2017年江苏数学高考考试说明.doc

2015年江苏省高考说明－数学科
一、命题指导思想
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学科（江苏卷）的命题，将依据《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲》，结合江苏省普通高考课程标准教学要求，按照“有利于科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查考生进入高等学校继续学习所需要的基本能力．试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度．
1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查
对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点．支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大比例．注重知识内在联系的考查，不刻意追求知识的覆盖面．注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查．
2．重视数学基本能力和综合能力的考查
数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力．
（1）空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合．
（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究，发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断．
（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性．
（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算．
（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题．
数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题．　　
3．注重数学的应用意识和创新意识的考查　　
数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决．　　
创新意识的考查要求是:能够发现问题、提出问题，综合与灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题．　　
二、考试内容及要求
数学试卷由必做题与附加题两部分组成．选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答．必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两
个专题）．
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）．
了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题．
理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题．
掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．
具体考查要求如下：
1．必做题部分　　
内 容
要 求
A
B
C
1．集合
集合及其表示　　
√

子集　　

√

交集、并集、补集

√

2．函数概念
与基本初
等函数Ⅰ　　
函数的概念

√

函数的基本性质

√

指数与对数　　

√

指数函数的图象与性质　　

√

对数函数的图象与性质　　

√

幂函数　　
√

函数与方程　　

√

函数模型及其应用　　

√

3．基本初等
函数Ⅱ（三
角函数）、
三角恒等
变换
三角函数的概念　

√

同角三角函数的基本关系式　

√

正弦函数、余弦函数的诱导公式

√

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质　　

√

函数的图象与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
√

两角和（差）的正弦、余弦及正切

√
二倍角的正弦、余弦及正切　　

√

4．解三角形
正弦定理、余弦定理及其应用

√

5．平面向量
平面向量的概念

√

平面向量的加法、减法及数乘运算

√

平面向量的坐标表示

√

平面向量的数量积

√
平面向量的平行与垂直

√

平面向量的应用
√

6．数列
数列的概念
√

等差数列

√
等比数列

√
7．不等式
基本不等式

√
一元二次不等式

√
线性规划
√

8．复数
复数的概念　　

√

复数的四则运算　　

√

复数的几何意义　　
√

9．导数及其应用　　
导数的概念　　
√

导数的几何意义　　

√

导数的运算　　

√

利用导数研究函数的单调性与极值　　

√

导数在实际问题中的应用　　

√

10．算法初步
算法的含义　　
√

流程图　　
√

基本算法语句　　
√

11．常用逻辑用语　　
命题的四种形式　
√

充分条件、必要条件、充分必要条件　　

√

简单的逻辑联结词　　
√

全称量词与存在量词　　
√

12．推理与证明　　
合情推理与演绎推理　　

√

分析法与综合法　　
√

反证法　　
√

13．概率、统计　　
抽样方法　　
√

总体分布的估计　　
√

总体特征数的估计　　

√

随机事件与概率　　
√

古典概型　　

√

几何概型　　
√

互斥事件及其发生的概率　　

√

14．空间几何体　　
柱、锥、台、球及其简单组合体　　
√

柱、锥、台、球的表面积和体积　　
√

15．点、线、面
之间的位置关系　　
平面及其基本性质　　
√

直线与平面平行、垂直的判定及性质　　

√

两平面平行、垂直的判定及性质　　

√

16．平面解析
几何初步　　
直线的斜率和倾斜角　　

√

直线方程　　

√
直线的平行关系与垂直关系　　

√

两条直线的交点　　

√

两点间的距离、点到直线的距离　　

√

圆的标准方程与一般方程　　

√
直线与圆、圆与圆的位置关系　　

√

17．圆锥曲线
与方程　　
中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质　　

√

中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质　
√

顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质　
√

2．附加题部分　　
内 容
要 求
A
B
C
　 　选修系列：不含选修系列中的内容
1．圆锥曲线
与方程　　
曲线与方程　　
√

顶点在坐标原点的抛物线的标准
方程与几何性质

√

2．空间向量
与立体几何　　
空间向量的概念　　
√

空间向量共线、共面的充分必要条件　　

√

空间向量的加法、减法及数乘运算　　

√

空间向量的坐标表示　　

√

空间向量的数量积　　

√

空间向量的共线与垂直　　

√

直线的方向向量与平面的法向量　　

√

空间向量的应用　　

√

3．导数及其应用　　
简单的复合函数的导数

√

4．推理与证明　　
数学归纳法的原理　　
√

数学归纳法的简单应用　　

√

5．计数原理
加法原理与乘法原理

√

排列与组合　　

√

二项式定理　　

√

6．概率、统计　　
离散型随机变量及其分布列　　
√

超几何分布　　
√

条件概率及相互独立事件
√

次独立重复试验的模型及二项分布　　

√

离散型随机变量的均值与方差

√

选修系列中个专题
7．几何证明
选讲　　
相似三角形的判定与性质定理

√

射影定理　　
√

圆的切线的判定与性质定理　　

√

圆周角定理，弦切角定理　　

√

相交弦定理、割线定理、切割线定理　　

√

圆内接四边形的判定与性质定理　　

√

8．矩阵与变换　　
矩阵的概念　　
√

二阶矩阵与平面向量　　

√

常见的平面变换　　
√

矩阵的复合与矩阵的乘法　　

√

二阶逆矩阵　　

√

二阶矩阵的特征值与特征向量　　

√

二阶矩阵的简单应用　　

√

9．坐标系与
参数方程　　
坐标系的有关概念　　
√

简单图形的极坐标方程　　

√

极坐标方程与直角坐标方程的互化　　

√

参数方程　　

√

直线、圆及椭圆的参数方程　　

√

参数方程与普通方程的互化　　

√

参数方程的简单应用　　

√

10．不等式选讲　　
不等式的基本性质　　

√

含有绝对值的不等式的求解　　

√

不等式的证明（比较法、综合法、分析法）

√

算术-几何平均不等式与柯西不等式
√

利用不等式求最大（小）值

√

运用数学归纳法证明不等式

√

三、考试形式及试卷结构
（一）考试形式　　
闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分．必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；选考物理科目的考生要做附加题，满分为40分，考试时间30分钟．　　
（二）考试题型　　
1．必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成．其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分．　　
2．附加题 附加题部分由解答题组成，共6题．其中，必做题2小题，考查选修系列2中的内容；选做题共4题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生从中选2个题作答．　　
填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．　　
（三）试题难易比例　　
必做题部分由容易题、中等难度题和难题组成．容易题、中等难度题和难题在试卷中所占分值的比例约为4：4：2．　　
附加题部分由容易题、中等难度题和难题组成．容易题、中等难度题和难题在试卷中所占分值的比例约为5：4：1．
四、典型题示例
A．必做题部分
（一）填空题
1．设复数满足（i是虚数单位），则的虚部为_____．

【解析】本题主要考查复数的基本概念和运算，基本运算．本题属容易题．
【答案】．
2．设集合，则实数的值为 ．

结束
k←k +1
开始
k←1
k2－5k+4>0
N
输出k
Y
【解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识．本题属容易题．
【答案】1．
3．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ．
【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识，
本题属容易题．
【答案】5．

4．函数的定义域为　 ．
【解析】本题主要考查对数函数的定义域等基础知识．本题属容易题．
【答案】
5．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了根棉花
纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数
据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测
的根中，有_ _根棉花纤维的长度小于．
【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计．本题属容易题．
【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于的频率为
，故频数为．
6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数和小于10的概率是______．
【解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识．本题属容易题．
【答案】．
7．已知函数，它们的图像有一个横坐标
为的交点，则的值是________．
【解析】本题主要考察特殊角的三角函数值，正弦函数、余弦函数的图像与性质等基础知识，考察数形结合的思想，考察分析问题、解决问题的能力．本题属容易题．
【答案】．
8．在各项均为正数的等比数列中，若，则的值是______．
D
A
B
C

【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识，考察运算求解能力．本题属容易题．
【答案】4．
9．如图，在长方体中，，
，则四棱锥的体积为 cm3．
【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力
和运算能力．本题属容易题．
【答案】6．
10．设直线是曲线的一条切线，则实数的值是 ．
【解析】本题主要考查导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力．本题属中等难度题．
【答案】．
11．设是定义在R上且周期为2的函数，在区间[—1，1）上，其中，则值是 ．
【解析】本题主要考查函数的概念、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力．本题属中等难度题．
【答案】
12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则K的最大值是_________．
【解析】本题主要考察圆的方程、圆与圆的位置关系、点到直线的距离等基础知识，考查灵活运用相关知识解决问题的能力．本题属中等难度题．
【答案】．
（第13题）
13．如图，在△中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，则的值是_________．
【解析】本题主要考察平面向量的概念、平面向量的运算以及
平面向量数量积等基础知识，考查数形结合和造价转化思想，
考查运算求解能力．本题属难题．
【答案】．

14．已知正数满足：则的取值范围是 ．
【解析】本题主要考查不等式、函数的导数等基础知识，考查代数式的变形和转化能力，考查灵活运用有关知识解决问题的能力．本题属难题．
【答案】．
二、解答题
15．在中，角．已知
（1）求值；
（2）求的值．
【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力．本题属容易题．
【参考答案】
（1）在中，因为，
故由正弦定理得，于是．所以．
（2）由（1）知．所以．又因为，所以
．从而．
在，所以．
因此由正弦定理得．
第16题
16．如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在侧棱上，且，．
求证：（1）直线平面；（2）平面平面．
【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，
考查空间想象能力和推理论证能力．本题属容易题．
【参考答案】
（1）在直三棱柱中，．
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE//AC，于是DE//．
又因为平面，平面，所以直线平面．
（2）在直三棱柱中，．因为平面，所以．
又因为，平面，平面，=，
所以平面．因为平面，所以．
又因为，平面，平面，=，
所以平面．因为直线平面，所以平面平面．
17． 如图，在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线交椭圆
于两点，其中点在第一象限．过作轴的垂线，垂足为，连结，
并延长交椭圆于点．设直线的斜率为．
（1）当时，求点到直线的距离；（2）对任意，求证：．
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力．本题属中等难度题．
【参考答案】
（1）直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，因此，
于是，直线的斜率为，故直线的方程为．
因此，点到直线的距离为．
（2）解法一：将直线的方程代人，解得，记，
则，于是，从而直线的斜率为，其方程为．
代入椭圆方程得，解得或．
因此，于是直线的斜率，
因此，所以．
解法二：设，则且．
设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以．
从而
．因此所以．
18． 如图：为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80m，经测量，点位于点正北方向60m处，点位于点正东方向170m处，（为河岸），．
（1）求新桥的长；
（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？
【解析】本小题主要考查直线、圆、解三角形等基础知识，考查抽象概括能力和运算求解能力，考查学生的数学应用意识．本题是中等难度题．
【参考答案】
解法一：
(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．由条件知A(0，60)，C(170，0)，
直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－．又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=．
设点B的坐标为(a，b)，则k BC=，k AB=．
解得a=80，b=120． 所以BC=．
因此新桥BC的长是150 m．
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM=d m，(0≤d≤60)．
由条件知，直线BC的方程为，即．
由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即．
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以即解得．
故当d=10时，最大，即圆面积最大．
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大．
解法二:
（1）如图，延长OA， CB交于点F．
因为tan∠FCO=．所以sin∠FCO=，cos∠FCO=．因为OA=60，OC=170，
所以OF=OC tan∠FCO=，CF=，从而．
因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO=．
又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB=，从而BC=CF－BF=150．
因此新桥BC的长是150 m．
（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60)．
因为OA⊥OC，所以sin∠AFB =cos∠FCO，
故由(1)知，sin∠CFO =，所以．
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以即解得．
故当d=10时，最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大．
19． 设函数，，其中a为实数．
（1）若在（1，）上是单调减函数，且在（1，）上有最小值，求a的取值范围；
（2）若在（—1，）上是单调增函数，试求零点的个数，并证明你的结论．
【解析】本题主要考查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法进行探索、分析与解决问题的能力．本题属于难题．
【参考答案】
(1)令，考虑到的定义域为(0， )，故a>0，进而解得x>，即在(， )上是单调减函数．同理，在(0， )上是单调增函数．由于在(1，)上是单调增函数，故(1，+∞)(， )，从而1，即a1．
令，得．当时，；当时，．又在（1，）上有最小值，所以lna>1，即a>e．
综上，a的取值范围是（e，）．
(2)当时，必为单调增函数；当a>0时，令，解得，即，因为在（—1，）上是单调增函数，类似(1)有，即．结合上述两种情况，有．
(i)当时，由及，得存在唯一零点；
(ii)当时，由于，，且函数在[]上的图象不间断，所以函数在（）上存在零点．另外，当时，，故在（0，）上是单调减函数，所以只有一个零点．
(iii) 当时，令，解得．当时，；当时，且，所以是的最大值点，且大最大值为．
①当，即时，有一个零点．
②当即时，有两个零点．
实际上，对于，由于，，且函数在上的图象不间断，所以在存在零点．另外当时，故在上是单调增函数，所以在上只有一个零点．
下面考虑在上的情况．先证．为些，我们要证明：当时，．设，则，再设=，则．当时，，所以=在上是单调增函数．故当时，，从而在上单调增函数，进而当时，．即当时，．当，即时，，又，且函数在上图象不间断，所以在上存在零点．又当时，，故在上是单调减函数，所以在上只有一个零点．
综合(i)， (ii)， (iii)，当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2．
20． 设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．
（1）若数列的前n项和为，证明：是“H数列”；
（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求的值；
（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．
【解析】本题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力和推理谁能力．本题属难题．
【参考答案】
（1）由已知，当≥1时，．于是对任意的正整数，总存在正整数，使得．所以是“H数列”．
（2）由已知，得．因为是“H数列”，所以存在正整数m，使得，即，于是．
因为，所以，故．从而，当时，=，=是小于2的整数，．于是对任意正整数n，总存在正整数，使得=2-m=，所以是“H数列”．因此d的值为-1．
（3）设等差数列的公差为d，则=+（n-1）d=n+(n-1)(d-)( )．
令=n，=(n-1)(d-)，则=+．
下证｛｝是“H数列”．
设｛｝的前n项和为，则=（）．
于是对任意的正整数n，总存在正整数m=，使得=．所以｛｝是“H数列”．
同理可证｛｝是“H数列”．
所以，对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．
B．附加题部分
1．选修 几何证明选讲
如图，是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点，若，求证:
【解析】本题主要考查三角形与圆的一些基础知识，如三角形的外接圆、圆的切线性质等，考查推理论证能力．本题属容易题．
【参考答案】连结．
因为是圆的直径，所以．因为是圆
的切线，所以．又因为所以．于是
≌从而即得故

2．选修矩阵与变换
已知矩阵，，求．
【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力．本题属容易题．
【参考答案】
设的逆矩阵为，则，即，故，，，，从而的逆矩阵为，所以，．
3．选修坐标系与参数方程
在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．
【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力．本题属容易题．
【参考答案】
在中令，得．
所以圆的圆心坐标为（1，0）．
因为圆经过点，∴圆的半径为．
∴圆经过极点．∴圆的极坐标方程为．
4．选修不等式选讲
已知是非负实数，求证：．
【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法． 考查推理论证能力，本题属容易题．
【参考答案】
由是非负实数，作差得
．
当时，从而得；
当时，，从而得．
所以．
5．如图，在平面直角坐标xOy中，已—经直线l:x—y—2=0，抛物线C:=2px(p>0)．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．
①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；
②求p的取值范围．
【解析】本题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力及推理认证能力．本题属中等难度题．
【参考答案】
（1）抛物线C:=2px(p>0)的焦点为，由点在直线l:x-y-2=0上，得，即p=4．
所以抛物线C的方程显=8x．
（2）①设，，PQ的中点为．
因为点P和Q关于直线l对称，所以l垂直平分线段PQ，于是PQ的斜率为—1，则可设其方程为y=—x+b．
由消去x得．（*）
因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以，从而，化简得．
方程（*）的两根为，从而==—p．因为M在直线l上，所以=2-p．
因此，线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）．
②因为M（2—p，—p）在直线y=—x+b上，所以—p=—(2—p)+b，即b=2—2p．
由①知p+2b>0，于是p+2(2—2p)>0，所以p<．因此，p的取值范围是．
6．（1）求的值；
（2）设m，n，n≥m，求证：
．
【解析】本题主要考查组合数及其性质等基础知识，考查运算求解能力和推理认证能力．本题属难题．
【参考答案】
（1）=．
（2）当n=m时，=m+1==，结论成立．
当n>m时，===，k=m+1，m+2，---，n．
又因为+=，所以==（—），k=m+1，m+2，---，n．
因此，
=
=
=．
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