【优化方案】2012高中数学-第1章1.2.3第二课时知能优化训练-苏教版必修2.doc

1．下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°)；
②直线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°]；
③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；
④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．
其中正确的是________(填序号)．
解析：②应为[0°，90°]；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．
答案：①④
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，它的六个面中与棱AA1垂直的有________个．
解析：面A1B1C1D1与面ABCD都与棱AA1垂直．
答案：2
3．下列说法中正确的个数是________．
①如果一条直线和一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直；
②如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内的所有直线都垂直；
③如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；
解析：①②正确，③中缺少两条“相交”直线这一条件．
答案：2
4．如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．

解析：折痕与矩形在桌面内的两条相交直线都垂直，因此折痕与桌面垂直．
答案：垂直

一、填空题
1．已知直线a和平面α、β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，a在α，β内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是________．
解析：当直线a∥平面α，直线a∥平面β时，a∥b且a∥c，则b∥c；当直线a∩平面α＝A，直线a∩平面β＝B.且AB与l不垂直时，b与c异面；当a∩l＝O时，b与c相交于O.∴b和c的位置关系是相交、平行或异面．
答案：相交，平行或异面
2．垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是________．
解析：梯形的两腰所在的直线是相交的直线，故直线垂直于梯形所在平面内的两条相交直线，所以直线与平面垂直．
答案：垂直

3．如图，边长为2的正方形ABCD在α上的射影为EFCD，且AB到α的距离为，则AD与α所成的角为________．
解析：在Rt△AED中，AE＝，AD＝2，
∴∠ADE＝30°.
答案：30°

4．如图，在三棱锥P－ABC中 ，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成角为________．
解析：∵PA＝PB＝PC，
∴P在底面的射影O是△ABC的外心．
又∠BAC＝90°，∴O在BC上且为BC的中点．
∴AO为PA在底面的射影，∠PAO即为所求的角．
在Rt△PAO中，PO＝PB＝PA.
∴sin∠PAO＝＝，∴∠PAO＝60°.
答案：60°

5．如图，PA⊥面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
解析：∵PA⊥面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∴△PAB，△PAC为直角三角形．
∵BC⊥AC，∴△ABC为直角三角形．
∵BC⊥AC，BC⊥PA，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.
∴△PBC也为直角三角形．
答案：4
6．(2010年高考大纲全国卷 Ⅰ 改编)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为________．
解析：

如图，连结BD交AC于O，连结D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝，D1O＝，∴cos∠DD1O＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.
答案：

7．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
解析：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥QD，
又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，
∴QD⊥平面APQ，∴AQ⊥QD.
即Q在以AD为直径的圆上，当半圆与BC相切时，点Q只有一个．故BC＝2AB＝2.
答案：2
8．正△ABC边长为a，沿高AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，则B到AC的距离为________．
解析：如图，作DH⊥AC于H，连结BH.

∵BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC＝D，∴BD⊥平面ACD.从而BD⊥DH，
∴DH为BH在平面ADC内的射影，∴BH⊥AC，
又正△ABC边长为a，∴DH＝a，
∴BH＝＝a.
答案：a

9．(2011年苏北五市联考)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________．
解析：∵BD1⊥平面AB1C，
∴当P在B1C上时，总有AP⊥BD1，
故点P的轨迹是线段B1C.
答案：线段B1C
二、解答题

10．如图，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥面ABCD，且PA＝AB，M、N分别为PC、PB的中点．求证：PB⊥DM.
证明：∵N是PB的中点，PA＝AB，∴AN⊥PB.
∵AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，
∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥PB，又∵AN∩AD＝A，
∴PB⊥平面ADMN.
∵DM⊂平面ADMN，
∴PB⊥DM.

11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α.
证明：

连结AG并延长交BC于D，连结A′G′并延长交B′C′于D′，连结DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′.
∵D、D′分别为BC和B′C′的中点，
∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，
∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，
∴＝，∴GG′∥AA′，
又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α.
12．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示．墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图(2)(3)分别是该标识墩的主(正)视图和俯视图．

(1)请画出该安全标识墩的左视图；
(2)证明：直线BD⊥平面PEG.
解：(1)左视图同主视图，如图所示．

(2)证明：如图所示，连结BD、EG、HF，相交于O，连结PO，

由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，
∴PO⊥HF.
又EG⊥HF，EG∩PO＝O，∴HF⊥平面PEG.
又BD∥HF，∴BD⊥平面PEG.
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用心 爱心 专心