九年级数学上册-《锐角三角函数》文字素材-华东师大版.doc

锐角三角函数知识拓展
浅谈中考复习之《锐角三角函数与解直角三角形》
中考对于每一位初中毕业生来说是人生历程中的一次重要考试，社会、家庭、学校都十分关注，要在中考中获得主动，就要有计划地进行系统的复习。下面谈谈在复习锐角三角函数与解直角三角形时的一些体会与做法：
首先，要明确锐角三角函数与解直角三角形在中考中的地位。锐角三角函数与解直角三角形是中考的必考内容，近几年的中考都有一题，题型多是解答题或填空题的形式，近几年随着中考试题重视对数学应用能力的考查，解直角三角形的内容多以实际应用出现，如：2002年和2003年的中考对解直角三角形就结合实际进行考查。
其次，在复习时，要明确该章节内容的重点、难点、关键点。在复习锐角三角函数与解直角三角形中，锐角三角函数的概念是学习好解直角三角形的基础，它集本章的重点、难点、关键点于一身，所以在复习时特别注重对锐角三角函数概念的理解与记忆。第一、正确理解锐角三角函数的定义。①要让学生搞清“对边”与“邻边”的含义，如RtΔABC中， ∠C=90°对于∠A来说，a是对边，b是邻边，对于∠B来说，b是对边，a是邻边。②在直角三角形中，锐角α的三角函数是指以下四个比值：
， ，，，要让学生明白Sinα是一个整体的数学符号，不应该看成是Sin与α相乘关系。第二、要熟记特殊角的三角函数值，因为近几年的考试大都是通过特殊角来进行边、角的计算，特殊角是指 30°、45°、60°。如何让学生较牢固地掌握好特殊角函数值呢？可通过“一副三角板”来记忆，如下图所示：

这样可避免学生因死记硬背而容易出错。第三、熟练掌握锐角三角函数之间的关系：①平方关系：sin2α+ cos2α=1 ②倒数关系：tanα.cotα=1 ③互化关系: sin(90°-α)= cosα、tan(90°-α)= cotα。
解直角三角形亦是本章的另一个重点内容，解直角三角形的知识在着十分广泛的应用，从近年的中考数学试题来看，解直角三角形的问题已成为必考内容,因此在复习过程中,要对解直角三角形进行重点处理。第一，要让学生明白知道什么是解直角三角形以及解直角三角的问题有哪些类型。解直角三角形是指除直角外的五个元素，已知两个元素（必须有一个是边）求其余三个元素的过程。类型有两种：（1）已知两边求其它边角，①已知两条直角边，②已知斜边和一直角边。（2）已知一边和一锐角，求其它边角，①已知一直角边一锐角，②已知斜边和一锐角。第二，在解题中，应注意以下几点：①不论哪种类型，可先求未知角，再求边。②选用关系式时，一般选用相乘的关系式，尽量少用相除关系式，如已知a，A，求b，可用b＝，又可用b＝a.cotA，选用后一式计算方便，可减少误差积累。
最后，在复习时还要注意几种思想的强化。
第一， 数形结合的思想：数形结合的思想是最主要的数学思想和数学方法之一，本章节的锐角三角函数概念的建立，推理论述，解决实际问题时都应该通过画图来帮助分析解决问题，通过数形结合的思想，加深对直角三角形本质的理解。例如：已知sinα= ，求tanα的值。事实上可给已知条件sinα= ,以丰富知识背景，即在Rt△ABC中，∠C= 90°、∠B=α， 则有AC=3K、AB=5K，则BC=4K，
所以tanα== ，充分展示了数形结合的思想魅力。
第二，转化的思想：将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化思想，在复习过程中，要教会学生在遇到不熟悉的数学问题时要善于研究分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法，将之转化为熟悉问题来解决。如不规则的三角形，通过添加辅助线将图形转化成直角三角形，最好转化成 30°、 45°、60°等直角三角形来解决。例如：在△ABC中，∠B=30°、∠C=45°、AB=6，求AC的长。可作高AD，把斜三角形化为直角三角形。“化斜为直”是解斜三角形基本方法之一。

又如在解梯形问题时，如图：
在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=2 ，DC=BC=2，∠A=30°,∠B=60°求AB。方法一：可作高把梯形转化为两个直角三角形和矩形。

方法二：可通过延长梯形两腰AD、BC交于E构成一直角三角形。

方法三：可通过平移一腰构成一直角三角形和一平行四边形。

第三，建模的思想：将实际问题抽象成纯数学问题，这是数学建模的主要内容之一，在复习过程中，要注意解直角三角形应用题的建模锻炼，将实际问题数学化，强化学生用数学的意识，例题：如图,

灯塔A周围1000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O处测得灯塔A在北偏东74°方向线上，这时O、A相距4200米，如果不改变航向，此舰艇是否有触礁的危险？本题型是航海问题，实际上是解直角三角形问题。要建立起解直角三角形的数学模型，有无触礁问题即是A到OX的距离是否大于1000米的问题，则可作AB⊥OX，通过Rt△OBA求出AB，则问题可解决。显然是要通过建模思想将实际问题数学化。
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