 2 (2)图:PA =PC×PB; (3)图:PA×PB=PC×PD; 图(1) 以上结论均可以通过相似三角形进行证明。 A P P A C B B C D 图(2) 图(3)- 配套讲稿:
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