高考数学模拟题-三角函数分类汇编-理-新人教版.doc

【数学理】2011届高考模拟题（课标）分类汇编：三角函数
1．（2011北京朝阳区期末）
要得到函数的图象，只要将函数的图象 (C)
（A）向左平移单位 （B）向右平移单位
（C）向右平移单位 （D）向左平移单位
2．（2011北京朝阳区期末）
已知，，则.
3．（2011北京朝阳区期末）
（本小题满分13分）
已知△中，.
（Ⅰ）求角的大小；
20070316
（Ⅱ）设向量，，求当取最小值时，
值.
解：（Ⅰ）因为，
所以. …………………… 3分
因为，所以.
所以. ……………………………………………………… 5分
因为，所以. ……………………………………… 7分
（Ⅱ）因为， ……………………………………… 8分
所以. ……………… 10分
所以当时，取得最小值.
此时（），于是. …………………………… 12分
所以. ……………………………………… 13分

4．（2011北京丰台区期末）
在△ABC中，如果，那么= ．
5．（2011北京丰台区期末）
已知函数（），相邻两条对称轴之间的距离等于．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值及相应的x值．
解：（Ⅰ）．
因为 ，所以 ，．
所以 ．
所以
（Ⅱ）
当 时， ，
所以 当，即时，，
当，即时，．

6. （2011北京西城区期末）
已知中，，，则角等于(D)
（A）
（B）
（C）
（D）

7. （2011北京西城区期末）
已知函数.
（Ⅰ）若点在角的终边上，求的值；
（Ⅱ）若，求的值域.
解：（Ⅰ）因为点在角的终边上，
所以，， ………………2分
所以 ………………4分
. ………………5分
（Ⅱ） ………………6分
， ………………8分
因为，所以， ………………10分
所以， ………………11分
所以的值域是. ……

8. （2011巢湖一检）要得到函数的图象，只要将函数的图象沿x轴(A)
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
9．（2011巢湖一检）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，且
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若，求边．
解：(Ⅰ)∵，∴.
又∵，，∴，∴，
∴，∴． ……………………… 3分
∴，
∴． ……………………… 6分
(Ⅱ)由正弦定理得，，∴.
又∵，∴． ………………………9分
又∵，∴.(用余弦定理也可) ………………………12分

10. (2011承德期末)函数的最小正周期是（ C ）
A． B． C． D．2
11. (2011承德期末)已知函数，图像的最高点从左到右依次记为,函数的图像与轴的交点从左到右依次记为，设则( A )
A. B. C. D.

12. (2011承德期末)
在中，若.
（Ⅰ）求证：成等差数列；
（Ⅱ）求角B的取值范围；

13．(2011东莞期末)
在平面直角系中，以轴的非负半轴为角的始边，如果角、的终边分别与单位圆交于点和，那么等于 (B)
A． B. C． D.
14．(2011东莞期末)

已知平面向量，，，其中，且函数的图象过点．
（1）求的值；
（2）将函数图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值．
解：（1） ……………………………1分
……………………………2分

……………………………4分
，
即
∴，
而，
∴．
（2）由（1）得，，
于是，
即． ……………………………9分
当时，，
所以， ……………………………11分
即当时，取得最小值，
当时，取得最大值．……………………12分

15．（2011佛山一检）函数的最小正周期为(C)
A． B． C． D．
16．（2011佛山一检）
在中，已知，.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若为的中点，求的长.
解：（Ⅰ）且，∴．

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
由正弦定理得，即，
解得．
在中，， ，
所以．
17．（2011福州期末）设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为 （ D ）
A．
B．
C．
D．
18．（2011福州期末）在中，，则AB的长为 。
19．（2011福州期末） 已知函数的最小正周期为
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围。
解：（Ⅰ）

2分

5分
因为函数的最小正周期为，且，
所以，解得． 7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
因为，
所以， 9分
所以，
因此，即的取值范围为．
20．（ 2011广东广雅中学期末）
已知函数和的图象的对称中心
完全相同，若，则的取值范围是 （ A ）
A． B． C． D．
21. （ 2011广东广雅中学期末）
在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为且
（１）求∠A；
（２）若，求的取值范围。
解：①由余弦定理知：cosA＝＝
　　∴∠A＝ ………………4分
②由正弦定理得：
∴b＝2sinB，c＝2sinC ………………6分
∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝2(1－cos2B＋1－cos2C)
　　　　＝4－2cos2B－2cos2(－B)
　　　　＝4－2cos2B－2cos(－2B)
　　　　＝4－2cos2B－2（－cos2B－sin2B）
　　　　＝4－cos2B＋sin2B
　　　　＝4＋2sin(2B－) ………………10分
又∵＜∠B＜ ∴＜2B－＜
∴＜2sin(2B－)≤2
∴3＜b2＋c2≤6

22. （2011广州调研）
若把函数的图象沿轴向左平移个单位,
沿轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的
横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数
的图象,则的解析式为(B)
A. B.
C. D.

23．（2011广州调研）
（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为. 已知向量,
,.
(1) 求的值;
(2) 若, , 求的值.
(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、解三角形等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)
(1) 解: ∵,, ,
∴ . ……2分
∴ . ……4分
(2)解: 由(1)知,且, ∴ . 6分
∵,,
由正弦定理得,即,
∴. ……8分
∵,∴. ……10分
∴.∴. ……12分

24．（2011哈尔滨期末）
将函数的图像按向量平移之后所得函数图像的解析式为
（ A ）
A． B．
C． D．
25．（2011哈尔滨期末）
在中，已知内角，设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
解：（1）由正弦定理知

，
（2）即时，

26．（2011杭州质检）已知，则 （ C ）
A． B． C． D．

27．（2011杭州质检）在中，角A,B,C所对应的边分别是a，b，c，已知，给出下列结论
①的边长可以组成等差数列
④若b+c=8，则的面积是其中正确的结论序号①②④
28．（2011杭州质检）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得到的图像再向左平移单位，得到的函数的图像，求函数在区间上的最小值．
解：（1）因为
=, 4分
函数f（x）的最小正周期为=．
由，，
得f（x）的单调递增区间为 ， ． 9分
（2）根据条件得=，当时，，
所以当x = 时，． 14分
29．(2011湖北八校一联)
函数的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为 （ B ）
A． B． C． D．

30．(2011湖北八校一联)
在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则（ C ）
A． B． C． D．
31．(2011湖北八校一联)

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，向量
。
（I）求的值；
（II）若的面积为3，求a。

解： （Ⅰ） ，
，，
6分
（Ⅱ）由，得，
又，
，
当时，； 10分
当时，. 12分

32．(2011湖北八校一联)
在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票。股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近拟地用解析式来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线对称，老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F。
现在老张决定取点点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数，并且已经求得
（I）请你帮老张算出，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）
（II）老张如能在今天以D点处的价格买入该股票5 000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

解：（Ⅰ）关于直线对称点坐标为即，
把、、的坐标代入解析式，得
②①，得 ，
③①，得 ，
，
，
，
， ， 代入②，得 ，
再由①，得 ， ，. 7分
于是，段的解析式为,
由对称性得，段的解析式为，
解得 ，
当时，股价见顶. 10分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，
故这次操作老张能赚元. 12分

33．（2011·湖北重点中学二联）函数的图像如图所示，,则的值为 （ A ）

A． B．
C． D．

34．（2011·湖北重点中学二联）（本小题满分12分）
已知的三内角A，B，C所对三边分别为a，b，c，且
（I）求的值。
（II）若的面积求a的值。

解：（Ⅰ）∵ ∴ 由
得…2分
∴=-=……4分
∴……5分 ∴……6分
（Ⅱ）得……8分
∴ ∴……12分

35、（2011·淮南一模）已知中，, ,则的周长为 （ C ）
A． B．
C． D．

36、（2011·淮南一模）设是第三象限角，，则 ；

37、（2011·淮南一模）（本小题12分）
已知函数（）的最小正周期为，
（Ⅰ）当 时，求函数的最小值；
（Ⅱ）在，若,且,求的值。

解：
依题意函数的最小正周期为，即，解得，
所以
（Ⅰ）由得，
所以，当时， ………………6分
（Ⅱ）由及，得
而, 所以，解得
在中，,
，，解得
， ………………12分

38．(2011·黄冈期末)已知函数y=Asin(x+)+b的一部分图象如图所示，如图A＞0，＞0，
｜｜＜，则 （ D ）
A. = B. = C. = D.=
39、 (2011·黄冈期末)满足A＝300，BC＝10的△ABC恰好有不同两个，
则边AB的长的取值范围为 (10, 20)

16. (2011·黄冈期末) (12分) 在中，a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知 ，且.
(1) 求角C； (2) 若c=，的面积，求a+b的值.
40、. （1） 依题知得   .
 也就是 ，又，所以.
(2) ，且，所以 . ……………6分
，且，
所以 ， 即 .…………………12分
41. (2011·惠州三调)若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是 (　　)

A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】答案：C 依题意及面积公式S＝bcsinA，得10＝bcsin60°，得bc＝40.
又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得： 解得a＝7.

42. (2011·惠州三调)（本题满分12分）
已知函数的图象的一部分如下图所示.

(1)求函数的解析式;
(2)当时,求函数的最大值与最小值及相应的的值.

解:(1)由图像知,,∴,得.
由对应点得当时,.∴;……………5分
(2)
=,……………9分
∵,∴,………………10分
∴当,即时,的最大值为;当,即时,的最小值.………………12分

43、(2011·锦州期末) “a=1”是“函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的（ A ）
（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件
（C）充要条件 （D） 既非充分条件也不是必要条件
44、(2011·锦州期末)（本小题12分）
已知A,B,C为锐角的三个内角，向量,
，且．
（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）求取最大值时角的大小．
解：（Ⅰ），
……………2分

． …………………4分
是锐角三角形，． …………6分
（Ⅱ）是锐角三角形，且，
……………7分
………10分
当取最大值时，即． ……………12分

45．（2011·金华十二校一联）函数是 （ C ）
A．最小正周期为且在内有且只有三个零点的函数
B．最小正周期为且在内有且只有二个零点的函数
C．最小正周期为且在内有且只有三个零点的函数
D．最小正周期为且在内有且只有二个零点的函数
46．（2011·金华十二校一联）函数的最大值是 （ B ）
A．8 B．7 C．6．5 D．5．5
2
-2
x
y
O

47、（2011·金华十二校一联）在研究性学习中，我校高三某班的一个课题研究小组做“关于横波的研究实验”．根据实验记载，他们观察到某一时刻的波形曲线符合函数的图像，其部分图像如图所示，则= ．

48．（2011·金华十二校一联）（本题满分14分）
在中，分别为角的对边，已知，的面积为，又．
（I）求角的大小；
（II）求的值．

解：（I）,,
且为的内角，，从而． （7分）
（II）由，及得，
又，，．（１４分）

49、．（2011·九江七校二月联考）根据三角恒等变换，可得如下等式：

依此规律，猜测，其中 -30
50．（2011·九江七校二月联考）（本小题满分12分）已知角A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，，。
（1）求角A的大小； （2）若求的长。

解:(1)
0
……4分
……6分
∵……8分 .……9分
(2)在中，， ，
……10分
由正弦定理知：……11分
=.……12分
51．(2011·南昌期末)已知函数的最大值为4,最小值为0,最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是 ( D )
A. B.
C. D.
52．(2011·南昌期末)（本小题满分12分）
已知函数
（1）当时，求函数的值域；
（2）若，且，求的值．
解：（1）由已知…2分
当时， ……………………4分
故函数的值域是（3，6] ………………………………………………………6分
（2）由，得，即……………8分
因为），所以………………………………………10分
故 ……………………………12分

53、(2011·日照一调)已知且，则等于(C )
(A) (B) (C) (D)7
54、(2011·日照一调)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为___________海里/小时．

55、(2011·日照一调)（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）求的最小正周期;
（Ⅱ）若，当时, 求函数的最大值．（18）解：（Ⅰ）=
=
=. ……………………4分
故的最小正周期为T = =8. ……………………6分
(Ⅱ)由题设条件得
　　　　　　　　　 =
=. ………………………… 9分
当时，，且是增函数，
因此在区间上的最大值为.……………12分

56、（本题满分13分） （2011·三明三校二月联考） 设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，向量
， ，已知与共线 。
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，，且△ABC的面积小于，求角B的取值范围。

【解】（Ⅰ）因为∥，则，即.……（2分）
所以，即，即. ……… （5分）
A是锐角，则，所以. ……………………（6分）
（Ⅱ）因为，，则

. ……………………（9分）
由已知，，即. …………………… （11分）
因为B是锐角，所以，即，故角B的取值范围是. …………
57、(2011·汕头期末)设直角三角形的两条直角边的长分别为，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有
①， ②，
③， ④.
其中正确结论的序号是 ；进一步类比得到的一般结论是 .

解：在直角三角形中，故
有，故填②④ 。

58．(2011·汕头期末) (本题满分12分)
已知向量，函数·，
(Ⅰ)求函数的单调递增区间；
(Ⅱ)如果△ABC的三边a、b、c满足，且边b所对的角为，试求的范围及函数的值域．
解：
3分
令，解得，.
故函数的单调递增区间为.6分
8分
，
， 10分
即的值域为.
综上所述，的值域为. 12分

59. （2011·上海普陀区高三期末）已知，其中是第四象限角，则 .
60. （2011·上海普陀区高三期末）若函数，则 .
61. （2011·上海普陀区高三期末）高一数学课本中，两角和的正弦公式是在确定了两角差的余弦公式后推导的. 即 ， -----------------------（填入推导的步骤）
61. （2011·上海普陀区高三期末）（本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）
已知的三个内角A、B、C的对边分别为、、.
（1）若当时，取到最大值，求的值；
（2）设的对边长，当取到最大值时，求面积的最大值.

解：（1）因为

故当时，原式取到最大值，即三角形的内角时，最大值为.
（2）由（1）结论可得，此时.
又，因此，当且仅当时等号成立.
所以.故面积的最大为.
63、（2011·上海长宁区高三期末）函数的最小正周期为2，则实数。
64、（2011·上海长宁区高三期末）已知为第三象限的角，,则= -7 .
65、（2011·上海长宁区高三期末）在中，角所对的边分别是，若，且，则的面积等于 .
66、（2011·上海长宁区高三期末）函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)的图像关于原点对称的充要条件是（D ）
A、φ=2kπ－，k∈Z B、φ=kπ－，k∈Z
C、φ=2kπ－，k∈Z D、φ=kπ－，k∈Z

67. （2011·泰安高三期末）若把函数的图象向右平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( C )
A. B. C. D.
68. （2011·泰安高三期末）（本小题满分12分）
已知
（Ⅰ）求函数f(x)的单调增区间
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2,f(A)=，求△ABC的面积.
解：（Ⅰ）因为f(x)=
=
=
=………………………………………………………（3分）
所以函数f(x)的单调递增区间是〔〕（）……………………（5分）
(Ⅱ)因为f(x)=，所以
又
从而……………………………………………………………（7分）
在△ABC中，∵a=1,b+c=2,A=
∴1=b2+c2-2bccosA,即1=4-3bc.
故bc=1……………………………………………………………………………………（10分）
从而S△ABC=……………………………………………………………（12分）
69．（2011中山期末）(本小题满分12分)
已知函数．
（1）若，求的最小正周期和单调递增区间；
（2）设，求的值域．
．解：（1）
周期；
令，得
所以，单调递增区间为
（2）解法一：当，，由的图象可知，当时，有最大值；当时，有最小值。
所以，值域
解法二：若，则 ，

，
即的值域为

70. （2011苏北四市二调）已知为锐角，，则 -3 ．
71. （2011苏北四市二调）在△中，角的对边分别是，
若，，，则△的面积是 ．

72. （2011苏北四市二调）（本小题满分14分）
已知函数.
（1）求的值；
（2）求的最大值及相应的值．
解：（1）
…………………………………………………2分

………………………………………………………………………………………
（1）
……………
，……………………………………………
当时，，
此时，即，

73．（ 2011·温州八校联考）在中， （ B ）
A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
74． （ 2011·温州八校联考）函数为奇函数，该函数的部分图像如右图所表示，、分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ C ）
A． B． C． D．

75．（ 2011·温州八校联考）（本小题满分14分）
设的内角的对边分别为若
（1）求角的大小；
（2）设，求的取值范围．

解：（1）由正弦定理可得
化简可知
所以 …………………………………7分
（2）
因为，所以………………14分
76、（2011·温州十校高三期末）
中，“”是“为直角三角形”的 （ B ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分且必要条件 （D）既不充分也不必要条件
77、（2011·温州十校高三期末）
若，，则
78、（2011·温州十校高三期末）（本题满分14分）已知向量，，函数f(x)=·。
（1）求函数f(x)的单调递增区间。
（2）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，且，
求△ABC面积S的最大值。
解：（1）
=----------------2分
=---------------------------3分
------------5分
解得：
的单调递增区间为-----7分
（2）
---9分
又及得------12分

当且仅当时取“=”
S的最大值为-------------------------14分
79. （2011烟台一调）函数的部分图象如图所示，则的值分别为( D )
A.2，0 B.2，
C.2，- D.2，
80. （2011烟台一调）若
81. （2011烟台一调）（本小题满分12分）
已知向量，其中A，B，C是△ABC的内角，a,b,c分别是角A，B，C的对边.
（1）求角C的大小；
（2）求的取值范围.
解：（1）由得 …………2分
由余弦定理得 …
…
（2）

即.
82. （2011镇江高三期末）设的三个内角,,所对边的长分别是,,，且，那么 .

83. （2011镇江高三期末）在等式中，根号下的表示的正整数是 3 .
84、 （2011镇江高三期末）矩形中，轴，且矩形恰好能完全覆盖函数的一个完整周期图象，则当变化时，矩形周长的最小值为 .
85. （2011镇江高三期末）如图, 单位圆（半径为1的圆）的圆心为坐标原点，单位圆与轴的正半轴交与点,与钝角的终边交于点,设.
(1) 用表示;
(2) 如果,求点的坐标；

角终边
(3) 求的最小值.

解：(1)如图.
（2）由，又,得
.
由钝角，知
.
（3）【法一】，
又，,
的最小值为.
【法二】为钝角，,
，
,,
的最小值为.
【说明】本题考查三角函数的定义、诱导公式、倍角公式，三角函数的图象和性质（基本不等式的应用.本题为原创题.

34
用心 爱心 专心