城市表层土壤重金属污染分析-建模论文.docx

城市表层土壤重金属污染分析
—西安理工大学2017年数学建模训练题
第（五）套

指导老师： 冉占军
完成日期： 2017 年8月26日
成 员： 自151 冯鑫涛
电信151 王 洋
仪153 王丽娜

题目：城市表层土壤重金属污染分析
摘 要
随着人们对环境质量重视程度的加强，城市土壤重金属的污染问题也成为重
要的研究课题。本文基于对某城市城区各区域土壤重金属元素浓度数据的分析，建立数学模型来研究城市表层土壤重金属污染。
针对问题一：首先应用Excel软件筛选附件1中所给采样点数据，将其整合到5个区域中。然后运用Matlab软件中三次样条插值拟合函数绘制出5类区的区域地图、三维海拔图和8种主要重金属元素在该城区的区域分布图。最后应用地质累积指数法和综合污染指数法得出生活区中As、Cd、Cr、Hg、Pb元素属于轻度污染，Ni元素属于无污染元素，Cu、Zn属于中度污染，综合污染等级为轻度污染。
工业区中As、Ni、Cr元素属于轻度污染，Cd、Cu、Zn、Pb元素属于重度污染，Hg则属于强度污染，综合污染等级为重度污染。山区八种重金属元素都对当地环境无污染，综合污染等级为安全。主干道路区只有Hg为强度污染,其他元素为轻度污染，综合污染等级为轻度污染。公园绿地区只有Hg为中度污染，大部分元素为轻度污染和无污染，综合污染等级为警戒。
针对问题二：首先对附件2各区域8种重金属元素浓度进行无量纲化处理，然后应用Excel软件画出5类区的8种重金属元素所占百分比饼状图，由图可明显地看出各区域内各种元素的污染情况。最后将各区域8种重金属元素浓度数据导入SPSS软件进行主成分分析得出重金属污染的主要原因。生活区Zn、Cr元素含量偏高，污染的主要原因是公路两侧含铅汽油的燃烧。工业区Zn、Cr、Cd、Pb、As、Ni元素含量高，污染的主要原因是工业区“三废”排放增加了这些元素在土壤中的含量。山区只有Cu元素含量较高，是由于矿山的开采。主干道路区Cd、Pb元素含量高于国家背景值，污染的主要原因是由于机动车尾气排放显著。公园绿地区中Pb元素含量较高，其污染的主要原因是由于使用公园绿地区农药化肥。
针对问题三：根据环境地学的思维方式，仿照高斯扩散模型建立污染物只随空气扩散的重金属污染物传播特征模型和污染物随空气扩散和重力沉降的重金属污染物传播特征模型，通过Matlab软件求解模型，得到该地区各元素浓度的分布情况，最后利用Matlab软件求解，得到各元素的污染源坐标。详见表5.3.1。
针对问题四：首先分析问题三所建模型的优缺点，然后根据地质环境的演变模式，在已有信息的基础上，收集不同时间内的样点所对应的浓度、各污染源重金属的产生率和空气、土壤扩散比。根据高斯浓度模型建立修正模型，得到浓度关于时间和空间的表达式，最终建立综合模型。
本文所建立的模型简单易懂，与实际紧密联系，有很好的通用性和推广性。同样可以推广应用于确定如噪声源、地震源头、辐射扩散源的位置。
关键词：地质累积指数法 综合污染指数法 主成分分析 高斯扩散模型
一、问题重述
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿区域等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
建立数学建模来完成以下任务：
(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？
二、问题分析
问题一想要得到重金属元素在该城区的空间分布，并研究该城区内不同区域重金属的污染程度。由于所给采样点不是位于同一个区域，这就需要对所给采样点的数据进行分区域筛选和整合。由于还需要分析不同区域重金属的污染程度，污染程度需要抽象为污染指数，通过比较污染指数与国家背景值，确定污染程度。通过查阅重金属污染程度评价方法的相关资料，主要方法有单因子指数法、内梅罗指数法、地质累积指数法[1]。
问题二中所给元素浓度单位不统一，在进行重金属污染的主要原因分析时会受到量纲和数量级的影响，因此对附件2各区域8种重金属元素浓度进行处理。经过数据的分析，重金属污染的主要原因取决于重金属在各个区域中的含量，由于每个区域的重金属含量不同，我们首先需要确定哪些重金属元素为污染环境的主要因素。主要因素的确定方法有很多，如聚类分析法、因子分析和主成分分析法。
问题三为了确定污染源的位置，可以根据污染源的传播特征建立模型来寻找局部最高点。题干研究的是城市表层土壤重金属的污染源，重金属进入土壤的主要方式有空气扩散、重力沉积，水流渗透。通过地质变化原理可假设浓度最大的点是污染源的的位置，因此确定污染源位置即寻找浓度最高点。
问题四通过对城市地质环境的相关的资料的查阅对问题三所建立模型进行进一步研究，加入更多可测数据来使模型更加完善精确。
三、问题假设
（1）假设不考虑元素间的相互作用的影响。
（2）假设不考虑历史沉积的重金属的影响。
（3）短期内重金属元素的物理、化学变化及迁移对周围环境影响不大。
（4）假设用国家土壤环境质量二级标准值与不同功能区各种重金属的实测平均浓度进行对比后得出的评价标准值能准确反映土壤质量情况。
（5）各污染源附近区域，其重金属污染源的浓度主要受到该污染源的影响，其他污染源影响较小。
四、变量说明
符号
含义
Iij
第i个区域元素j的地质累积指数
Cij
第i个区域元素j的平均值
BEj
元素j地球化学背景值
Sj
元素j的国家评价标准
Lij
第i个区域元素j的分指数
Pi
第i个区域的综合污染指数
Zi
第i个原始自变量
Fi
第i个公因子

五、模型的建立、求解和结果分析
5.1.问题一
5.1.1数据处理及分析
由于采样点分布的离散程度大，首先需要应用Excel软件筛选附件1所给采样点数据对其进行筛选，将其整合到五个区域中。利用Matlab软件中三次多项式插值拟合函数绘制出5类区的区域地图（图5.1.1）和三维海拔图（图5.1.2
图5.1.1 5类区区域地图

然后根据附件2中所给采样点的8种主要重金属元素的浓度应用Matlab软件中三次样条插值拟合函数得到8种主要重金属元素在该城区的区域分布图见图5.1.3-5.1.10。

图5.1.2 区域三维海拔图
图5.1.3 As元素区域分布图

图5.1.4 Cd元素区域分布图

图5.1.5 Cr元素空间浓度分布图

图5.1.6 Cu元素空间分布图

图5.1.7 Hg元素空间分布图

图5.1.8 Ni元素空间分布图

图5.1.9 Pb元素空间分布图

图5.1.10 Zn元素空间分布图
5.1.2 地质累积指数模型的建立
地质累积指数不仅反映了元素的自然变化特征，而且可以判别人为活动对环境的影响，是区分人为活动的重要参数。
地质累积指数法：

其中Iij为第i个区域元素j的地质累积指数，Cij为第i个区域元素j的平均值，BEj是元素j地球化学背景值，为各地岩石差异导致的背景值变动系数（一般为1.5）。
按受污染程度的强弱，将地质累积指数分为7个级别，0-6级污染程度由弱到强递增，具体分级标准见表5.1.1。
表5.1.1 地质累积污染指数分级标准
地累积污染指数I值
级别
污染程度
I≤0
0
无污染
0<I≤1
1
轻度污染
1<I≤2
2
中度污染
2<I≤3
3
中强度污染
3<I≤4
4
强度污染
4<I≤5
5
强污染到极强污染
I≥5
6
极强污染

5.1.3综合污染指数模型的建立
单因子指数法可以判断出环境的主要污染因子。土壤环境是一个复杂的体系，土壤污染往往是由多个污染因子复合污染导致。单因子污染指数法在反映本题城区土壤污染程度不够全面综合。因此需将单因子污染指数按一定方法综合起来进行评价，即应用综合污染指数法评价。内梅罗指数法是先求出各因子的分指数，然后求出各分指数的平均值，取最大分指数和平均值计算。将单因子指数法和内梅罗综合指数法结合建立综合污染指数模型[2]。
首先建立单因子污染指数式为：

然后应用内梅罗指数法得到各区域新的综合污染指标Pi

按受污染程度的强弱，将综合污染指数分为5个级别，1-5级污染程度由弱到强递增，具体分级标准见表5.1.2。
表5.1.2 综合污染指数分级标准
综合污染指数P值
级别
污染程度
污染水平
P≤0.7
1
安全
清洁
0.7<P≤1.0
2
警戒线
尚清洁
1.0<P≤2.0
3
轻度污染
污染物超过起初污染值，
作物开始污染
2.0<P≤3.0
4
中度污染
土壤和作物污染污染明显
P≥3.0
5
重度污染
土壤和作物污染污染严重

5.1.4模型的求解及结果分析
地累积指数模型
通过对地累积指数式5.1.1的求解得到每个区域8种重金属的地累积指数对照国家地质累积污染指数分级标准得到该城区内不同区域重金属的污染程度见表5.1.3。
结果分析：
生活区中As、Cd、Cr、Hg、Pb元素属于轻度污染，Ni元素属于无污染元素，Cu、Zn属于中度污染。
工业区中As、Ni、Cr元素属于轻度污染，Cd、Cu、Zn、Pb元素属于中度污染，Hg则属于强度污染。
山区八种重金属元素都对当地环境无污染。
主干道路区只有Hg为强度污染,其他元素为轻度污染。
公园绿地区只有Hg为中度污染，大部分元素为轻度污染和无污染。

表5.1.3 该城区不同区域8种重金属的污染程度
生活区
重金属元素
As
Cd
Cr
Cu
地积累指数
0＜0.2155≤1
0＜0.5724≤1
0＜0.5698≤1
1＜1.3190≤2
污染程度
轻度污染
轻度污染
轻度污染
中度污染
工业区
地积累指数
0＜0.4250≤1
1＜1.0115≤2
0＜0.1999≤1
2＜2.6874≤3
污染程度
轻度污染
中度污染
轻度污染
中强度污染
山区
地积累指数
-0.4186≤0
-0.3564 ≤0
-0.2552≤0
-0.1931≤0
污染程度
无污染
无污染
无污染
无污染
主干道路区
地积累指数
0＜0.0805≤1
0＜0.8846≤1
0＜0.3201≤1
1＜1.6516≤2
污染程度
轻度污染
轻度污染
轻度污染
中度污染
公园绿地区
地积累指数
0＜0.2132≤1
0＜0.5247≤1
-0.0916≤0
0＜0.6086≤1
污染程度
轻度污染
轻度污染
无污染
轻度污染
生活区
重金属元素
Hg
Ni
Pb
Zn
地积累指数
0＜0.8255≤1
-0.0086≤0
0＜0.5717≤1
1＜1.1953≤2
污染程度
轻度污染
无污染
轻度污染
中度污染
工业区
地积累指数
3＜3.6130≤4
0＜0.1026≤1
1＜ 1.0006≤2
1＜1.4251≤2
污染程度
强度污染
轻度污染
中度污染
中度污染
山区
地积累指数
-0.3581≤0
-0.2560≤0
-0.3470 ≤0
-0.4979≤0
污染程度
无污染
无污染
无污染
无污染
主干道路区
地积累指数
3＜3.0893≤4
-0.0664≤0
0＜0.4502≤1
1＜1.2304≤2
污染程度
强度污染
无污染
轻度污染
中度污染
公园绿地区
地积累指数
1＜1.1311≤2
-0.2710≤0
0＜0.3847≤1
0＜0.5755≤1
污染程度
中度污染
无污染
轻度污染
轻度污染

综合污染指数模型
通过对单因子污染指数式5.1.2的求解得到每个区域8种重金属的分指数见表5.1.4-5.1.8。然后应用内梅罗指数式5.1.3得到各区域新的综合污染指标Pi，对照国家综合污染指数分级标准得到该城区内不同区域重金属的污染程度见表5.1.9。
结果分析：由各区域的综合污染等级得出山区污染程度为安全，公园绿地区为警戒，生活区、主干道路区为轻度污染，工业区为重度污染。
污染程度排序为：工业区>主干道路区>生活区>公园绿地区>山区
表5.1.4 生活区8种重金属的分指数
生活区
Sj
Cij
BEj
Lij
As
3.6
6.27
30
0.101153581
Cd
0.013
0.29
0.3
0.965022173
Cr
31
69.02
250
0.173600042
Cu
13.2
49.40
35
1.660696414
Hg
0.035
0.09
0.3
0.219021441
Ni
12.3
18.34
40
0.218132589
Pb
31
69.11
250
0.17400166
Zn
69
237.01
200
1.282508675

表5.1.5 工业区8种重金属的分指数
工业区
Sj
Cij
BEj
Lij
As
3.6
7.25
30
0.138310185
Cd
0.013
0.39
0.3
1.324428959
Cr
31
53.41
250
0.102324962
Cu
13.2
127.54
35
5.244762997
Hg
0.035
0.64
0.3
2.291906709
Ni
12.3
19.81
40
0.271179302
Pb
31
93.04
250
0.283291476
Zn
69
277.93
200
1.594866412

表5.1.6 山区8种重金属的分指数
山区
Sj
Cij
BEj
Lij
As
3.6
4.04
30
0.016660748
Cd
0.013
0.15
0.3
0.485434484
Cr
31
38.96
250
0.036345648
Cu
13.2
17.32
35
0.188865721
Hg
0.035
0.04
0.3
0.0224757
Ni
12.3
15.45
40
0.113855158
Pb
31
36.56
250
0.025369448
Zn
69
73.29
200
0.032780477

表5.1.7 主干道路区8种重金属的分指数
主干道路区
Sj
Cij
BEj
Lij
As
3.6
5.71
30
0.079850132
Cd
0.013
0.36
0.3
1.209109731
Cr
31
58.05
250
0.12353385
Cu
13.2
62.21
35
2.248391171
Hg
0.035
0.40
0.3
1.382541452
Ni
12.3
17.62
40
0.191953121
Pb
31
63.53
250
0.148558004
Zn
69
242.85
200
1.327136298

表5.1.8 公园绿地区8种重金属的分指数
公园绿地区
Sj
Cij
BEj
Lij
As
3.6
6.26
30
0.100898268
Cd
0.013
0.28
0.3
0.932205077
Cr
31
43.64
250
0.05769863
Cu
13.2
30.19
35
0.779436435
Hg
0.035
0.11
0.3
0.301855526
Ni
12.3
15.29
40
0.107931924
Pb
31
60.71
250
0.135655577
Zn
69
154.24
200
0.650704471

表5.1.9 各区域综合污染程度评价

Lmax
Lave
综合污染指数P
污染程度
生活区
1.660696414
0.599267072
1.248405704
轻度污染
工业区
5.244763
1.406384
3.8396
重度污染
山区
0.485434
0.115223
0.352791
安全
主干道路区
2.248391
0.838884
1.696907
轻度污染
公园绿地区
0.932205
0.383298
0.712714
警戒级
5.2.问题二
5.2.1数据处理及分析
题中所给元素浓度单位不统一，在进行重金属污染的主要原因分析时会受到量纲和数量级的影响，因此对附件2各区域8种重金属元素浓度进行无量纲化处理。采用均值化方法处理，每一个变量除以该变量的平均值，即

标准化以后各变量的平均值都为1，标准差为原始变量的变异系数。该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息，差异程度越大的变量对综合分析的影响也越大。然后取其平均值进行对比。
采用均值化方法无量纲化处理后，选取8种重金属元素的平均值，用Excel软件画出5类区的8种重金属元素所占百分比饼状图见图5.2.1-图5.2.5。

图5.2.1 生活区8种重金属元素所占百分比
由图5.2.1可知，生活区Cu元素和Cd元素所占比例较高。

图5.2.2 工业区8种重金属元素所占百分比
由图5.2.2得，生活区Hg元素所占比例最高，Cu元素次之，是重金属污染的主要原因。

图5.2.3 山区8种重金属元素所占百分比
观察图5.2.3可得，山区所有重金属元素所占百分比相近。

图5.2.4 主干道路区8种重金属元素所占百分比
由图5.2.4得，主干道路区Hg元素所占比例最高，Cu元素次之，是重金属污染的主要原因。

图5.2.5 公园绿地区8种重金属元素所占百分比
由图5.2.5可知，生活区Hg元素所占比例较高。
5.2.2 主成分分析模型的建立
确定主要因素的方法有很多，如聚类分析、因子分析和主成分分析法。主成分分析法最为客观，是通过对现有数据的分析处理得出主要因子，因此本题选用主成分分析法来确定重金属污染的主要原因。
主成分分析的实质是降维，即把多指标转化为少数几个综合指标。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。
设法将原来的变量重新组合成一组新的互相无关的几个综合变量，同时根据实际需要从中可以取出几个较少的综合变量尽可能多地反映原来变量的信息的统计方法叫做主成分分析或称主分量分析，也是数学上用来降维的一种方法[3]。
主成分分析法的计算步骤如下：
Step 1:构造样本矩阵，对样本数据标准化；
Step 2:对标准化阵Z求相关系数矩阵，公式如下：
(5.2.1)
（i,j=1,2,…,p） (5.2.2)
Step 3:解样本相关矩阵R的特征方程得到p个特征值，确定主成分;
(5.2.3)
Step 4:将标准化后的指标变量转换为主成分Fi再对主成分进行加权求和，即得最终评价值。
5.2.3模型的求解及结果分析
要研究重金属污染的主要原因，首先我们通过将经过无量纲化处理的各区域8种重金属元素浓度数据导入SPSS软件进行主成分分析处理，得到各区域重金属元素的主成分荷载矩阵及方差分析表（见表5.2.1-表5.2.5）。然后根据权重系数值大小降序排列，系数大的对应的重金属元素就是主要污染的主要原因。各区域重金属元素权重系数见表5.2.6。

表5.2.1 生活区主成分荷载矩阵及方差分析
生活区
成分
共因子方差

1
2
3
初始
提取
As
0.669
-6.46
-0.1
1
0.865
Cd
0.784
0.171
-0.417
1
0.818
Cr
0.643
0.234
0.493
1
0.712
Cu
0.729
-0.246
0.024
1
0.592
Hg
0.492
0.13
-0.437
1
0.45
Ni
0.686
-0.253
0.523
1
0.809
Pb
0.803
0.112
-0.348
1
0.778
Zn
0.501
0.691
0.267
1
0.8

表5.2.2 工业区主成分荷载矩阵及方差分析
工业区
成分
共因子方差

1
2
初始
提取
As
-0.17
0.918
1
0.844
Cd
0.597
0.515
1
0.623
Cr
0.865
0.363
1
0.967
Cu
0.975
0.126
1
0.924
Hg
0.954
0.115
1
0.765
Ni
0.381
0.788
1
0.765
Pb
0.671
0.537
1
0.739
Zn
0.591
0.652
1
0.774

表5.2.3 山区主成分荷载矩阵及方差分析
山区
成分
共因子方差

1
2
3
初始
提取
As
0.006
-0.202
0.403
1
0.674
Cd
-0.06
0.393
-0.005
1
0.84
Cr
0.41
-0.065
-0.03
1
0.943
Cu
0.043
-0.005
0.488
1
0.865
Hg
-0.174
0.175
0.43
1
0.668
Ni
0.423
-0.082
0.053
1
0.959
Pb
-0.058
0.379
0.023
1
0.793
Zn
0.234
0.23
0.051
1
0.883

表5.2.4 主干道路区主成分荷载矩阵及方差分析
主干道路区
成分
共因子方差

1
2
初始
提取
As
0.235
-0.131
1
0.072
Cd
0.621
0.458
1
0.595
Cr
0.874
-0.319
1
0.865
Cu
0.906
-0.25
1
0.884
Hg
0.17
0.743
1
0.581
Ni
0.888
-0.32
1
0.891
Pb
0.703
0.477
1
0.723
Zn
0.643
0.115
1
0.427

表5.2.5 公园绿地区主成分荷载矩阵及方差分析
公园绿地区
成分
共因子方差

1
2
3
初始
提取
As
0.636
-0.569
0.349
1
0.851
Cd
0.811
0.103
-0.232
1
0.722
Cr
0.809
-0.426
-0.03
1
0.835
Cu
0.679
0.457
-0.151
1
0.693
Hg
0.203
0.354
0.889
1
0.956
Ni
0.663
-0.622
-0.012
1
0.827
Pb
0.782
0.544
0.097
1
0.917
Zn
0.798
0.286
-2.42
1
0.777

表5.2.6 各区域重金属元素权重系数
生活区
权重系数
工业区
权重系数
山区
权重系数
主干道路区
权重系数
公园绿地区
权重系数
Cr
0.32
Ni
0.34
Cu
0.37
Pb
0.39
Pb
0.36
Zn
0.31
Zn
0.33
As
0.24
Cd
0.33
Cu
0.27
Ni
0.25
As
0.31
Cr
0.23
Cu
0.28
Hg
0.27
Pb
0.23
Pb
0.31
Ni
0.22
Ni
0.26
Zn
0.26
Cd
0.21
Cd
0.29
Hg
0.2
Zn
0.25
Cd
0.23
Cu
0.18
Cr
0.29
Zn
0.17
Cr
0.23
Cr
0.16
Hg
0.12
Cu
0.23
Pb
0.07
Hg
0.13
As
0.14
As
0.1
Hg
0.22
Cd
0.06
As
0.06
Ni
0.08

结果分析：
生活区Zn、Cr元素含量高于国家背景值。重金属污染的主要原因是由于生活区存在大量的公路，公路两侧含铅汽油的燃烧和汽车轮胎的磨损的粉尘会增加土壤中Zn、Cr等元素的含量，而且由于生活区人类活动比较频繁，日常生活用品丢弃后成为垃圾也会导致这两种元素的增加。
工业区Zn、Cr、Cd、Pb、As、Ni元素含量很高。重金属污染的主要原因是工业区“三废”排放，采矿和冶炼会增加这些元素在土壤中的含量。
山区全部元素几乎都在国家背景值以下，只有Cu元素含量较高。这是由于山区远离城市和工业区的污染源，只有一部分金属矿山的开采会导致一些金属元素的外露。
主干道路区Cd、Pb元素含量较高。由于机动车尾气排放既是城市大气的主要污染源，也显著引起公路两侧土壤的重金属污染，汽车汽油、发动机、轮胎、润滑油和镀金部分都能燃烧或磨损而释放出Hg、Zn元素。
公园绿地区中Pb元素含量很高，是造成重金属污染的主要根源。Hg、Zn、Cu为次要重金属元素。公园绿地区农药化肥的使用会不同程度的影响重金属的污染，而且地下水灌溉和塑料薄膜会增加Zn、Cu元素的土壤含量。
不难发现每个区域都受到不同程度的Cd元素的污染，这是因为镉元素主要以硫化镉形式储存于锌矿、铅锌矿和铜铅锌矿中，土壤镉主要来源于锌矿、铅矿的冶炼、合金、电镀、化工厂等排放的废水，工业固废堆放，含有废旧电池的生活垃圾渗滤，污泥施肥以及过量或不恰当地使用化肥农药等。
总体来说：工业化程度越高的地区污染越严重，市区高于远郊和农村，地表高于地下，污染区污染时间越长重金属积累就越多，以大气传播媒介土壤重金属污染土壤具有很强的叠加性,熟化程度越高重金属含量就越高。
5.3 问题三
5.3.1进一步分析
重金属污染物进入土壤可通过水流、空气的对外扩散。该题中只给定了采样点的海拔图，由于不同区域土壤表层密度的差异（生活区、工业区多水泥地，交通区多柏油路，山区多裸露土壤，公园绿地区多草地），而且没有具体给定相关参数，因此不适合分析污染物沿土壤的扩散过程。类似的，没有给定地表水的情况，也无法分析水流对无污染物扩散的影响，因此此时仅仅考虑污染物随空气扩散的模型，仿照高斯扩散模型建立模型[3]。
5.3.2重金属污染物传播特征模型
污染物只随空气扩散的重金属污染物传播特征模型
仿照高斯扩散模型建立重金属污染物空气传播特征模型，有如下假设：
①废气排放速度均匀，方向竖直；
②污染物的浓度在x、y轴方向符合正态分布；
③污染物在输送扩散中质量守恒；
④污染源的源强均匀、连续。
则在点源下风向任一点的浓度分布函数见式5.3.1。

其中为空间中的污染浓度，单位为;为一待定函数。Qx，Qy分别为水平方向，垂直方向的标准差，即x，y的扩散方向的扩散参数。
由质量守恒和连续假设条件③和④，在任一垂直于z轴的烟流截面上有

式5.3.2中，为源强，即单位时间排放的污染物，单位为。为排放速度，单位为
将式5.3.1带入式5.3.2，由风速稳定假设条件①，且考虑到

积分可得

带入式5.3.1中得

污染物随空气扩散和重力沉降的重金属污染物传播特征模型
考虑到静风条件和重力沉降两种作用对连续点源尘粒扩散的影响，建立呈蘑菇烟云正态分布的地面浓度扩散模型。
由于风向随机变化的不定性，在水平面上任一瞬间每一尘粒可以随意左右前后摆动。静风持续一段时间后，水平面上以污染源为中心的同心圆上均匀分布，且在中心点位置浓度值一定为最大，沿水平任何方向呈现正态分布[4]。建立模型如下：

对该模型加以改进，令，得到

5.3.3模型的求解及结果分析
以q=1；u=1，Qx=1；Qy=1为初值带入在x取值为（-3,3），应用Matlab软件模拟只有一个污染源的情况得到图5.3.1

图5.3.1 一个污染源扩散特征模拟图
对于两个污染源，扩散浓度图为

图5.3.2 两个污染源扩散特征模拟图
由图5.3.1和图5.3.2得出只有一个污染源和有两个污染源的扩散特征不同。实际中污染源不止一个，因此污染源不是全局的浓度最高点，确定污染源位置即寻找局部的浓度最高点。
结果分析：通过求解模型，利用Matlab软件计算得到各重金属污染源的坐标见表5.3.1。
表5.3.1 重金属污染源坐标

污染源坐标
重金属元素
X(m)
Y(m）
Z（m）
As
1432
3132
41
7879
5421
9
18134
10046
41
Cd
21439
11383
45
4322
2132
7
5465
17553
2
Cr
3299
6018
4
Cu
2383
3692
7
3583
5853
13
Hg
2708
2295
22
14743
216
2
Ni
3299
6018
4
23121
12231
6
Pb
4777
4897
8
1855
4897
8
Zn
13797
9621
18
4964
8124
6
2434
2324
34

5.4 问题四
5.4.1模型优缺点
优点：模型与实际紧密联系，简单易懂。为了保证结果的准确性，运算当中用了大量提供的数据，同时应用Matlab软件处理数据，在保证准确的同时，也减少了运算量。收集了不同时间内的样点对应的浓度以及各污染源重金属的产生率，提高了模型的准确率，对实际应用具有一定的参考意义。
缺点：重金属污染物传播特征模型只考虑空气传播有些片面，有很多重金属污染物不能通过风扩散，比如一些离子，只能溶在土壤的水份中，靠土壤扩散。而且还没有考虑到重金属进入土壤后的扩散方式。
5.4.2改进模型
为了更深入地研究城市地质环境的演变模式，需要做以下几个工作。首先我们需要求出空间中任意一点对应的污染物浓度与时间的关系表达式；然后再利用问题一中求解不同区域重金属的污染程度的模型对城市进行污染程度分析；最后对由统计得到的各个样点在多个时间内的污染程度进行分析，即可研究出城市地质环境的演变模式。因此，我们只需要求出空间中任意一点对应的污染物浓度与时间的关系表达式即可。
为了求出空间中任意一点对应的污染物浓度与时间的关系表达式，除了需要有本题中所给信息外，还应收集不同时间内的样点对应的基本信息（如附件中所给信息）以及各污染源重金属的产生率。
考虑在无限边界的均匀各向同性区域中的某点处，瞬时注入质量为M的溶质，假设区域没有流动，建立对流弥散模型
将一般的对流扩散方程简化为

其中D为扩散系数。其解为

但一般情况下，污染可以看做是一定量的连续污染，采用积分思想。设在时刻，瞬时注入污染溶质质量
代入式5.4.2，得

积分得

当时

考虑该模型时，定义z=0为污染源的海拔高度，求其周围某地地表浓度时带入相对于z=0处的海拔值即可求得该处浓度。
除了考虑土壤的扩散，还应该同时考虑大气的扩散，有些污染物是通过废气的形式排出的。国家对污染排放控制严格，不考虑重金属元素随水流传播。因此建立模型需要综合考虑两种传播，对土壤扩散和烟尘扩散各增加一系数与，，即污染物分为两部分，一部分沿土壤扩散，一部分沿大气扩散，建立模型如下：
(5.4.6)

六、模型评价与推广
6.1模型的评价
1.模型的优点
（1）重金属污染物传播特征模型简单易懂，能较好地反映重金属污染物扩情况。
（2）模型与实际紧密联系，有很强的普适性和推广性。
（3）问题四对所建立的模型进行了优化，收集了不同时间内的样点对应的浓度以及各污染源重金属的产生率，提高了模型的准确率，对实际应用具有一定的参考意义。
2.模型的不足
在求重金属的空间分布的时没有考虑海拔对其的影响。在拟合、插值时由于在一个范围内采样数据量有限，得到的插值数据光滑性能不是很好。
6.2模型的推广
对于问题四所建立的重金属污染物传播特征模型，同样可以推广应用于确定如噪声源、地震源头、辐射扩散源的位置，它们的扩散特征都近似满足从中心向四周扩散的特点，即距离污染源越近，污染越严重，离污染源越远，污染越小。而其通过可视化操作所形成的三维立体图，方便人们直观地了解其中所包含的信息，并迅速做出判断。这对噪声、地震、辐射等防治工作与危害预测来说，意义是极其重大的。
七、参考文献
[1]徐燕，刘婉婷.土壤重金属污染评价方法的比较[J].安徽农业科学,2008，36（1）:
4615.
[2]向中辉，李智，李健. 基于综合指数法的分析重金属污染程度模型[J].四川大学学报,2016，15（2）:2.
[3]王丽萍，周敏，吴光前.静风条件下烟尘扩散地面浓度模式的研究[J].中国矿业大学报，2003,9（32）:5
[4]李尚志.数学建模竞赛教程[M].南京：江苏教育出版社，1996:25

31

附录
附录1：问题三污染源位置Matlab求解程序:
disanwen.m
load index; load li ;
load x; load y;
load z; load As;
load Cr; load Cu;
load Ni