《整式》示范公开课教学设计【北师大版七年级数学上册】.docx

第三章整式及其加减
3.3
整式 教学设计
一、教学目标
1．经历分类过程，理解整式、单项式、多项式的有关概念，会求单项式的系数、次数，
多项式的项及其次数；
2．能区分单项式、多项式及整式的联系与区别；
3．进一步发展观察、归纳、分类等能力，发展有条理的思考及语言表达能力．
二、教学重点及难点
重点：单项式，多项式，整式，单项式的系数、次数，多项式的项数、次数等概念．
难点：对多项式概念的理解和应用．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
微课，知识卡片
五、教学过程
【复习巩固】复习回顾，引入新课
1．代数式的定义：
2．（1）原价为 a 元的书包，现按 8 折出售，则售价为
（2）甲、乙两人一起在体育场锻炼，体育场跑道每圈400 米，甲跑了 m 圈，乙跑了 n
圈．甲乙两人共跑了 米.
元.
（3）某种苹果的单价是x 元/kg（x＜10），用50 元买 5kg 这种苹果，应找回
投影展示，学生回答.
元.
师生活动：教师提出问题，学生回答．
小结：用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示
出来，更适合一般规律的表达．
设计意图：复习上节课内容，不但巩固旧知，而且为本节课的新知识做铺垫．
【新知讲解】合作交流，探究新知

探究一：单项式定义
活动 1.做一做：
（1）如图，一个十字形花坛铺满了草皮，这个花坛草地面积是多少？
1
（2）当水结冰时，其体积大约会比原来增加 ，x m 的水结成冰后体积是多少？
3
9
（3）如图，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、高分别是a，b，c．这个箱子露
在外面的表面积是多少？
（4）某件商品的成本价为 a 元，按成本价提高 15%后标价，又以 8 折（即按标价的 80%）
销售，这件商品的售价是多少元？
师生活动：教师聆听，关注学生回答．
10
小结：（1）ab－4c ；（2） x m ；（3）ac＋bc＋ab；（4）0.8(1＋15%)a．
2
3
9
10
活动 2． x，0.8(1＋15%)a，这些式子有什么特点？
9
师生活动：学生认真观察剖析每个式子，寻找共同特征，并用语言表达出来．教师鼓励
学生大胆说出猜想，引导学生总结单项式的定义．
小结：这些式子都是数或字母的积．
单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式．单独一个数或一个字母也是单项
式．
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数(包括数字前面的符号)．
次数：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

p
10
活动 3.（1）并指出下面五个单项式 b2 ， x，0.8(1＋15%)a，－n，5 的系数和次数．
16
9
师生活动：让学生交流、讨论，然后师生一起归纳单项式的系数和次数的定义．教师强
调常数项的次数是 0．
p
10
p 10
b ，
2
，0.8(1＋15%) ，－ ，5 的系数分别是： ， ，0.8(1＋15%)，－1，5．（常
x
a
n
16
9
16 9
数的系数？）
p
10
b ，
2
x a n
，0.8(1＋15%) ，－ ，5 的次数分别是：2，1，1，1，0．
16
9
设计意图：通过学生的观察、对比、讨论等一系列的活动，使学生对单项式、单项式的
系数和次数等概念由感性认识上升到理性的认识，体会数学活动充满探索性．
1
-2 x y
1 a
（2）
4 的系数和次数分别是什么？单项式
，3a÷4 这样书写正确吗？
2
2
2
师生活动：每个小组选出发言人，进行回答．可以对不认同的观点进行组之间的辩驳．教
师应关注学生对不同单项式的特点的认识，对单项式系数、次数概念的掌握程度．师生一起
总结：①数字的次数仍属于系数，字母的次数归为次数；②带分数要化成假分数，避免误会
为乘法；③除以一个数，要写成乘以它的倒数．
1
-2 x y
1 a
小结：
2
2
4 的系数和次数分别是－4，6；单项式
，3a÷4 这样书写不正确，应
2
3
3
写成 a ， a ．
2
4
探究二：多项式定义
本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了多项式和整式，知道整式是由单项式与多
项式组成.若需使用，请插入微课【知识点解析】多项式，整式.
活动 1.观察 ab－4c ，ac＋bc＋ab，这些式子有什么特点？
2
师生活动：由学生小组合作交流，教师肯定每一位学生说出的特点．如果学生仍然有困
难，教师给予提示：
（1）上面的式子是单项式吗？
（2）这些式子与单项式有联系吗？
小结：这些式子都可以看作几个单项式的和．例如，ab－4c 可以看作单项式 ab 与－4c2
2
的和；ac＋bc＋ab 可以看作单项式 ac，bc 与 ab 的和．

活动 2.尝试解决下列问题．
（1）什么叫多项式？什么叫多项式的项和次数？多项式x ＋2x＋18 是几次几项式？
2
几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．其中不含字母
的项，叫做常数项．一个多项式含有几项，就叫几项式．
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数．
x2＋2x＋18 是二次三项式．
（2）下列多项式的项和次数分别是什么？
1
v＋2.5，3x＋5y＋2z， ab
- πr ．
2
2
小结：v＋2.5 的项分别是 v，2.5，次数是 1；3x＋5y＋2z 的项分别是 3x，5y，2z，次数是
1
1
2
1；
- π 的项分别是
， -π 2，次数是 2．
ab r
ab
r
2
2
（3）你认为确定多项式的项、次数时应注意什么？
注意：①多项式的项应包括该项的符号；②多项式的次数为最高次项的次数；③常数项
是多项式中的特殊项，确定多项式项数时不要漏掉．
（4）什么叫整式？下列式子哪些是整式？
1
①－x；②x＋1；③ ；④－3；⑤ - + 25．
π
x
单项式与多项式统称整式．①②③④是整式．
师生活动：让学生独立解决相关问题．教师进行巡视，关注学困生；板书多项式、整式
有关概念，强调：（1）多项式的项应包括该项的符号；（2）多项式的次数为最高次项的次
数；（3）常数项是多项式中的特殊项，确定多项式项数时不要漏掉．
设计意图：由浅入深，使学生透彻理解多项式的有关概念，培养他们应用新知识解决问
题的能力．
【典型例题】
例 1.判断下列说法是否正确．
(1)－7xy 的系数是 7；错
2
(2)－x y 和 x 都没有系数；错
2 3
3
(3)－ab c 的次数是 0＋3＋2；错
3 2
(4)－a 的系数是－1；正确
3
(5)－3 x y 的次数是 7；错
2 2 3
(6)πr h 的系数是π.正确
2

例 2. 如图所示，用式子表示圆环的面积．当R＝15 cm，r＝10 cm 时，求圆环的面积（π
取 3.14）．
师生活动：学生尝试独立完成，全班交流．教师强调解题的书写格式以及引导学生理解
求式子的值的真正含义．
解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积，所以圆环的面积是π R － π r ．
2
2
当 R＝15 cm，r＝10 cm 时，圆环的面积（单位：cm ）是：
2
π － π ＝3.14×15 －3.14×10 ＝392.5，
R2
r2
2
2
这个圆环的面积是 392.5 cm ．
2
设计意图：巩固多项式的概念，同时为学生创造用多项式表示实际问题中的数量关系的
机会，培养学生的列式能力，同时使学生体会到数学来源于生活，应用于生活的价值美．
( )
例 3. 如果多项式3xm-2 - n -1 x +1是关于 x 的二次二项式，试求 m，n 的值．
( )
解：因为多项式3xm-2 - n -1 x +1是关于 x 的二次二项式，
所以 m－2＝2，n－1＝0．
解得：m＝4，n＝1．
答：m，n 的值为 m＝4，n＝1．
设计意图：在学生掌握基本概念的基础上，进一步学会应用知识．通过设置一定难度的
题目，激发学生的求知欲，提高学生分析问题、解决问题的能力．
1
例 4．已知多项式－ x y ＋＋xy －3x －6 是六次四项式，单项式 6x y z 的次数与这个
2
1
2
3
5-
m n
m
5
多项式的次数相同，求 n 的数值．
解法一：根据题意，得 2＋m＋1＝6，所以 m＝3.又 m＋5－n＋1＝6，即 3＋5－n＋1＝6，
故 n＝3．
解法二：由已知，得 2＋m＋1＝m＋5－n＋1，解得 n＝3．
【随堂练习】
1
1
2pa2
1．（1）代数式 ，3x－y ，2 x y，a，πx＋ y，
，x+1 中
2
3 2
2
2
5
_______是单项式，_______是多项式．
分析：要紧扣定义，抓住特征．
1
2pa2
1
答案： ，2 x y，a，
； 3x－y ，πx＋ y，x＋1．
2
3 2
2
5
2

（2）若多项式 5－(m＋1)a ＋2a 是关于 a 的三次二项式，则 m－n＝__________．-8
2
n-4
（3）多项式－m n ＋m －2n－3 是________次________项式，最高次项的系数
2 2
3
为________，常数项是________．4、4、-1、-3.
2．（1）下面说法中，正确的是（
A．x 的系数为 0
）．
B．x 的次数为 0
x
x
C． 的系数为 1
D． 的次数为 1
3
3
分析：本题考查单项式的次数和系数，x 的次数是省略了 1．
答案：D．
（2）项式 ab ＋2 的次数和项数分别为（
）．
2
5
A．次数为 5，项数为 2
C．次数为 5，项数为 1
B．次数为 3，项数为 2
D．次数为 3，项数为 3
分析：多项式的次数指的是最高次项的次数，但是不包括常数项．
答案：B．
3．小红和小兰房间窗户的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成
（半径分别相同）．
（1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计）哪个房间的采
光效果好？
（2）上面的整式是单项式还是多项式？它们的次数分别是多少？
1 b
p
æ ö
2
- p
= ab - b
解：（1）小红房间窗户中能射进阳光的部分的面积是ab
2 ．
ç ÷
2 2
8
è ø
æ b ö
8
è ø
2
p
- 2p
= ab - b
2 ．
小兰房间窗户中能射进阳光的部分的面积是ab
ç ÷
32
所以，小兰房间的采光效果比较好．

p
p
- b ab - b
2 与 2 都是多项式，它们的次数都是 2．
（2） ab
8
32
4．如图所示，从一块直径为 a＋b 的圆形纸板上挖去直径分别为 a 和 b 的两个圆，则剩
下的纸板面积为_____________．
分析：根据题意，挖去的圆的面积分别是 π(0.5a) ，π(0.5b) ，则剩下的纸板的面积是 π(0.5a
2
2
＋0.5b) －π(0.5a) －π(0.5b) ．
2
2
2
答案：π(0.5a＋0.5b) －π(0.5a) －π(0.5b) ．
2
2
2
设计意图：通过练习进一步加深学生对整式的理解，让学生独立完成，检测本节课学习
情况，反馈教学，内化知识．
六、课堂小结
1．单项式的定义、系数的定义、次数的定义
2．多项式的定义、多项式的项和次数的定义
3．注意：①多项式的项是应包括该项的符号；②多项式的次数为最高次项的次数；③常
数项是多项式中的特殊项，确定多项式项数时不要漏掉．
4．整式的定义：
设计意图：通过小结使学生对本节知识有一个系统的认识．

七、随堂练习
第三章整式及其加减
二、多项式及其有关定义
三、整式定义

p
p
- b ab - b
2 与 2 都是多项式，它们的次数都是 2．
（2） ab
8
32
4．如图所示，从一块直径为 a＋b 的圆形纸板上挖去直径分别为 a 和 b 的两个圆，则剩
下的纸板面积为_____________．
分析：根据题意，挖去的圆的面积分别是 π(0.5a) ，π(0.5b) ，则剩下的纸板的面积是 π(0.5a
2
2
＋0.5b) －π(0.5a) －π(0.5b) ．
2
2
2
答案：π(0.5a＋0.5b) －π(0.5a) －π(0.5b) ．
2
2
2
设计意图：通过练习进一步加深学生对整式的理解，让学生独立完成，检测本节课学习
情况，反馈教学，内化知识．
六、课堂小结
1．单项式的定义、系数的定义、次数的定义
2．多项式的定义、多项式的项和次数的定义
3．注意：①多项式的项是应包括该项的符号；②多项式的次数为最高次项的次数；③常
数项是多项式中的特殊项，确定多项式项数时不要漏掉．
4．整式的定义：
设计意图：通过小结使学生对本节知识有一个系统的认识．

七、随堂练习
第三章整式及其加减
二、多项式及其有关定义
三、整式定义

p
p
- b ab - b
2 与 2 都是多项式，它们的次数都是 2．
（2） ab
8
32
4．如图所示，从一块直径为 a＋b 的圆形纸板上挖去直径分别为 a 和 b 的两个圆，则剩
下的纸板面积为_____________．
分析：根据题意，挖去的圆的面积分别是 π(0.5a) ，π(0.5b) ，则剩下的纸板的面积是 π(0.5a
2
2
＋0.5b) －π(0.5a) －π(0.5b) ．
2
2
2
答案：π(0.5a＋0.5b) －π(0.5a) －π(0.5b) ．
2
2
2
设计意图：通过练习进一步加深学生对整式的理解，让学生独立完成，检测本节课学习
情况，反馈教学，内化知识．
六、课堂小结
1．单项式的定义、系数的定义、次数的定义
2．多项式的定义、多项式的项和次数的定义
3．注意：①多项式的项是应包括该项的符号；②多项式的次数为最高次项的次数；③常
数项是多项式中的特殊项，确定多项式项数时不要漏掉．
4．整式的定义：
设计意图：通过小结使学生对本节知识有一个系统的认识．

七、随堂练习
第三章整式及其加减
二、多项式及其有关定义
三、整式定义