《圆锥曲线与方程》单元教学设计.doc

课题名称 《圆锥曲线与方程》单元教学设计
设计者姓名 郭 晓 泉
设计者单位 华亭县第二中学
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电子邮箱 guoxiaoquan114@

《圆锥曲线与方程》单元教学设计
（郭晓泉 甘肃省华亭县第二中学 13830317260）

一、教学内容分析
1、实际背景分析
该单元选自人教版数学选修2-1.圆锥曲线与科研、生产以及人类生活关系密切，早在16、17世纪之交，开普勒就发现了行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线，……现代航空航天领域内圆锥曲线也有重要的应用。圆锥曲线在实际生产生活中有着巨大的作用，主要来自于它们的几何特征及其特性。
2、数学视角分析
《圆锥曲线与方程》是中学数学解析几何的主要内容，研究圆锥曲线的性质，是圆的几何性质的推广与延伸，是运用坐标法从代数的角度来研究圆锥曲线性质，为了解决这个问题，让学生更好地理解和学习圆锥曲线的性质，先了解曲线与方程的关系，研究如何建立曲线的方程，把几何的形与代数的数通过这个关系有机的联系起来，充分运用数的运算来解决形的问题，达到数形统一，体现数形结合的思想。对于圆锥曲线的几何特征与方程的研究，延续了必修课程《必修2》中研究直线与圆的方程的方法，通过图形探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，并通过方程来研究他们的简单性质，进而利用坐标法解决一些圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。
3、课程标准视角分析
（1）学生学习方式的转变问题。在本部分内容中，延续了《必修2》中研究直线与圆的方程的思想，所以应该引导学生通过积极主动的探索来完成圆锥曲线的学习，教师通过圆锥曲线背景的介绍，激发学生的学习兴趣，在研究了椭圆方程及性质的基础上，用类比的方法来研究双曲线和抛物线的方程及性质，经历直观感知，定义、建立方程、研究性质的基本过程，感受坐标法的作用，体会数形结合法的思想。
（2）学生思维能力培养的问题。“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”这是课标对学生思维培养的要求，在圆锥曲线这部分知识的学习中，牵涉到数和形的结合问题，这里有直观感知，观察发现，归纳类比、抽象概括，符号（方程）表示，运算求解，数学建模等，通过这些方法在学生学习中的运用，来提高学生的数学思维能力。
（3）发展学生的应用意识。圆锥曲线几何性质在现实中有很多重要的应用，让学生通过学习去解决一些实际问题，如求某航天器的运行轨迹方程问题，确定生源的问题，等等。另外，在解决圆锥曲线有关问题时，对运算求解能力，分析问题、解决问题的能力要求都比较高，这需要学生综合利用前面所学的基本知识来解决问题，在教学中应根据实际情况来采用适当的方法发展学生的应用意识。
（4）巩固“双基”，发展思想。
在学习中，仍然要以基础知识的夯实为主，让学生掌握圆锥曲线的定义、方程、图形及几何性质，形成基本的解决问题的技能，在此基础上，体会数学结合思想、类比思想（研究双曲线和抛物线方程、性质时类比椭圆的进行）、函数与方程思想的应用（在求解直线与圆锥曲线有关问题时，要利用函数与方程思想），提高学生的运算求解能力和分析解决问题的能力。
（5）信息技术手段的应用：在学生直观感知圆锥曲线图形的基础上，可以借助信息技术手段来做出椭圆、双曲线、抛物线图形，利用动态演示来帮助学生观察学习，例如对离心率的教学，通过演示椭圆的变化来让学生认识离心率的作用，加深学生的影响。
4、教材中几个值得注意的问题
（1）注意知识内容的衔接。必修《数学2》中的直线与方程、圆与方程，以及选修2-1（选修1-1）中的圆锥曲线与方程，系列4中的“选修4-4坐标系与参数方程”共同构成了经典的解析几何内容，教学时，应该注意这些知识的衔接，把圆锥曲线的教学放在整个解析几何内容教学中通盘来考虑，如课标中对椭圆的要求是“理解”，对双曲线的要求是“了解”，而抛物线的内容理科要求“理解”，文科要求“了解”，这些要求应该落实好，最好不要超越，研究和学习的过程从研究直线与方程、圆的方程的方法入手，充分利用坐标法，将各部分内容有机地联系在一起。
（2）圆锥曲线的第二定义和统一定义不做作，对非标准形式的圆锥曲线方程也不作要求。在教材中，对圆锥曲线的第二定义，都是在习题当中给出的，对学有余力的学生，数学学习兴趣浓厚的学生，可以引导他们去解决这些问题。关于圆锥曲线的统一定义及非标准形式的方程，在教材中是以“阅读和思考”的方式给出的，可以让学生作为课外延伸学习的内容，在具体的教学中不可补充这样的教学内容，以免增加学生的学习负担，增大教学的难度。
（3）关于曲线方程和函数与图像之间的关系问题。这两者是不同的研究对象，但它们之间有一定的联系，也存在一定的区别。在教材中，安排了“探究与发现：为什么二次函数的图像是抛物线”。即可以从函数的角度来研究抛物线的性质，也可根据其几何特征来研究其性质，而图像可以是函数的表现形式，也可以是曲线的表现形式，这里可以利用配方把二次函数变成，再移项便得，不是和抛物线的标准方程很相似吗？这样让学生更清楚地认识到二次函数的图像就是抛物线。
5、教学方法视角的分析
圆锥曲线是解析几何的经典内容，它的教学必须结合实际背景来展开。
（1）通过直观展示来介绍圆锥曲线的背景知识，激发学生学习兴趣，提高学生的学习热情。
（2）充分利用坐标法，利用直观感知、研究特征、建立方程、研究性质的思路解决学生学习椭圆的知识问题，再利用类比的方法让学生通过自主探究来完成双曲线与抛物线的知识学习。
（3）利用解析几何的特点，将“形”与“数”结合，渗透数形结合思想在学习圆锥曲线知识当中得作用，引导学生从代数的角度去研究图形的几何性质。
（4）运用好问题教学法.发挥教材例习题的作用，设计合理的问题让学生去解决，帮助学生深入理解和运用圆锥曲线知识解决相应的问题，形成基本的分析和解决问题的能力。
（5）归纳整理方法的使用.教材中有很多轨迹问题在椭圆与双曲线中是对应出现的，可以引导学生比较分析，并归纳整理解决问题的办法。如到两定点的连线斜率之积是定值的问题，圆锥曲线第二定义的问题等。
（6）使用好探究教学法.在圆锥曲线当中，有很多问题值得研究解决，教学中应根据学生的实际情况，利用教材的探究问题引导学生去探索学习，提高学生的创造性思维能力。
二、教学目标分析
在课程标准当中，对《圆锥曲线与方程》的教学目标做了如下规定：
（1）圆锥曲线：
① “了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用”。数学的知识来自于现实生活，又作用于现实生活，而圆锥曲线在实际生活中有更多领域的应用，因此，让学生了解圆锥曲线的实际背景，激发学习兴趣，增加课程学习的求知欲望。
② “经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质”。这里重点是利用坐标法，根据椭圆、抛物线的定义，从图形的几何特征出发，建立适当的坐标系，研究建立椭圆、抛物线的方程，再从方程出发结合图形来研究它们的几何性质及简单的应用。
③ “了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质”。为了降低学生的学习难度，对双曲线的要求相比椭圆和抛物线有所降低，属于“了解”的范畴，仿照椭圆方程及性质的研究可以研究双曲线的方程及相关性质。
④ “能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题”。传统上讲，主要是直线与圆锥曲线的位置关系问题，也会出现圆和圆锥曲线的位置关系问题，研究的方式可借助直线与圆的研究方式进行，充分利用方程思想，有必要说明的是，为了学生更好地解决问题，可以补充一元二次方程根与系数的关系。
⑤ “通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想”。数形结合思想是数学当中一种重要的思想方法，在解析几何中运用尤其突出，通过本部分的学习，应该让学生学会用数形结合思想去解决一些相关的问题，借助直观来解决复杂繁难的数学问题。
（2） 曲线与方程
“ 结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想”。对曲线与方程的概念，学生理解比较困难，也比较抽象，因此，要求通过实例来让学生体会和感受。
根据以上目标规定，还得注意以下两点：
（1）关于能力目标：要会根据条件求椭圆、抛物线及双曲线的方程，在有关圆锥曲线性质的应用中，要去强化学生的运算求解能力，提高学生分析和解决问题的能力，在思维能力方面，要引导学生善于使用函数与方程思想和数形结合思想来解决问题，特别是数形结合思想，它是解决圆锥曲线问题中必不可少的思想方法。
（2）关于情感态度价值观：主要让学生在了解圆锥曲线的实际背景过程中感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决问题中的作用，在建立圆锥曲线方程的过程中感受从具体情境抽象出一般规律的思想和方法，进一步体会数形结合在解析几何中的作用与价值，经历“坐标法”使数学的“形”和“数”有机结合的过程，体会人类研究数学时所付出的艰辛劳动，以及数学为社会所做的贡献。
三、学习者特征分析
1、学习者的学习基础：学生在数学《必修2》中学习了直线与方程、圆的方程，这是解析几何的初步知识，里面介绍了坐标法建立直线与圆的方程的过程，学生了解了利用代数方法来研究几何图形的性质，这里学习圆锥曲线是学习圆的方程的延续，可以借助学习圆的方程的方法来推进这部分知识的学习，说明在方法上学生具有一定的基础。
2、学习者的思维特质：在学完高中数学的全部必修课程，学生的数学思维能力得到提升，数学学习的基础基本形成，独立思考解决问题的能力进一步得到加强，这时候让学生去探究学习圆锥曲线的有关性质就有了一定的思维支撑。但是学生的思维的创新性和批判性还是比较欠缺的，所以，在圆锥曲线的大量探索性问题面前，需要老师进行更多的引导。
3、学习者的运算求解能力不一定适应这部分的学习。在圆锥曲线的学习中，学生要有较好的计算处理能力，特别是对解方程的要求比较高，在学生以前所学的解一次方程（组）的基础上，难以适应这里的解方程，因为很多涉及到二次方程组，从实践中看，学生这方面有问题，特别是解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的时候，计算最容易出错，学生对含参的方程组整理成一元二次方程感到很麻烦，教师应在学生解决直线与圆的位置关系问题基础上再强化。
4、学习者分析问题、解决问题的能力可能难以满足这部分内容的学习。从圆锥曲线方程的建立过程看，需要直观感知，给出定义，再建立适当的坐标系，列出条件，转化为代数方程，化简处理，得到简单方程，最后抽象出标准方程，这里需要学生更高的分析问题与解决问题的能力，还有一个数学建模过程，而学生在以往经验的基础上是难以独立完成的，特别是直角坐标系的建立，如何建，为什么会像教材里面那样去选择，学生会有很多疑问，需要我们很好地思考解决。
5、学习者探究问题的能力比较低下。本部分内容探究问题比较多，教材也设置了很多问题需要学生去独立探究解决，特别是关于轨迹问题，有很多习题，学生在新课学习之后能否独立解决值得思考。
6、合作学习是否能够发挥作用的问题。在高中学段，学生的独立意识开始形成，喜欢独自解决自身学习问题的学生增多，但是部分学习有困难的学生又容易形成依赖心理，所以学生的合作学习能否提高学习者整体的学习水平很难预测。
7、学生的归纳类比能力有待加强。在双曲线和抛物线的学习中，需要类比椭圆方程与性质的学习来进行，但是学生在类比的过程不善于甄别相似点和不同点，出现错误的问题。另外，教材在椭圆与双曲线的例习题中配备了很多相似的轨迹问题，需要学生归纳整理归类，以便比较学习，但是从教学实践看，学生很难做到这一点，因此，在学习完整部分内容后教师要引导学生去归纳整理。
四、教学重难点分析：
教学重点：1、理解和掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质（圆锥曲线的范围、对称性、顶点、离心率等）。
2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，了解双曲线的有关性质，特别是渐近线的性质以及渐近线与离心率的关系。
3、直线与圆锥曲线的位置关系问题的处理。
4、曲线与方程的关系，如何求点的轨迹方程问题。
5、体会坐标法与数形结合方法的应用。
教学难点：1、抽象出圆锥曲线标准方程时坐标系的建立问题；
2、圆锥曲线性质的应用问题；
3、直线与圆锥曲线的关系问题的解决；
4、轨迹及求轨迹方程问题；
5、应用数形结合思想解决解析几何问题。
五、学习任务及课时安排
安排大约15课时，具体安排如下：
2.1 曲线与方程：2课时，第1课时通过实例来解决曲线与方程的关系问题，让学生初步感知如何解决简单的轨迹方程问题；第2课时求曲线方程，引导学生会根据条件通过建立适当的坐标系求轨迹方程。
2.2 椭圆及其标准方程：5课时，第1课时学习椭圆定义，推导椭圆的标准方程；第2课时解决教材例题，会根据条件求椭圆的标准方程问题，特别是例2和例3，要引导学生探究坐标法在求轨迹方程问题中作用；第3课时研究椭圆的几何性质（范围、对称性、顶点、长短轴、离心率等），解决例4；第4课时是椭圆几何性质的应用，通过例习题的解决来巩固对椭圆几何性质的学习；第5课时，椭圆方程、性质的综合应用课，解决简单的直线与椭圆的位置关系问题，并对习题中典型的问题给予解决。
2.3 双曲线：3课时，第1课时，双曲线及其标准方程，类比椭圆方程的建立过程来推导双曲线的标准方程，并通过实际问题来求双曲线的标准方程；第2课时，双曲线的简单几何性质，突出渐近线的学习，引导学生探究离心率与渐近线斜率之间的关系；第3课时，双曲线简单性质的应用，通过例6来说明直线与双曲线（圆锥曲线）相交时弦长的计算方法。
2.4 抛物线：3课时，第1课时，抛物线及其标准方程，注意方程推导当中坐标系的建立问题，通过类比得到焦点不同的四种抛物线标准方程形式，会根据抛物线标准方程写出焦点坐标与准线方程（例1）；第2课时，抛物线的简单几何性质，第3课时，重点解决抛物线于直线的有关计算问题，注意抛物线定义及性质的应用，通过例4、例5、例6的解决来体会数形结合法在解决圆锥曲线问题中的作用。
单元知识小结2课时.
六、《双曲线及其标准方程》教学设计
教学目标：
【知识目标】1、了解双曲线的定义及几何图形；
2、类比椭圆的标准方程建立的过程选择恰当的坐标系建立双曲线的标准方程。
【能力目标】1、通过双曲线标准方程的建立来培养学生分析和解决问题的能力，提高学生的运算化简能力；
2、通过实际问题来建立双曲线的方程培养学生应用数学模型解决实际问题的能力。
【情感态度价值观】经历从实际生活背景中抽象出双曲线的定义的过程，体会双曲线在实际生活当中的应用价值，加强学生的数学应用意识。
教学重点：双曲线的定义、几何图形及标准方程
教学难点：双曲线标准方程的推导过程以及双曲线标准方程在实际问题中的应用
教学方法：类比法、探究法、讲解法
课时安排：1课时
教学流程设计：
教学步骤
教学内容
师生活动设计
设计意图

导入
思考：与两个定点的距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两定点距离差为非零常数的点的轨迹又是什么呢？

引导学生复习椭圆的定义，然后改变条件让学生思考.
通过类比，在改换条件的情况下，让学生思考新的轨迹是什么，从而激发学生的探求欲望，把学生的思维引入到新课学习当中来.

整体感知，探索定义
问题1：利用拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点，上，把笔尖放在两边交点处，随着拉链的拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，写出这个交点所满足的条件？
问题2：利用几何画板，按思考问题作图，看轨迹是什么图形？
双曲线定义：我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
思考：如果定义中取消常数小于的限制，动点的轨迹又会是什么呢？

学生按教师的要求动手实践，观察画出的图形，再换角度画出双曲线的两支，弄清其满足的几何特征，然后类比椭圆的定义尝试给出双曲线的定义，再进行完善。
教师强调定义中常数小于的必要性，并引导学生探究思考问题.

通过教材给出的活动实验来培养学生的动手实践能力，并体验双曲线概念的形成过程，通过信息技术手段的演示来了解双曲线满足的几何特征，进一步验证学生观察得到的知识，提高学生学习的兴趣.
对定义的思考问题来培养学生思维的严谨性，加强对概念的理解学习.

探究新知，建立方程
探究：类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？
过程：以焦点所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，，，常数设为，然后根据条件转化来求双曲线的标准方程.
双曲线标准方程：
（1） 当焦点在轴上时

（2） 当焦点在轴上时

教师引导学生回忆椭圆标准方程的推导过程，类比椭圆标准方程的推导方法来自己动手推导双曲线的标准方程.
在具体的推导过程中，要注意先按双曲线定义写出点的集合，然后转化为方程，再进行化简，为了使方程更简洁，可设.
推导出焦点在轴上的双曲线的标准方程后，可仿照椭圆标准方程形式让学生写出焦点在轴上的双曲线标准方程.
让学生类比探究的过程，利用已有的知识经验和解决问题的办法，来推导双曲线的标准方程，在这个过程中，对运算化简能力的要求比较高，根据实际情况可让学生再去看看椭圆方程推导过程中方程的化简过程，然后再回头来进行化简.
要求学生画出图形来分析，学会利用坐标法来求轨迹方程，体会数形结合思想在解析几何中学习中作用和价值.

知识应用，巩固所学
例1 已知双曲线两个焦点分别为，双曲线上一点到距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
例2 已知两地相距800，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为340，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
例1由学生独立解决，注意双曲线定义的应用；
例2是一个应用问题，学生按照建立双曲线方程的方法来解决.首先分析问题判断点的轨迹的形状，然后建立适当的坐标系来解决，教师注意引导学生分析和解决问题.

两个例题来让学生解决，一是解决学生对双曲线定义的应用，二是体会双曲线在实际问题中应用.

探究应用，知能升华
探究：点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，试求当点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状.与2.2例3比较，你有什么发现？
学生根据以前所学轨迹问题的解决办法探索此问题的解，并与椭圆中的例题相比较，总结一般结论.
继续熟悉轨迹问题的解决办法，了解双曲线标准方程的应用，并与前面所学比较，得到一般结论.
练习巩固
教材练习1、2、3题
学生独立练习，如果时间不允许，2、3题可留作作业.
巩固本节课学习成果.

课堂小结
1、椭圆定义；
2、椭圆标准方程；
3、例题解析；
4、方法总结.
师生共同对本节课所学主要内容进行小结.

作业布置
教材习题2.3组1、2题，组第2题
课后学生完成.

七、教学设计自我评价
针对以上设计与分析，结合自己的教学实践，评价如下：
1、整体设计上遵循课程标准来进行，但根据自己的理解对课程标准中的教学目标进行了解释说明，以便更好地在教学中实施.
2、尊重学生实际，按学生的学习水平和表现进行设计，突出数学的应用价值，体现新课程标准中对学生应用能力培养的要求，实现数学与现实生活的接轨，有利于调动学生学习的积极性和主动性.
3、体现学生学习的主体性，教学设计中的教学设计中所采用的教学方法主要是引导学生通过探究、实践、总结、归纳，应用等来进行学习，让学生通过自己的努力来实现知识的学习，并通过应用来强化巩固学习，建构知识是体现自主性要求.
4、突出数学思想方法在数学教学与学习中的作用，解析几何中体现最大的是“数形结合”思想，“数”与“形”的结合实现了用代数的方法研究几何问题，因此，这种思想方法的渗透教学应该贯穿到本单元教学的始终，同时让学生体会“坐标法”在研究解析几何问题中作用与价值.
5、重视例习题的归纳整理与总结，在设计中，对教材中一些相似的问题进行了归类处理，以便让学生更好地学习这部分内容，学会归纳和整合教材中的同类问题.
6、重视信息技术手段的应用，在本部分的教学中，可以借助多媒体技术手段来更好地辅助教学，特别是轨迹问题的探究教学，因此，在设计内容中突出对信息技术手段的应用要求，以便更好地、直观地实现教学目标.
当然，由于理解的角度和能力的问题，上述教学设计还存在很多不足之处，有待改进的地方还很多，需要继续挖掘和努力完善.

参考文献： 《普通高中数学课程标准》

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