《比较线段的长短》示范公开课教学设计【北师大版七年级数学上册】.docx

第四章基本平面图形
4.2 比较线段的长短 教学设计
一、教学目标
1．了解“两点之间的所有连线中，线段最短”．
2．能借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短．
3．能用圆规作一条线段等于已知线段．
4．知道中点的定义，会用符号表示中点.
二、教学重点及难点
重点：比较线段的方法，线段的公理，线段中点的概念．
难点：比较线段的方法以及线段的中点理解和应用．
三、教学准备
圆规、直尺
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【问题情境】创设情境，提出问题
师生活动：教师利用课件展示以上的图片，并回答问题：
观察以上图片，谁的身高更高？哪棵树高？哪支铅笔长？窗框相邻的两条边哪
条边长？
设计意图：七年级学生的学习带有强烈的情感色彩，对于熟悉的情境、感兴趣的问题能
够很容易的展开思维．利用姚明、李连杰的明星效应，把现实生活中的娱乐问题转化为数学
活动的几何图形，让学生体会到“快乐数学”．

在生活中我们经常会比较物体的长短，那么究竟可以概括为哪些方法，我们通过研究线
段的长短进行探究.
板书：4.2 比较线段的长短
【新知讲解】合作交流，探索新知
探究一：比较线段长短的方法
活动 1.两名同学演示比较身高.
活动 2.归纳总结：
方法一：目测法比较线段的长短：
方法二：用度量法比较线段的长短：
用刻度尺分别量出线段 AB 和线段 CD 的长度，将长度进行比较．
方法三：叠合法比较线段的长短：
步骤：
（1）将线段 AB 的端点 A 与线段 CD 的端点 C 重合；
（2）线段 AB 沿着线段 CD 的方向落下；
（3）若端点 B 与端点 D 重合，则得到线段 AB 等于线段 CD，可以记作 AB＝CD．
若端点 B 落在 C，D 之间，则得到线段 AB 小于线段 CD，可以记作 AB＜CD．
若端点 B 落在 D 外，则得到线段 AB 大于线段 CD，可以记作 AB＞CD．
设计意图：学生通过亲身实践，感受知识的形成过程，培养学生的动手、动脑、动口能
力．归纳重叠比较法，进而向学生渗透分类的思想．用度量法比较线段的长短，其实就是比
较两个数的大小．从“数”的角度去比较线段的长短，在此活动环节中，教师从数与形这两
方面对线段长短的比较进行了说明，这样做既肯定了学生比较的方法，肯定了实际生活中的
经验，同时又将生活中的方法科学化，实现了知识的抽象与升华．
活动 3.作图：画一条线段等于已知线段
已知线段 a，用直尺和圆规画一条线段，使它等于已知线段a.
方法（1）度量法：

先量出线段 a 的长度，再画出一条等于这个长度的线段AB．
A
B
方法（2）尺规作图法：尺规作图就是用无刻度的直尺和圆规作图．
第一步：先用直尺画一条射线 AC；
第二步：用圆规在射线 AC 上截取 AB＝a．；
线段 AB 及为所求.
注意：这里教材上给出了两种画线段等于已知线段的方法，一种是使用刻度尺测量解决，
另一种尺规作图，要使学生明白这两种方法的不同之处，并能准确掌握．
先让学生自己尝试画，然后教师示范画图并叙述作法，让学生模仿画图，该问题不必要
求学生写画法，但最后必须写出结论.
设计意图：本环节中教师指导学生作图，在学生动手操作的基础上，向学生初步渗透圆
规的作用，为后面学习尺规作图打基础．

探究二：线段的和差与画法：
活动 1.如图，线段 AB 和 AC 的大小关系是怎样的？线段 AC 与线段 AB 的差是哪条线段？
你还能从图中观察出其他线段间的和、差关系吗？
A
B
C
师生活动：让学生四人一小组交流、讨论，回答问题．教师关注学生是否认真讨论，能
否找出其他线段间的和、差关系．
小结：（1）AB＜AC；
（2）AC－AB＝BC；
AC－BC＝AB；
BC＋AB＝AC．
活动 2.如图，已知线段 a 和线段 b，怎样通过作图得到 a 与 b 的和、a 与 b 的差呢？
a
b
师生活动：让学生自主学习教材相关内容，然后由一名学生上黑板解答该问题．其他学
生在练习本上画一画，教师巡回指导，关注学生画图是否规范，纠正画错的学生，最后师生
一起点评．
小结：在直线上作线段 AB＝a，再在 AB 的延长线上作线段 BC＝b，线段 AC 就是 a 与 b
的和，记作 AC＝a＋b．

在直线上作线段 AB＝a，再在 AB 上作线段 AC＝b，线段 BC 就是 a 与 b 的差，记作 BC
＝a－b．
设计意图：充分发挥学生的主观能动性，把课堂交给学生，教师只在关键之处进行点拨
即可．
探究三：线段的中点
活动 1.通过折纸，探索线段的中点．
(1)在一张透明纸上画一条线段 AB ；
(2)对折这张纸，使线段 AB 的两个端点重合；
(3)把纸展开铺平，标明折痕点 C.
教师：刚才用折纸的方法找出 AB 的中点 C，你还能通过什么方法得到中点 C 呢？
活动 2.学生动手演示得到线段中点的方法：
度量法、尺规截取法
归纳总结：
线段中点定义：点 C 把线段 AB 分成相等的两部分，则点 C 叫做线段 AB 的中点．
类似地，还有三等分点、四等分点等．
关键点：线段的中点应满足的两个条件：①点 M 在线段 AB 上；②AM＝BM．

线段间的关系：用几何语言表示：
1
因为点 C 是线段 AB 的中点，AM＝BM＝ AB；AB＝2AM＝2BM．
2
设计意图：以折纸的方法，使学生在动手操作的基础上发现中点问题中所存在的数量关
系，在教材中的方法的基础上鼓励学生发现更多的找中点的方法，从而对中点这一重要的数
学概念有更好的理解．
探究四：基本事实
如图，从 A 地到 B 地有四条路．
问题 1：从 A 地到 B 地的四条道路中，哪条路最近？，除它们外，能否再修一条从 A 地
到 B 地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线．
问题 2：从这个现象中，你能得到什么结论？
问题 3：你还能举出类似的例子吗？
归纳：线段公理：两点的所有连线中，线段最短．简单说成，两点之间，线段最短．
连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离．
需要强调两点之间的线段的长度叫两点间的距离，而不是两点间的线段，线段是图形，
线段的长度是数值；
举例：从 A 到 B 架电线，总是尽可能沿着线段 AB 架设等．
设计意图：通过对以上问题的解决，归纳出关于线段的基本事实，培养学生观察、发现
问题的能力和归纳总结的能力．
【典型例题】
例 1.（1）在直线上顺次取 A，B，C 三点，使 AB=4cm，BC=3cm，点 O 是线段 AC 的中
点，则线段 OB 的长是（
A. 0.5cm
B. 1cm
分析：由于是顺次取 A，B，C 三点，所以不用考虑多种情况.
（2）如图，若 AB＝CD，则 AC 与 BD 的大小关系为( )．
A
）
C. 1.5cm
D. 2cm

A．AC＞BD
B．AC＜BD
C．AC＝BD
D．不能确定
解析：本题可用线段的和、差表示要比较的两条线段，从而判断两条线段的大小关系．
因为 AB＝CD，
所以 AB＋BC＝CD＋BC.
又因为 AB＋BC＝AC，CD＋BC＝BD，
所以 AC＝BD．
答案：C．
例 2．如图是 A，B 两地之间的公路，在公路工程改造时，为使 A，B 两地行程最短，请
在图中画出改造后的公路，并说明你的理由．
分析：根据“两点之间，线段最短”，可直接连接 AB．
解：如图，连接 AB．
理由是：两点之间的所有连线中，线段最短．
例 3．已知线段 a，b(2a＞b)．用直尺和圆规作一条线段，使这条线段等于2a－b．
分析：先作出一条线段等于 2a，再在这条线段上截取一条线段等于 b，则剩余线段就是
所求作线段．
作法：①作射线 AM（如图）；
①在射线 AM 上依次截取 AB＝BC＝a；
①在线段 AC 上截取 AD＝b．
线段 DC 就是所求作的线段．
例 4．已知三角形 ABC，如图，试比较 AC＋BC 与 AB 的大小关系．
分析：方法一：用刻度尺直接度量三角形三条边，求出AC＋BC 的长度，就可以与AB 比

解：经过比较，可以得到：AC＋BC>AB．
例 5．如图，已知点 C 在线段 AB 上，线段 AC＝6 cm，BC＝4 cm，点 M，N 分别是 AC，
BC 的中点．
（1）求线段 MN 的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AB＝a，其他条件不变，你能猜出MN 的长度
吗？请表述你发现的规律．
1
1
和线段 CN 的长；（2）根据线段中点的定义，可知MC＋CN＝ AC＋ BC＝
(AC＋BC)＝
2
2
AB，代入后可得到 MN 的长度．
1
2
1
1
1
AC＝ ×6＝3(cm)，CN＝ BC＝ ×4＝2(cm)，MN＝MC＋CN＝3＋2＝5(cm)．
2
2
2
1
2
规律：一点将一条线段分成两条线段，则这两条线段中点之间的距离等于原线段长的一
半．
解决，争取把问题反映在课堂上，在课堂上解决．
【随堂练习】
1．（1）两点之间线段的长度是（ C ）．
B．线段最短
C．两点间的距离
D．线段
D．CP＞PD
A．把两条大绳的一端对齐，然后拉直两条大绳，另一端在外面的即为长绳

B．把两条大绳接在一起
C．把两条大绳重合观察另一端情况
D．没有办法挑选
（4）下列图形中能比较大小的是（ A ）．
A．两条线段
B．两条直线
C．直线与射线
D．两条射线
2．在①ABC 中，BC＿＿＿＿AB＋AC（填“＞”“＜”“＝”），理由是＿＿＿＿．
＜,两点之间的所有连线中，线段最短．
3．直线 l 上依次有三点 A，B，C，AB①BC＝2①3，如果 AB＝2 厘米，那么 AC＝＿＿＿
厘米．
思路解析：根据比例的性质可得 AB①BC＝2①3，BC＝3 厘米，所以 AC＝2＋3＝5 厘米．
4．如图所示，已知 AB＝40，C 是 AB 的中点，D 是 CB 上的一点，E 是 DB 的中点，CD
＝6，求 ED 的长．
解：①C 是 AB 的中点，①AB＝2BC．
①AB＝40，①BC＝20．①BD＝BC－CD，CD＝6，①BD＝14．
①E 是 DB 的中点，
①ED＝7（厘米）．
5．已知线段 AB＝8 cm，在直线 AB 上有一点 C，且 BC＝4cm，M 是线段 AC 的中点，求
线段 AM 的长．
思路解析：本题是关于中点的计算以及分类讨论的问题，题中只说明 A，B，C 三点共线，
但无法判断点 C 是在线段 AB 上，还是在 AB 的延长线上，所以要分情况讨论．
（1）
解：第（1）种情况，如图（1），当点 C 在线段 AB 上时，
因为 M 是 AC 的中点，
1
所以 AM＝ AC．
2
因为 AC＝AB－BC＝8－4＝4 cm，

1
1
所以 AM＝ AC＝ ×4＝2 cm．
2
2
（2）
第（2）种情况，如图（2），当点 C 在线段 AB 的延长线上时，
因为点 M 是 AC 的中点，
1
所以 AM＝ AC．
2
因为 AC＝AB＋BC＝8＋4＝12 cm，
1
1
所以 AM＝ AC＝ ×12＝6 cm．
2
2
所以 AM 的长度为 2 cm 或 6 cm．
六、课堂小结
这节课你学到了什么？
(1)线段长短比较的方法；
(2)画一条线段等于已知线段；
(3)线段的和、差的概念及画法；
(4)两点间距离的概念；
(5)线段的性质“两点间线段最短”及应用；
(6)线段的中点的概念及简单的应用．
师生活动：教师鼓励学生先自述学会了什么，然后找几位学生谈收获和体会．
设计意图：培养学生自我总结、自我评价能力，学会把零散的知识进行整理和优化，完
善自己的知识构建．

七、板书设计
3.度量法

1
1
所以 AM＝ AC＝ ×4＝2 cm．
2
2
（2）
第（2）种情况，如图（2），当点 C 在线段 AB 的延长线上时，
因为点 M 是 AC 的中点，
1
所以 AM＝ AC．
2
因为 AC＝AB＋BC＝8＋4＝12 cm，
1
1
所以 AM＝ AC＝ ×12＝6 cm．
2
2
所以 AM 的长度为 2 cm 或 6 cm．
六、课堂小结
这节课你学到了什么？
(1)线段长短比较的方法；
(2)画一条线段等于已知线段；
(3)线段的和、差的概念及画法；
(4)两点间距离的概念；
(5)线段的性质“两点间线段最短”及应用；
(6)线段的中点的概念及简单的应用．
师生活动：教师鼓励学生先自述学会了什么，然后找几位学生谈收获和体会．
设计意图：培养学生自我总结、自我评价能力，学会把零散的知识进行整理和优化，完
善自己的知识构建．

七、板书设计
3.度量法

1
1
所以 AM＝ AC＝ ×4＝2 cm．
2
2
（2）
第（2）种情况，如图（2），当点 C 在线段 AB 的延长线上时，
因为点 M 是 AC 的中点，
1
所以 AM＝ AC．
2
因为 AC＝AB＋BC＝8＋4＝12 cm，
1
1
所以 AM＝ AC＝ ×12＝6 cm．
2
2
所以 AM 的长度为 2 cm 或 6 cm．
六、课堂小结
这节课你学到了什么？
(1)线段长短比较的方法；
(2)画一条线段等于已知线段；
(3)线段的和、差的概念及画法；
(4)两点间距离的概念；
(5)线段的性质“两点间线段最短”及应用；
(6)线段的中点的概念及简单的应用．
师生活动：教师鼓励学生先自述学会了什么，然后找几位学生谈收获和体会．
设计意图：培养学生自我总结、自我评价能力，学会把零散的知识进行整理和优化，完
善自己的知识构建．

七、板书设计
3.度量法