基于Copula函数的黄海波高周期联合统计分析.pdf

第 51 卷第 4 期2023 年 7 月河 海 大 学 学 报(自 然 科 学 版)Journal of Hohai University(Natural Sciences)Vol.51 No.4Jul.2023DOI:10.3876/j.issn.10001980.2023.04.014摇 摇 基金项目:国家自然科学基金项目(52088102,51739010);中国博士后科学基金项目(2022M713002)作者简介:张琦(1997),女,硕士研究生,主要从事海洋工程安全与防灾研究。E鄄mail:zq5707 通信作者:邵珠晓(1990),男,博士,主要从事海洋工程安全与防灾研究。E鄄mail:引用本文:张琦,梁丙臣,邵珠晓.基于 Copula 函数的黄海波高周期联合统计分析J.河海大学学报(自然科学版),2023,51(4):108鄄114.ZHANG Qi,LIANG Bingchen,SHAO Zhuxiao.Joint statistical analysis of wave height and wave period of Yellow Sea based on CopulafunctionJ.Journal of Hohai University(Natural Sciences),2023,51(4):108鄄114.基于 Copula 函数的黄海波高周期联合统计分析张摇 琦,梁丙臣,邵珠晓(中国海洋大学工程学院,山东 青岛摇 266100)摘要:为研究黄海中部海域波浪的年极值波高与年极值周期联合分布,基于黄海海域 3 个位置点19992018 年 SWAN 后报波浪数据,采用 5 种单变量分布拟合年极值波高和年极值周期,通过拟合优度评价得到各位置点年极值波高和年极值周期的最优单变量分布,利用 Copula 函数理论建立了年极值波高和年极值周期联合分布函数,并与单变量分布波高和周期设计值进行了对比分析。结果表明:黄海中部海域波高周期联合分布可能存在区域性特征;波高周期联合分布得到的波高、周期设计值较同设计频率下的单变量分布设计值高;相同波高和周期设计频率下,单变量重现期最大,条件重现期次之,联合重现期最小。关键词:极值波高;极值周期;单变量分布;联合分布;Copula 函数;黄海中图分类号:P731.22;TV139.2 摇 摇 文献标志码:A摇 摇 文章编号:10001980(2023)04010807Joint statistical analysis of wave height and wave period ofYellow Sea based on Copula functionZHANG Qi,LIANG Bingchen,SHAO Zhuxiao(College of Engineering,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)Abstract:To study the joint distribution of annual extreme wave height and annual extreme period of waves in the central Yellow Sea,five univariate distributions were fitted to the annual extreme wave height and annual extreme period based on SWAN hindcast wave datafrom 1999 to 2018 at three locations in the Yellow Sea,and the optimal marginal distributions of annual extreme wave height and annualextreme period at each location were obtained through the evaluation of the goodness of fit.The joint distribution function of annualextreme wave height and annual extreme period was established using the Copula function theory,and compared with the univariatedistribution of wave height and period design values.The results show that there may be regional characteristics in the joint wave heightand period distribution in the central Yellow Sea;the design values of wave height and period obtained from the joint wave height andperiod distribution are higher than the design values of univariate distribution at the same design frequency;under the same designfrequency,the univariate return period is the largest,the conditional return period is the second and the joint return period is thesmallest.Key words:extreme wave height;extremum wave period;marginal distribution;joint distribution;Copula function;Yellow Sea波浪是影响海洋结构物和海上运输的重要海洋环境动力因素之一1鄄2,波浪的穿透性和能量强弱与其波高和周期要素的大小息息相关,波浪的波高和周期越大对工程的破坏越强3鄄4。刘文通5通过模拟试验和理论计算得出,对于沿岸建筑物和海上孤立式建筑物,波高和周期具有同等重要性,只是表现形式不同。近年来,海洋平台损坏事故频发6,原因之一是固有振动周期长,容易与长波共振,导致整体响应过大,从而影响结构强度7。因此,建立合理预测波浪波高和周期设计参数的统计模型,对于海上工程建筑物安全稳定运行是十分关键的。传统的波高周期联合概率密度计算要求波高与周期的单变量分布属于同一类型,但实际上波高和周期拟合出的单变量分布往往不属于同一类型,因此根据传统联合分布模型得到的设计值与实际值存在较大误第 4 期张摇 琦,等摇 基于 Copula 函数的黄海波高周期联合统计分析差。Copula 函数可以灵活地将不同类型的单变量分布联结在一起,同时还将随机变量之间的相关性考虑在内,目前该函数被广泛用于海洋工程各设计参数间联合分布的研究。Wist 等8利用二维 Gaussian Copula 函数建立了波高周期联合分布,并将其应用于日本海域的海洋工程。秦振江等9建立了最大有效波高和最大风速的联合分布,结果表明 Copula 函数可以较好地模拟实际数据。陈超等10采用 Gumbel鄄Hougaard Copula函数和 Clayton Copula 函数构造年极值波高与相应风速的联合分布,并与混合耿布尔分布以及耿布尔逻辑分布进行了对比分析,发现 Copula 函数联合分布可以更好地表现单变量的非正态性。陈子燊等11研究了粤东汕尾海区的最大波高和平均周期,择优选取 Gumbel鄄Hougaard Copula 函数建立二维联合分布,提出同现重现期和联合重现期的设计值可作为设计波高和相应周期的上下限。宋春艳等12利用 Gumbel鄄HougaardCopula 函数构建波高周期联合分布函数,研究表明 Copula 函数可较好拟合波高周期联合分布。黄海是太平洋西部最大的边缘海,针对该海域的波浪周期联合分布研究较少,且以往的研究多采用年极值波高及其对应的周期进行联合分布研究,但年极值波高并不一定对应年极值周期。本文基于中国黄海中部海域后报波浪数据,对该海域 3 个位置点的年极值波高和年极值周期进行统计分析,以期为黄海海域海上平台建设提供参考。1摇 研究方法1.1摇 数据来源近岸波浪模拟软件 SWAN 是基于第三代海浪模型开发的软件,可用于任何尺度下风生表面重力波的计算13,适用于沿海和近海区域的波浪预报14。Shao 等15利用近岸波浪模拟数值模型 SWAN(simulating图 1摇 黄海海域 3 个位置点示意图Fig.1摇 Schematic diagram of three locations in the Yellow Seawaves nearshore)对 19792018 年中国近海的波浪场进行了数值模拟,并将模拟的后报数据与浮标实测数据进行了对比分析,模拟结果与实测波浪数据吻合较好。本文以图 1 所示的黄海海域 3 个位置点(1 号 位置点位于 123毅E、35毅N,2 号 位置点位于124毅E、36毅N,3 号 位置点位于 125毅E、35毅N)19992018 年海浪的后报数据作为数据来源,所选用的参数为每小时记录 1 次的有效波高和谱峰周期,对3 个位置点的年极值波高和年极值周期进行统计分析。代表位置点的选取依据为位置点之间距离较远且分散于黄海海域,位置点之间可以构成一个平面以体现区域性和空间性。1.2摇 理论分布对波高和周期年极值数据,本文采用常见的单变量分布进行拟合,包括广义极值(generalized extremevalue,GEV)分布、对数正态分布、含有尺度参数和位置参数的 t 分布、威布尔(Weibull)分布、伽马(Gamma)分布及皮尔逊芋型(P鄄芋)分布。常用的二维 Copula 函数类型有 Gaussian Copula 函数、t Copula 函数、Clayton Copula 函数、Gumbel Copula函数、Frank Copula 函数,其中 Gaussian Copula 函数和 t Copula 函数属于椭圆 Copula 函数,Clayton Copula 函数、Gumbel Copula 函数和 Frank Copula 函数属于阿基米德 Copula 函数。1.3摇 拟合优度评价为了评价不同概率分布模型的拟合效果,采用 Kolmogorov鄄Smirnov(K鄄S)检验、赤池信息准则(akaikeinformation criterion,AIC)、贝叶斯信息准则(Bayesian information criterion,BIC)和均方根误差(root meansquare error,RMSE)来评价模型的拟合优度,并据此选择最优概率分布。2摇 结果与分析2.1摇 单变量分布提取 19992018 年的年极值波高和年极值周期分别建立波高和周期的单变量分布,分别采用广义极值901河 海 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 51 卷分布、对数正态分布、t 分布、威布尔分布、伽马分布及 P鄄芋分布对年极值波高和年极值周期序列进行概率拟合,波高单变量分布和周期单变量分布的拟合参数及拟合优度评价结果分别见表 1 和表 2。表 1摇 波高单变量分布拟合参数及拟合优度评价结果Table 1摇 Fitting parameters and evaluation results of goodness of fit in univariate distribution of wave height位置点单变量分布拟合参数拟合优度评价结果形状参数尺度参数位置参数K鄄S 值AIC 值RMSE123广义极值分布0.5920.3794.120.16843.50.0522对数正态分布0.2031.520.22657.10.1160t 分布0.9130.2224.180.23051.70.1120威布尔分布4.0405.1300.26767.10.1370伽马分布23.1000.2030.23959.10.1230P鄄芋分布1.0101.1103.570.18950.30.0801广义极值分布0.3610.4844.220.13948.40.0502对数正态分布0.1971.540.26556.10.1070t 分布1.2400.3264.350.15853.50.0692威布尔分布4.2805.1690.29565.50.1310伽马分布25.1000.1890.27858.00.1150P鄄芋分布1.2100.9683.570.17750.70.0717广义极值分布0.5270.4444.460.13148.20.0452对数正态分布0.1871.590.21856.50.0859t 分布1.7100.4614.670.16957.20.0668威布尔分布4.4905.4710.25766.10.1150伽马分布28.0000.1790.23158.20.0934P鄄芋分布1.1700.9823.880.13350.40.0530表 2摇 周期单变量分布拟合参数及拟合优度评价结果Table 2摇 Fitting parameters and evaluation results of goodness of fit in univariate distribution of wave period位置点单变量分布拟合参数拟合优度评价结果形状参数尺度参数位置参数K鄄S 值AIC 值RMSE123广义极值分布-1.041.12015.800.24562.90.0952对数正态分布0.0702.750.16355.40.0685t 分布9.29伊1061.09015.600.17166.10.0695威布尔分布19.0016.1000.17360.60.0693伽马分布197.000.0790.17064.90.0690P鄄芋分布4.920.50418.101.000肄0.5700广义极值分布-0.281.11014.100.18566.90.0819对数正态分布0.0792.670.17465.20.0775t 分布1.88伊1061.12014.500.19067.30.0834威布尔分布13.6515.1000.21667.40.0931伽马分布167.700.0870.18165.20.0802P鄄芋分布171.890.088-0.560.17867.30.0790广义极值分布-0.401.37014.400.17973.20.0777对数正态分布0.0922.690.15572.10.0646t 分布1.46伊1061.33014.800.17174.10.0721威布尔分布12.3015.4000.18273.10.0799伽马分布124.000.1190.16472.10.0689P鄄芋分布758.000.049-22.700.16374.10.0680对比 K鄄S 值、AIC 值和 RMSE 可知,3 个位置点的波高最优单变量分布均为广义极值分布,周期最优单变量分布均为对数正态分布。2.2摇 联合分布对于海洋环境要素,其特征变量波高和周期之间存在一定的相关性。经计算,位置点 1、2、3 年极值波高和年极值周期的 Spearman 秩相关系数 籽s分别为 0.0716、0.1306 和 0.1122,可以看出年极值波高和年极值周期之间存在弱的正相关性。采用二维正态联合分布对 3 个位置点的年极值波高和年极值周期建立传统二维联合分布模型,其概率011第 4 期张摇 琦,等摇 基于 Copula 函数的黄海波高周期联合统计分析密度函数为f(x,y)=12仔滓1滓2exp-12(x-滋1)2滓21+(y-滋2)2滓22(1)式中:滋1、滋2为位置参数;滓1、滓2为尺度参数;x、y 分别对应两种不同的变量值。计算得到 3 个位置点年极值波高与年极值周期二维正态联合分布累积概率与经验分布累积概率散点图如图 2 所示。图 2摇 二维正态联合分布累积概率与经验分布累积概率散点图Fig.2摇 Scatter plot of cumulative probabilities of two鄄dimensional normal joint distribution and empirical distribution表 3摇 二维 Copula 函数拟合优度评价结果Table 3摇 Goodness of fit evaluation results oftwo鄄dimensional Copula function位置点Copula 函数类型AIC 值BIC 值RMSE123Gaussian Copula1.952.940.0320t Copula3.945.930.0309Clayton Copula1.932.920.0302Gumbel Copula1.992.990.0332Frank Copula1.862.880.0302Gaussian Copula1.992.990.0386t Copula3.995.980.0382Clayton Copula1.992.990.0373Gumbel Copula2.002.990.0396Frank Copula1.812.810.0313Gaussian Copula1.962.960.0360t Copula3.955.950.0340Clayton Copula2.002.990.0384Gumbel Copula1.982.970.0356Frank Copula1.882.880.0329摇摇分别采用 Gaussian Copula 函数、t Copula 函数、Clayton Copula 函数、Gumbel Copula 函数和 Frank Copula函数进行拟合,采用极大似然估计法进行参数估计并计算拟合优度评价指标,二维 Copula 函数拟合优度评价结果见表 3,3 个位置点年极值波高与年极值周期二维Copula 函数联合分布累积概率与经验分布累积概率见图 3,3 个位置点二维 Copula 函数联合分布累积概率等值线见图 4。经计算可以得出,位置点 1、2、3 的年极值波高和年极值周期最优二维 Copula 联合函数均为 Frank Copula 函数,可见 Frank Copula 函数适用于构建黄海中部海域所选位置点波高周期二维联合分布。对比图 2 与图 3 可以看出,相较于传统二维正态联合分布模型,二维 Copula函数对于波高周期二维联合分布的拟合效果更好,Copula 函数可以不受单变量分布类型和相关关系的限制,更加灵活地构造波高周期二维联合分布。图 3摇 二维 Copula 函数联合分布累积概率与经验分布累积概率散点图Fig.3摇 Scatter plots of cumulative probabilities of two鄄dimensional Copula functionjoint distribution and empirical distribution111河 海 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 51 卷图 4摇 二维 Copula 函数联合分布累积概率等值线Fig.4摇 Cumulative probability contours of the joint distribution of two鄄dimensional Copula function2.3摇 重现期计算与分析重现期计算是对海浪灾害风险进行中长期预测预警的重要参考,在海洋和港口工程应用中是十分重要的16。定义单变量重现期为T=11-F(x)(2)式中:T 为重现期;F(x)为变量的累积概率;x 为变量值。两变量联合重现期是指变量 X1或 X2超过某个特定值的重现期,其计算公式为T0(x1,x2)=1P(X1 x1)胰(X2 x2)=11-C(F1(x1),F2(x2)(3)式中:T0(x1,x2)为两变量联合重现期;x1,x2分别为两种不同的变量值;P(X1x1)胰(X2x2)为任一变量超过某个特定值的联合概率;C(F1(x1),F2(x2)为两变量均未超过某个特定值的联合概率。由概率论可推导出条件概率为P(H 逸 hT 逸 t)=P(H 逸 h,T 逸 t)P(T 逸 t)=1-FH(h)-FT(t)+C(FH(h),FT(t)1-FT(t)(4)式中:P(H逸hT逸t)为当周期超过某一特定数值时出现超过某一设计波高的概率,可定义为风险概率,其倒表 4摇 单变量重现期和二维联合重现期Table 4摇 Univariate return period andtwo鄄dimensional joint return period位置点单变量分布设计值联合分布设计值单变量重现期/a波高/m周期/s联合重现期/a波高/m周期/s12355.0416.592.845.2217.89105.9017.145.336.0018.63207.1717.6110.337.2619.37509.8618.1525.339.9220.1110013.0918.5250.3313.2020.8455.1815.492.855.3716.70105.9016.045.345.9917.58206.8016.5110.346.9317.85508.3817.0525.348.4718.621009.9717.4250.3410.0919.0255.4815.912.835.5817.86106.3816.585.336.5018.45207.6517.1410.337.9018.635010.2017.8025.3210.5019.3710013.1218.2650.3213.2520.43数即为条件重现期;h 为波高;t 为周期;FH(h)为波高超过 h 的累积概率;FT(t)为周期超过 t 的累积概率;C(FH(h),FT(t)为联合累积概率。单变量重现期是根据单变量分布推导出的重现期,但单一要素不足以综合反映海洋灾害的影响,且任一海洋环境要素超过一定数值都会引起海洋极端事件的发生,联合重现期采用的是“或冶重现期,即任一变量超过某一特定值的重现期。条件概率可作为工程建筑物损毁风险率,联合重现期可作为海洋工程建筑物波高和周期设计值的最大值,对安全系数要求高的海洋工程建筑物可基于此设计。分别由最优二维 Copula 联合函数计算3 个位置点年极值波高和年极值周期对应的联合重现期和条件概率,将其与单变量分布设计值进行对比,结果见表 4 和表 5,各位置点不同波高和周期设计频率下单变量重现期、条件重现期及联合重现期计算结果见表 6。211第 4 期张摇 琦,等摇 基于 Copula 函数的黄海波高周期联合统计分析表 5摇 年极值波高和年极值周期条件概率Table 5摇 Conditional probabilities of annual extreme wave height and annual extreme wave period位置点波高设计频率条件概率/%p=0.5p=0.2p=0.1p=0.05p=0.02p=0.011230.553.5755.7056.4156.7656.9757.040.222.2823.7724.2924.5624.7224.770.111.2812.1512.4512.6112.7012.730.055.686.146.306.396.446.460.022.282.472.542.582.602.600.011.141.241.271.291.301.310.554.1156.5757.3857.7858.0258.100.222.6324.3724.9825.2925.4725.540.111.4812.4912.8513.0313.1513.180.055.786.326.526.626.686.700.022.322.552.632.672.702.710.011.161.281.321.341.351.360.553.3655.3756.0356.3756.5756.630.222.1523.5524.0324.2824.4324.480.111.2112.0212.3012.4512.5312.560.055.646.076.226.306.356.370.022.262.442.512.542.562.570.011.131.221.261.271.281.29摇 摇 注:p 为周期设计频率。表 6摇 不同波高和周期设计频率下重现期Table 6摇 Return periods under different designfrequencies of wave height and period位置波高和周期设计频率单变量重现期/a条件重现期/a联合重现期/a1230.254.212.840.1108.035.330.052015.6510.330.025038.4625.330.0110076.3450.330.254.102.850.1107.785.340.052015.1110.340.025037.0425.340.0110073.5350.340.254.252.830.1108.135.330.052015.8710.330.025039.0625.320.0110077.5250.32由表 4 可知,50 a 和 100 a 重现期对应的波高,位置点 3最大,位置点 1 次之,位置点 2 最小;50 a 和 100 a 重现期对应的波浪周期,位置点 1 最大,位置点 3 次之,位置点 2 最小;联合重现期较单变量重现期小,约是单变量重现期的 1/2。按照同频率原理16,年极值波高和年极值周期联合分布设计值大于单变量分布设计值,5 100a 重现期的设计波高相对差值为0郾 61%3郾 67%,设计周期相对差值为7郾 81%12郾 53%。表 5 显示,在一定周期设计频率条件下,条件概率随波高设计频率的减小而减小:同波高和周期设计频率下年极值波高和年极值周期的条件概率位置点 1 为 1郾 31%53郾 57%,位置 点 2 为 1郾 36%54郾 11%,位 置 点 3 为 1郾 29%53郾 36%。由表 5 和表 6 可知,3 个位置点波高和周期设计频率0郾 02 的条件概率分别为2郾 60%、2郾 70%、2郾 56%,条件重现期分别为 38郾 46、37郾 04、39郾 06 a;波高和周期设计频率 0郾 01的条件概率分别为 1郾 31%、1郾 36%、1郾 29%,条件重现期分别为 76郾 34、73郾 53、77郾 52 a。由表 6 可知,在相同波高和周期设计频率下,单变量重现期最大,条件重现期次之,联合重现期最小。3摇 结摇 摇 论a.3 个位置点的波高最优拟合分布均为广义极值分布,周期最优拟合分布均为对数正态分布。b.3 个位置点的年极值波高和年极值周期的最优二维 Copula 联合函数均为 Frank Copula 函数,黄海中部海域年极值波高周期联合分布特征相似。c.单变量重现期较两变量联合重现期大,约为联合重现期的 2 倍。50 年一遇和 100 年一遇对应的波高,位置点3 最大,位置点1 次之,位置点2 最小;50 年一遇和100 年一遇对应的波浪周期,位置点1 最大,位置点 3 次之,位置点 2 最小。同波高和周期设计频率条件下年极值波高和年极值周期联合分布设计值高于311河 海 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 51 卷单变量分布设计值,其中周期设计值的相对差值较波高设计值的相对差值略大。d.在一定周期设计频率条件下,条件概率随波高设计频率的减小而减小;相同波高和周期设计频率下,单变量重现期最大,条件重现期次之,联合重现期最小。参考文献:1 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