第十章计数原理与概率导学案一.doc

第十章　计数原理与概率、随机变量及其分布
第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
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1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．　
2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题
考点一 分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
考点二 分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理有什么区别？
分类加法计数原理针对的是“完成事件的方法种类不同”问题，其各种方法是相互独立的，用其中任何一种方法都能完成这件事情；分步乘法计数原理针对的是“完成事件需分几个步骤”问题，其各个步骤中的方法是相互联系的，只有各个步骤都完成才能完成这件事情

1．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为(　　)
A．6　　　　　　B．5 C．3 D．2

2．(2014年济南调研)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)
A．40 B．16 C．13 D．10

3.(2014年临沂模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是(　　)

A．16 B．32
C．48 D．64

4．有不同颜色的四件衬衣与不同颜色的三条领带，如果一条领带与一件衬衣配成一套．则不同的配法种数是________．

5．(2013年高考山东卷改编)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．(用数字作答)．

类型一 分类加法计数原理
【例1】　有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有(　　)
A．8种　　　　　　　　 B．9种
C．10种 D．11种
变式训练：1．(2014年济南模拟)椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．
类型二 分步乘法计数原理
【例2】　由数字1,2,3,4，
(1)可组成多少个3位数；

(2)可组成多少个没有重复数字的3位数．

类型三 两个原理的综合应用
【例3】　(1)(2014年潍坊模拟)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为(　　)
A．240 B．204
C．729 D．920

(2)(2014年沈阳模拟)一生产过程有四道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有________种．

变式训练
2．已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是(　　)
A．18 B．10
C．16 D．14
数学思想方法----分类讨论的思想在计数原理中的应用
纵观历年高考对两个计数原理应用的考查，多以选择题与填空题的形式出现，考查蕴含在实际问题的解决中，多是两原理结合在一起应用，做好问题转化，分好类与步是关键，今年高考仍会坚持此规律，不会有大的变化．

1．(2013年高考福建卷)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)
A．14 B．13 C．12 D．10

2.如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有(　　)
A．9种 B．11种
C．13种 D．15种

作业及练习
[A组]
一、选择题
1．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有(　　)
A．16种　　　B．18种　　　C．37种　　　D．48种

2．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　　)
A．9 B．14 C．15 D．21

3．(2014年潍坊模拟)从1到10的正整数中，任意抽取两个数相加，所得和为奇数的不同情形的种数是(　　)
A．10 B．15 C．20 D．25

4．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)
A．24 B．18 C．12 D．6

5．用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，则上述四位数中“渐降数”的个数为(　　)
A．14 B．15 C．16 D．17

6．(2014年海淀模拟)书架上原来并排着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有(　　)
A．336种 B．120种 C．24种 D．18种
二、填空题
7．从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．

8.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．

9.将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有________种．
1
2
3
3
1
2
2
3
1
三、解答题
10．标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．
(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？
(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？

11.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？

[B组]
1．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)
A．60 B．48 C．36 D．24
2．(2014年潍坊期中)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．

3.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．
1
2
3
4
5
6
7
8
9

第二节　排列与组合
[最新考纲展示]　
1．理解排列、组合的概念．　
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．　
3.能利用排列与组合解决简单的实际问题．
考点一 排列与排列数
1．排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素， ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 .
注意：排列与排列数是不同概念，易混淆，排列数是问题中所有不同排列的个数．
考点二 组合与组合数
1．组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作 .
排列与组合有何异同点？
排列与组合问题的共同点：都是“从n个不同元素中取出m个元素”；不同点：前者与元素的顺序有关，为“将取出的元素按照一定顺序排成一列”，后者与元素的顺序无关，为“将取出的元素合成一组”．
因此我们可以得到：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关．
考点三 排列数、组合数的公式及性质

1．对于排列数公式的连乘形式和阶乘形式，运用时注意把握以下几点
(1)排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数．
(2)排列数公式的阶乘形式主要有两个作用：一是当m，n较大时，使用计算器快捷地算出结果；二是对含有字母的排列数的式子进行变形．
2．组合数的性质的应用：性质①主要有两个方面的应用，一是简化运算，当m>时，通常将计算C转化为计算C；二是列等式，由C＝C可得x＝y或x＋y＝n.性质②主要应用于恒等变形，简化运算．

1．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)
A．3×3！　　　　 B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9!
2．电视台在直播2013年世锦赛广州地区羽毛球比赛时要连续插播5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的世锦赛宣传广告，要求最后播放的是世锦赛宣传广告，且2个世锦赛宣传广告不能连播．则不同的播放方式有(　　)
A．120　　　　　　　　 B．48 C．36 D．18
3．(2014年开封一模)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)
A．4种　　　B．10种　　　C．18种　　　D．20种
4．有3张都标着字母A,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中5张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于________．(用数字作答)
类型一 排列问题
【例1】　有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起；
(4)全体排成一行，男、女各不相邻；
(5)全体排成一行，男生不能排在一起；
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
(7)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．

类型二 组合问题
【例2】　某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选；
(5)既要有队长，又要有女生当选．

式训练
1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有(　　)
A．36种　　　　　　　 B．30种
C．42种 D．60种
类型三 排列与组合的综合应用
【例3】　(1)某地奥运会火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种(用数字作答)．

(2)有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
变式训练
2.从5种不同的水果和4种不同的糖果中各选出3种，放入如图所示的6个不同的区域(用数字表示)中拼盘，每个区域只放一种，且水果不能放在有公共边的相邻区域内，则不同的放法共有(　　)

A．2 880种 B．2 160种
C．1 440种 D．720种

高考热点——有限制条件的排列组合问题
有限制条件的排列组合问题，高考每年必考，解决此类问题时，一是要明确问题中是排列还是组合或排列组合混合问题；二是要讲究一些基本策略和方法技巧．常用的有：元素位置分析法、捆绑法或插空法、先整体后局部法、定序问题相除法、正难则反排除法、分组分配法等．
【典例1】　1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有(　　)
A．450种　　B．460种　　C．480种　　D．500种

【典例2】　(2014年张家界模拟)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有(　　)
A．34种 B．48种 C．96种 D．144种

练习：有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是(　　)
A．12 B．24 C．36 D．48

[A组]
1．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有(　　)
A．24种　　 B．60种 　C．90种　　　 D．120种

2．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种

3．(2014年武昌调研)将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有(　　)
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

4．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　)
A．10种 B．15种 C．20种 D．30种

5．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐标有(　　)
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种

6．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是(　　)
A．258 B．306 C．336 D．296

7．(2014年长春模拟)用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为________．

8．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)

9．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)
10．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？
11．7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．
(1)A，B必须当选；

(2)A，B必不当选；

(3)A，B不全当选；

(4)至少有2名女生当选；

(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．

12．(能力提升)已知10件不同产品中共有4件次品，现对它们进行一一测试，直至找到所有次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品的不同测试方法数有多少种？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数有多少种？
[B组]
1．某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位教师一天的课的所有排法有(　　)
A．474种 B．77种 C．462种 D．79种

2．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数字，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有(　　)
A．120个 B．80个 C．40个 D．20个
3．(2014年呼和浩特模拟)奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．

第三节　二项式定理
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1．能用计数原理证明二项式定理．　2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
考点一 二项式定理
1．二项式定理
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理．
2．二项展开式的通项
Tr＋1＝Can－rbr为展开式的第 项．
考点二 二项式系数与项的系数
1．二项式系数
二项展开式中各项的系数C(r∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．
2．项的系数
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等．与二项式系数是两个不同的概念．
3．二项式系数的性质

4.各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即_______________________________＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和 奇数项的二项式系数的和，即 ＝ ＝ .
注意：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a＋bx)n的展开式中，第k＋1项的二项式系数是C，而该项的系数是Can－kbk.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．
基础自测：
1．(1＋x)7的展开式中x2的系数是(　　)
A．42　　　　B．35　　　　C．28　　　　D．21
2．二项式5的展开式中的常数项为________．
3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
4.4展开式中常数项为________
5．在(1－x)5＋(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是________．
类型一 二项展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】　(1)(2014年潍坊模拟)若二项式 n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为(　　)
A．6　　　　B．10　　　　C．12　　　　D．15
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
变式训练
1．(2014年密云调研)若二项式n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为(　　)
A．－27C　　　　 B．27C
C．－9C D．9C
类型二 二项式系数的和或各项的系数和
【例2】　二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．

类型三 二项式定理的应用与函数最值问题
【例3】　(1)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1 C．11 D．12
(2)二项式n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)
A．180 B．90 C．45 D．360
变式训练
2．(2013年高考全国新课标卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8

高考热点——二项式定理题型透析
通过对近三年高考试题的研究可以看出，二项式定理的应用及二项式系数的性质是高考的必考内容之一，二项式定理揭示了二项式的幂展开式在项数、系数以及各项中的指数等方面的联系，试题相对独立，是高考中多年来最缺少变化的题型之一．
【典例1】　(2013年高考天津卷)6的二项展开式中的常数项为________．

【典例2】　(2013年高考四川卷)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)
练习：
1．已知9(a为实数)的展开式中x3的系数为18，则展开式中的常数项为(　　)
A．42　　　　B．672　　　　C.　　　　D．366

2．在5的二项展开式中，x的系数为(　　)
A．10 B．－10 C．40 D．－40
[A组　基础演练·能力提升]
1．二项式n的展开式中各项系数的和为(　　)
A．32　　　 B．－32　　　C．0　　　　 D．1

2．(2013年高考江西卷)5展开式中的常数项为(　　)
A．80 B．－80 C．40 D．－40

3．在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项

4．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是(　　)
A．28 B．38
C．1或38 D．1或28

5．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(　　)
A．180 B．90 C．－5 D．5

6．(2013年高考辽宁卷)使得n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7

7．(2013年高考浙江卷)设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.

8．设(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.

9．若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是________．
10．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.
(1)求n；
(2)求展开式中的常数项．

11．已知n的展开式中，前三项系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求第三项的二项式系数及项的系数；
(3)求含x项的系数．

12．(能力提升)已知n，
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

[B组　因材施教·备选练习]
1．(2014年聊城一模)若n的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是(　　)
A．－10 B．10
C．－45 D．45
2．C＋C＋…＋C＋…＋C的值为(　　)
A．2n B．22n－1
C．2n－1 D．22n－1－1
3．(2014年银川模拟)若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________.

第四节　随机事件的概率
[最新考纲展示]　
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．　2.了解两个互斥事件的概率加法公式．
考点一 随机事件及其概率和频率
1．事件
(1)在条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的必然事件．
(2)在条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．
(3)在条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的随机事件．
2．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用 来估计概率P(A)．
思考：频率与概率有什么区别与联系？
频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小．因为频率不是一个完全确定的数，随着试验次数的不同产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小．但从大量的重复试验中发现，随着试验次数的增加，频率就稳定在某一固定的值上，频率具有某种稳定性．
概率是一个常数，它是频率的科学抽象，当试验次数增加时，所得的频率可近似地当作事件的概率．
考点二 事件的关系与运算

怎样区分互斥事件与对立事件？
互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生．因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．例如：掷一枚骰子“出现的点数是1”与“出现的点数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而“出现的点数是奇数”与“出现的点数是偶数”是互斥事件，也是对立事件．
考点三 概率的基本性质
1．概率的取值范围： .
2．必然事件的概率：P(E)＝ .
3．不可能事件的概率：P(F)＝ .
4．概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ ．
5．对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝ ．
1．当一个事件包含多个结果时要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，注意涉及的各事件要彼此互斥．
2．P()＝1－P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1)－P(A2)－…－P(An)．
基础自测
1．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．则下列结果正确的是(　　)
A．P(M)＝　P(N)＝ B．P(M)＝　P(N)＝ C．P(M)＝　P(N)＝ D．P(M)＝　P(N)＝
2．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，P(A)与的关系是(　　)
A．P(A)≈　　　　　B．P(A)< C．P(A)> D．P(A)＝
3．(2014年长沙调研)甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么(　　)
A．甲是乙的充分但不必要条件
B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
4．2013年亚冠决赛由中国广州恒大与韩国首尔FC强强较量．中国选手获胜的概率为0.41.战平的概率为0.27，那么中国选手不输的概率为________．
5．从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．
类型一 随机事件的频率与概率
【例1】　(2013年高考湖南卷)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：

(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．

变式训练
1．假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．

类型二 事件关系的判断
【例2】　从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．
(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；
(2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；
(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；
(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”．
变式训练
2．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则(　　)
A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件
类型三 互斥事件、对立事件的概率
【例3】　某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率；
(2)求他不乘轮船去开会的概率．

高考热点——互斥事件与对立事件的概率
从近两年高考命题看，随机事件及其概率基本上不单独考查，但概率与统计交汇、互斥事件、对立事件与古典概型、几何概型渗透是命题的热点，题目不超过中等难度，重点考查学生分析问题与数学计算能力，解题的关键是准确理解事件间关系及其概率．
【典例】　(2014年洛阳模拟)(本题满分12分)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
求(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？

[A组]
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A．至多有一次中靶　B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
2．(2014年绍兴一模)从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，是对立事件的是(　　)
A. ①　 B．②④　　　　 C．③　　　　 D．①③
3．(2014年日照模拟)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(　　)
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3
4．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球．不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为(　　)
A. B. C. D.
5.下面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是(　　)

A. B. C. D.
6．第27届世界大学生夏季运动会在于2013年7月7日在喀山体育场正式开幕，运动会期间从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是(　　)
A. B. C. D.
7．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
8．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率为________．
9．(2014年成都模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．
10．袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率为，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少？
11．黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比/%
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？

12．(能力提升)某校共有学生1 200名，各年级男、女生人数如下表：

七年级
八年级
九年级
女生
a
216
b
男生
198
222
c
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到七年级女生的概率是0.17.
(1)求a的值；