对数函数习题精讲.doc

对数的运算性质
1．对数的运算性质：
如果 a > 0 ， a ¹ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）；
（2）；（3）．
证明：（性质1）设，，
（性质3）
设，
由对数的定义可得 ，
∴，
∴，
即证得．
由对数的定义可得 ，，
∴，
∴，
即证得．
练习：证明性质2．
说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；
（2）注意有时必须逆向运算：如 ；
（3）注意定义域： 是不成立的，
是不成立的；
（4）当心记忆错误：， 试举反例，
，试举反例。
2．例题分析：
例1．用，，表示下列各式：
（2）

．
（1）； （2）．
解：（1）

；
例2．求下列各式的值：
（1）； （2） ．
解：（1）原式==；
（2）原式=
例3．计算：（1）lg1421g；（2）； （3）．
解：（1）解法一：
；
解法二：=；
说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。
（2）；
（3）=．
例4．已知，，求的值。
分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。
解： ．
说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。
例5．已知，求．
分析：由于是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，的存在使变形产生困难，故可考虑将移到等式左端，或者将变为对数形式。
解：（法一）由对数定义可知：．
（法二）由已知移项可得，即，由对数定义知：，∴ ．
（法三），∴，∴ ．
说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。
例6．（1）已知，用a表示；（2）已知，，用、表示 ．
解：（1）∵，∴， ∴ log 3 4 - log 3 6 = ．
（2）∵， ∴，
又∵，∴=．
换底公式
1．换底公式： ( a > 0 , a ¹ 1 ；)
证明：设，则，两边取以为底的对数得：，∴，
从而得： ， ∴ ．
说明：两个较为常用的推论：
（1） ； （2） （、且均不为1）．
证明：（1） ；（2） ．
2．例题分析：
例1．计算：（1） ； （2）．
解：（1）原式 = ；
（2） 原式 = ．
例2．已知，，求（用 a, b 表示）．
解：∵， ∴， ∴，
又∵， ∴， ∴．
例3．设 ，求证：．
证明：∵，∴ ，
∴ ．
例4．若，，求．
解：∵， ∴，
又∵ ，∴ ， ∴
∴ ．
例5．计算：．
解：原式
．
例6．若 ，求．
解：由题意可得：， ∴，∴．
对数函数
例1．求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）．
分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。
解：（1）由>0得，∴函数的定义域是；
（2）由得，∴函数的定义域是；
（3）由9-得-3，∴函数的定义域是．
说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。
例2．求函数和函数的反函数。
解：（1） ∴ ；
（2） ∴ ．
例4．比较下列各组数中两个值的大小：
（1），； （2），； （3），.
解：（1）对数函数在上是增函数，
于是；
（2）对数函数在上是减函数，
于是；
（3）当时，对数函数在上是增函数，
于是，
当时，对数函数在上是减函数，
于是．
例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：
（1），； （2），；
（3），，； （4），，．
解：（1）∵， ，∴；
（2）∵， ，∴．
（3）∵， ， ，
∴．
（4）∵， ∴．
例6．已知，比较，的大小。
解：∵， ∴，当，时，得，
∴， ∴．当，时，得，
∴， ∴．当，时，得，，
∴，， ∴．
综上所述，，的大小关系为或或．

例7．求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）（且）．
解：（1）令，则， ∵， ∴，即函数值域为．
（2）令，则， ∴， 即函数值域为．
（3）令，当时，， 即值域为，
当时，， 即值域为．
例8．判断函数的奇偶性。
解：∵恒成立，故的定义域为，
，
所以，为奇函数。
例9．求函数的单调区间。
解：令在上递增，在上递减，
又∵， ∴或，
故在上递增，在上递减， 又∵为减函数，
所以，函数在上递增，在上递减。
说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。
例10．若函数在区间上是增函数，的取值范围。
解：令， ∵函数为减函数，
∴在区间上递减，且满足，∴，解得 ，所以，的取值范围为．

对数函数
1 如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为(    )．
　　（A）  
　　（B）          
　　（C）
　　（D）

2.函数y=logx－1(3－x)的定义域是
如果对数有意义，求x的取值范围；
解：要使原函数有意义，则

解之得：
∴原函数的定义域为-7，-6)(-6，-5) (-1，+)
函数的定义域为一切实数，求k的取值范围。

利用图像判断方程根的个数
3．已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数。
解：因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知：
①当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；
②当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；
③当时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。

4．若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围．
解：由原方程可化为
，变形整理有
（*）
，，由于方程（*）的根为正根，则
解之得，从而

5．求函数的单调区间．
．解：设，，由得，知定义域为
又，则当时，是减函数；当时，是增函数，而在上是减函数.
的单调增区间为，单调减区间为
题目2】求函数的单调区间。
正解】由得x＜1或x＞5，即函数的定义域为
{x| x＜1或x＞5}，
当x＜1时，是减函数，是减函数，所以是增函数；
当x＞5时，是增函数，是减函数，所以是减函数；
所以的增区间是（-∞，1）；减区间是（5，∞，）。
6、设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围．
　　分析：由值域为 和对数函数的单调性可将问题转化为 能取遍所有正实数的问题．
解： 令 ，依题意 应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集．则有 或 ，解得 ．

已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
解：(1)(a2－1)x2+(a+1)x+1＞0对x∈R恒成立.
a2－1=0时，a=±1，经检验a=－1时恒成立；
a2－1≠0时，
a＜－1或a＞ ，
∴a≤－1或a＞ .
(2)a2－1=0，即a=1时满足值域为R；
a2－1≠0时，
1＜a≤ .
∴1≤a≤ .
7. 的定义域为R，求a的取值范围。
【正解】①当a=0时，y=0，满足条件，即函数y=0的定义域为R；
②当a≠0时，由题意得：；
由①②得a的取值范围为[0，4）。
【评注】参数问题，分类要不重不漏，对于不等式不一定是一元二次不等式。

8.函数y=log［(1－x)(x+3)］的递减区间是( )
A.(－3,－1) B.(－∞,－1) C.(－∞,－3) D.(－1，＋∞)
【解析】设t＝(1－x)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4由(1－x)(x＋3)＞0得
－3＜x＜1当x∈(－3，－1)时，t＝(1－x)(x＋3)递增∴y＝log［(1－x)(x＋3)］的递减区间是(－3，－1)

9.已知函数y＝loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是( )
A.0＜a＜1 B.a＞1 C.1＜a＜2 D.1＜a≤2
【解析】若0＜a＜1，则函数在定义域上是增函数；若a＞1，则当0≤x≤1时，2－ax＞0恒成立即x＜， 因此＞1 ∴1＜a＜2
10.求函数y=loga(2-ax-a2x)的值域。
【解】由于2-ax-a2x>0，得-2<ax<1。∴t=2-ax-a2x=(ax+)2+∈（0，2）。
又当a>1时，y=logat递增，∴y<loga2；当0<a<1时，y=logat递减，∴y>loga2。
故当a>1时，所求的值域为（-∞，loga2）；当0<a<1时，所求的值域为
（loga2,+∞）。

11.求函数y=log2·log2(x∈［1,8］)的最大值和最小值.
【解】 令t=log2x,x∈［1,8］,则0≤log2x≤log28即t∈［0,3］
∴y=(log2x－1)(log2x－2)=(t－1)(t－2)=t2－3t+2=(t－)2－ t∈［0,3］
∴当t=,即log2x=,x=2=2时，y有最小值=－.
当t=0或t=3，即log2x=0或log2x=3,也即x=1或x=8时，y有最大值=2.

12.设函数y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),（1）求f(x)的表达式及定义域；
（2）求f(x)的值域。
【解】（1）若lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)有意义，
则又∵lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),∴lgy=3x(3-x)。
∴ y=103x(3-x)(0<x<3)。
（2）∵3x(3-x)=-3x2+9x=-3(x-)2+(0<x<3),∴0<-3x2+9x≤。∴1<y≤10。
∴y=f(x)的定义域为（0，3），值域为（1，10）。
13函数 在区间 上的最大值比最小值大2，则实数 =___． 或 ；　
14已知函数 ．① 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性；　② 当 时，求 的最大值，最小值及相应的 值．
①在 上单调递减，在 上单调递增．②当 时， ，当 时， ．

15、已知函数y=loga(1－ax)(a＞0且a≠1)。(1)求函数的定义域和值域；(2)证明函数图象关于直线y=x对称。
(1)当a＞1时，函数的定义域和值域均为(－∞，0)；当0＜a＜1时，函数的定义域和值域均为(0，+∞)。
(2)由y=loga(1－ax)，得1－ax=ay，即ax=1－ay，∴x=loga(1－ay)，
∴f－1(x)=loga(1－ax)=f(x)。
∵f(x)与f－1的图象关于直线y=x对称，函数y=loga(1－ax)的图象关于直线y=x对称。
16、.设，求函数的最大值。

17、已知函数。
(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的值域。
(1)函数的定义域为(1，p)。(2)当p＞3时，f(x)的值域为(－∞，2log2(p+1)－2)；
当1＜p=时，f(x)的值域为(－，1+log2(p+1))。
18、已知 ， 求函数的最大值和最小值 .()
19：已知的减函数，则的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D． 答案：B。
解析：本题作为选择题，用排除法求解较简，由于这里虽然有，故在[0，1]上定为减函数，依题设必有，故应排除A和C，在B、D中要作选择，可取，则已知函数为，但是此函数的定义域为，它当然不可能在区间[0，1]上是减函数，故又排除了D，从而决定选B。
20．函数 （ ）图象的对称轴方程为 ，求 的值．
解：解法一：由于函数图象关于 对称，则 ，即
　　 ，解得 ， 或 　又 ，
　　解法二： 函数 的图象关于直线 对称，则函数 的图象关于 轴对称，则它为偶函数，即
　　 　 ，
21 已知f(x)= ［3－(x－1)2］，求f(x)的值域及单调区间.
分析：分清内层与外层函数.
解：令u(x)=－(x－1)2+3≤3，则f(x)≥ 3=－1，∴f(x)值域为［－1，+∞).
f(x)的定义域u(x)＞0，即－(x－1)2+3＞0，x∈(1－ ，1+ ).u(x)在(1－ ，1］上递增，在(1，1+ )上递减.
∵0＜ ＜1，∴f(x)在(1－ ，1］上递减，在(1，1+ )上递增.
22已知y=log0.5(x2－ax－a)在区间(－∞，－ )上是增函数，求实数a的取值范围.
解：函数y=log0.5(x2－ax－a)由y=log0.5t与t=x2－ax－a复合而成，其中y=log0.5t为减函数，又y=log0.5(x2－ax－a)在(－∞，－ )上是增函数，故t=x2－ax－a在区间(－∞，－ )上是减函数.从而 a∈［－1， ］.
23.已知函数f(x)=loga(ax2－x)， 是否存在实数a，使它在区间［2，4］上是增函数?如果存在，说明a可取哪些值;如果不存在，说明理由.
解：设g(x)=ax2－x.当a＞1时，为使函数y=f(x)=loga(ax2－x)在x∈［2，4］上为增函数，只需g(x)
=ax2－x在［2，4］上为增函数，故应满足 得a＞ .∴a＞1.
当0＜a＜1时，为使函数y=f(x)=loga(ax2－x)在x∈［2，4］上为增函数，只需g(x)=ax2－x在x∈［2，4］上为减函数，
故 无解.∴a不存在.∴当a＞1时，f(x)=loga(ax2－x)在x∈［2，4］上为增函数.
对数函数的图象变换及在实际中的应用
对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质。为研究它的数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。
一． 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质
（一） 图象的平移变换
例1． 画出函数与的图像，并指出两个图像之间的关系？
解：函数的图象如果向右平移2个单位就得到的图像；如果向左平移2个单位就得到的图像，所以把的图象向右平移4个单位得到的图象
注：图象的平移变换：1.水平平移：函数，的图像，可由的图像向左（+）或向右平移个单位而得到.
2.竖直平移：函数，的图像，可由的图像向上（+）或向下平移个单位而得到.
（二）图像的对称变换
例2．画出函数的图像，并根据图像指出它的单调区间.
解：当时，函数满足，所以是偶函数，它的图象关于轴对称。当时，。因此先画出，（）的图象为，再作出关于轴对称，与构成函数的图像，如图：
由图象可以知道函数的单调减区间是，单调增区间是
例3．画出函数与的图像，并指出两个图像之间的关系？
解：图象如图：把函数的图象作关于轴对称得到的图像
注：图象的对称变换：①与关于轴对称
②与关于轴对称
③与关于原点轴对称
④与关于直线轴对称
⑤的图像可将 ，的部分作出，再利用偶函数的图像关于轴对称，作出的图像.
二． 利用对数函数的图象解决有关问题
（一） 利用图像求参数的值
例4．已知函数的图像如图所示，求函数与的值.
解：由图象可知，函数的图象过点与点，所以得方程与，解出，。
（二）利用图像比较实数的大小
例5．已知，，试确定实数和的大小关系.
解：在同一直角坐标系中作出函数与的图象，再作的直线，可得。
注：不同底的对数函数图象的规律是：①底都大于1时，底大图低（即在的部分底越大图象就越接近轴）②底都小于1时，底大图高（即在的部分底越大图象就越远离轴）
（三）利用图像解有关的不等式
例6．解关于的不等式
解：在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：两图象交点的横坐标为2，所以原不等式的解集为
（四）利用图像判断方程根的个数
例7．已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数。
解：因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知：①当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；
②当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；
③当时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。
能准确地作出对数函数的图象，利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质。运用数形结合的数学思想，来研究对数函数的有关问题。