高等数学习题答案 人民大学出版社 第6章 应用1.pdf

第六章定积分的应用第六章定积分的应用 内容概要内容概要 名称 主要内容 定积分的元素法 定积分的元素法是一种简单记忆定积分（badxxfA)(）三步骤的方法：1、将iiixfA)(记为dxxfdA)(2、将ni 10lim写为ba 平面图形的面积 直角坐标系 X-型 Y-型)()(:21xfyxfbxaDA badxxfxfA)()(12)()(:21ygxygdycDA dcdyygygA)()(12 极坐标系)(0:rrDA drA)(221 体积 旋转体体积 已知平行截面面积的立体体积)(0:xfybxaDA 绕 x 轴旋转：dxxfVba)(2 已知垂直于x轴的平面截立体所得截面面积为)(xA,立 体 又 被 夹 于ax 和bx 两平面间，则：badxxAV)(已知垂直于 y 轴的平面截立体所得截面面积为)(yA,立 体 又 被 夹 于cy 和dy 两平面间，则：dcdyyAV)(绕 y 轴旋转：dxxxfVba)(2)(0:ygxdycDA 绕 y 轴旋转：dyygVdc)(2 平面曲线的弧长 直角坐标 参数方程 极坐标 L：)(xfy，,bax dxyds21；badxys21 L：)()()(ttytx dtttds)()(22 dttts)()(22 L：)(rr，；drrds)()(22；drrs)()(22 物理应用：1、变力沿直线作功 2、水压力 3、引力 x 0 y 1 图 6-2-1 yx yx D x 0 y/2/2图 6-2-2 sinyx 1 D 课后习题全解课后习题全解 习题习题 6 6-2 2 1求由曲线xy 与直线xy 所围图形的面积。知识点知识点：平面图形的面积 思路思路：由于所围图形无论表达为 X-型还是 Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解解：见图 6-2-1 所围区域 D 表达为 X-型：xyxx10，（或 D 表达为 Y-型：yxyy210）10)(dxxxSD61)2132(10223xx （10261)(dyyySD）2求在区间0，/2上，曲线xysin与直线0 x、1y所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：由于所围图形无论表达为 X-型还是 Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解解：见图 6-2-2 x 0 y 4 图 6-2-3 2yx 22224yx D 所围区域 D 表达为 X-型：1sin20yxx，（或 D 表达为 Y-型：yxyarcsin010）12)cos()sin1(2020 xxdxxSD （12arcsin10ydySD）3求由曲线xy 2与42xy所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：由于所围图形表达为 Y-型时解法较简单，所以用 Y-型做 解解：见图 6-2-3 两条曲线的交点：22422yxxyxy，所围区域 D 表达为 Y-型：22422yxyy，2316)324()4(2232222yydyyySD（由于图形关于 X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(22032022yydyyySD）4求由曲线2xy、24xy、及直线1y所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：所围图形关于 Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为 Y-型时，解法较简单 解解：见图 6-2-4 第一象限所围区域1D表达为 Y-型：yxyy210，34322)2(221023101ydyyySSDD（若用 X-型做，则第一象限内所围区域1DbaDD，其中aD：22410 xyxx，bD：14212yxx；12212201422()(1)443DDxxSSxdxdx）5求由曲线xy1与直线xy 及2x所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：由于所围图形表达为 X-型,解法较简单，所以用 X-型做 x 0 y1 图 6-2-4 22 4yxyx 12 D1D x 0 y 1 图 6-2-5 yx 1/yx 2 1 D x 0 y 图 6-2-6 22yx 0 2 1D 解解：见图 6-2-5 两条曲线xy1和xy 的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2x分别交于 )21 ,2(、2),2(所围区域D表达为 X-型：xyxx121，22211113()(ln)ln222DSxdxxxx 6抛物线xy22分圆822 yx的面积为两部分，求这两部分的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：所围图形关于 X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为 Y-型时，解法较简单 解解：见图 6-2-6，设阴影部分的面积为1DS，剩余面积为2DS 两条曲线xy22、822 yx的交于(2,2)（舍去4x的解），所围区域1D表达为 Y-型：228222yxyy；又图形关于 x 轴对称，342)342(2)68(2)28(220320220221yydyyySD （其中222cos18cos22cos2284040sin22202dtttdttdyyty）34634282DS 7求由曲线xey、xey与直线1x所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：由于所围图形表达为 X-型时，解法较简单，所以用 X-型做 解解：见图 6-2-7 两条曲线xey 和xey的交点为（0，1），又这两条线和1x分别交于 ),1(e和),1(1e 所围区域D表达为 X-型：xxeyex10，2)()(11010eeeedxeeSxxxxD 8求由曲线xyln与直线ayln及byln所围图形的面积)0(ab x 0 y 1 图 6-2-7 xye 1 xye D xy xylnayln byln 0 aln 1 bln 图 6-2-8 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：由于所围图形表达为 Y-型时，解法较简单，所以用 Y-型做 解解：见图 6-2-8 在xln的定义域范围内所围区域D：yexbya0lnln，abedyeSbaybayDlnlnlnln 9求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于 y 轴，且向下弯；（2）它与 x 轴所围图形面积最小 知识点知识点：平面图形面积和求最值 思路思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量 解解：由于抛物线的对称轴平行于 y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bxaxy2，（由于下弯，所以0a），将（1，2）代入bxaxy2，得到2ba，因此xaaxy)2(2 该抛物线和 X 轴的交点为0 x和aax2，所围区域D：2200(2)axayaxa x 2320232026)2()223()2(aaxaxadxxaaxSaaaaD)4()2(61)2()2()2(361)(233322aaaaaaaaSD xy xey 0 图 6-2-10 12 D Dyex0 r a 图 6-1-11 a2得到唯一极值点：4a，所求抛物线为：xxy642 10求位于曲线xey 下方，该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积 知识点知识点：切线方程和平面图形面积 思路思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型 解解：xey xey，在任一点0 xx 处的切线方程为)(000 xxeeyxx 而过（0，0）的切线方程就为：)1(xeey，即exy 所求图形区域为21DDD,见图 6-2-10 X-型下的1D：xeyx00，2D：xeyexx10 222)(1021100eeexeedxexedxeSxxxD 11求由曲线cos2ar 所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：作图可知该曲线是半径为a、圆心（0 ,a）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a，也可选择极坐标求面积的方法做。解解：作图 6-1-11 图 6-2-12 3sinar 0 r 6/1D 图 6-2-13)cos2(2 ar 0 r a6 a4 a3 1D 知所求图形区域D：cos2022ar 2222222)2sin2121(2)cos2(21aadaSD 12求三叶玫瑰线3sinar 的面积S 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成 图 6-2-12 中所画是三叶玫瑰中的一叶，而一叶图形又关于6对称，因此选择其中一叶的一半区域1D求其面积 解解：1D：3cos060ar 260260241)6sin6121(3)3cos(21661aadaSSDD 13求由曲线)cos2(2 ar所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域1D求其面积 图 6-2-14 aer r a 2/ae ae ae D 0 解解：1D：)cos2(200ar 1222001411222(2cos3)44(sin3sin6)1823212DDSSadaa14求对数螺线ae)(及射线所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：作图可知该曲线围成的图形是由ae，从到一段曲线及射线所围，由此可确定、的范围 解解：所围区域D：ae0)(4212)(21222222eeaeadaeSD 15求由曲线cos3r及cos1r所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分D，而D又关于极轴对称，设在（0，2）内的曲线和极轴围成的半个D为1D区域 图 6-2-15 cos3r 0 r cos1r 3/2 1D 3/图 6-2-16 sin2r 0 r 2cos2r 1D 4/6/解解：两条曲线cos3r、cos1r交于3处，因此分割区域baDDD1，其中aD：cos1030r，bD：cos3023r 122320332031122(1 cos)(3cos)22319 1152(2sinsin2)(sin2)2342 2644DDSSdd 16求由曲线sin2r及2cos2r所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分D，而D又关于射线2对称，设两条曲线在（0，2）围成的半个D为1D区域 x 0 y a2 图 6-2-17 D)cos1()sin(tayttax x 0 y 1图 6-3-1-1 yx D4 解解：两条曲线sin2r、2cos2r交于6及65 因此分割区域baDDD1，其中aD：sin2060r，bD：2cos026r 236)2sin412sin41621(22cos21)sin2(21 222660266021ddSSDD（和书后答案不同）17求由摆线)sin(ttax，)cos1(tay)20(t及 x 轴所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：在直角坐标系下作图可知所围图形的x、y变化范围，先求出直角坐标系下积分表达式，再将积分变量代换成t 解解：所围区域D：)(020 xyyax，（)(xyy 为摆线）20()aDSy x dx，作代换)sin(ttax，则222022203223)cos1()sin()cos1(aadttattadtaSD 习题习题 6 6-3 3 1 求下列平面图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的立体体积：(1)曲线xy 与直线1x、4x、0y所围成的图形；知识点知识点：旋转体体积 思路思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式。x 0 y/2/2图 6-3-1-2 sinyx 1 D 2D 解解：平面图形 D：xyx041，见图 6-3-1-1 绕 x 轴旋转产生的立体体积：215)(241dxxV；绕 y 轴旋转产生的立体体积：5124241dxxxV(和书上答案不同)(2)在区间2 ,0上，曲线xysin与直线2x、0y所围成的图形；解解：平面图形 D：xyxsin020，见图 6-3-1-2，绕 x 轴旋转产生的立体体积：222041)(sindxxV；绕 y 轴旋转产生的立体体积：方法一方法一：2020cos)(2sin2xdxdxxxV2)sincos(22020 xxx 方法二方法二：V可看作由1D（矩形20 x，10 y）绕 y 轴旋转而成的体积1V，减去由2D（10 y，yxarcsin0）绕 y 轴旋转而成的立体体积2V所得 2)(arcsin)2(1022dyyV(3)曲线3xy 与直线2x、0y所围成的图形。解解：平面图形 D：3020 xyx，绕 x 轴旋转产生的立体体积：7128)(2023dxxV；绕 y 轴旋转产生的立体体积：5642203dxxxV（绕 y 轴旋转产生的立体体积如同（2）也有两种计算法）2求由曲线2xy、2yx 所围成的图形绕 y 轴旋转一周所产生的旋转体体积。0 y a 图 6-3-4 a axachy D x知识点知识点：旋转体体积 思路思路：该平面图形绕 y 轴旋转而成体积V可看作1D：yxy010绕 y 轴旋转而成的体积1V，减去 2D：2010yxy绕 y 轴旋转而成的立体体积2V所得，见图 6-3-2 解解：103)()(102221021dyydyyVVV 3求由曲线xysin（x0）与 x 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所产生的旋转体体积。知识点知识点：旋转体体积 思路思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式 解解：平面图形 D：xyxsin00，绕 y 轴旋转产生的立体体积：202sin2dxxxV（绕 y 轴旋转产生的立体体积如同 1（2）也有两种计算法）4求由曲线axachy，0 x，ax，0y（0a）所围成的图形绕 x 轴旋转而成的立体体积。知识点知识点：旋转体体积 思路思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式 x 0 y 1 图 6-3-2 2yx 1 2xy 1D 2D x y a2 图 6-3-5 )cos1()sin(tayttax a2 D 2D 0 解解：平面图形 D：axachyax00，见图 6-3-4，绕 x 轴旋转产生的立体体积：)22(4)224(212)(3020220shaaaxshaadxaxchadxaxchaVaaa 5求摆线)sin(ttax，)cos1(tay的一拱与0y所围图形绕直线ay2轴旋转而成的旋转体体积。知识点知识点：旋转体体积 思路思路：若设所围区域为D，则该平面图形绕ay2旋转而成体积V可看作矩形区域1D：ayx2020绕ay2旋转而成的体积1V，减去区域2D：02()2xy xya绕ay2旋转而成的立体体积2V所得，（其中，()y x表示摆线的函数式，见图 6-3-5 解解：adxyaaaVVV202221)2(2)2(，作代换)sin(ttax，则 223222232008(cos)(sin)8sin(1 cos)Vaaatad ttaatt dt 22223223001 cos28(sinsin)72taadttdta 6求222ayx绕bx（0 ab）旋转而成的旋转体体积。知识点知识点：旋转体体积 图 6-3-7 0 8 )cos1(4 y r思路思路：由图形的对称性可知所求体积12VV，其中1V是由222ayx（0y）部分，绕bx旋转而成的旋转体体积，又根据元素法，1V是由图形中的线段y（220 xay）绕bx旋转一周所得的圆柱面叠加而成，见图 6-3-6 解解：12VV badxxabdxxabxaaaa22222224)(22 7由心形线)cos1(4和射线0及2所围图形绕极轴旋转而成的旋转体体积。知识点知识点：旋转体体积 思路思路：极坐标中的此平面图形绕极轴旋转相当于直角坐标系下的该图形绕 x 轴旋转 解解：平面区域D：04(1 cos)（20），见图 6-3-7 心形线)cos1(4的直角坐标表示：sin)cos1(4cos)cos1(4yx （80 x），根据直角坐标下的体积计算及222xy，得：8038028022238)(dxdxxdxyV 0 r 图 6-3-6 bx dxxx 线段y aax xy z 图 6-3-8 34(1 cos)cos022816(1 cos)4(1 cos)cos 3xd38)cos1()cos1()cos1(6430222dd 16038)cos1(31)cos1(216430234 8计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上的一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积。知识点知识点：已知平行截面面积的立体体积 思路思路：首先以固定直径为 x 轴确立圆方程：222Ryx，再求垂直于 x 轴的截面面积，然后代入公式。见图 6-3-8 解解：以固定直径为 x 轴圆心为坐标原点，则圆方程为：222Ryx，在圆内，垂直于 x 轴的截面面积)(3223221)(22xRyyxA，322334)(3RdxxRVRR 9求曲线axy)0(a与直线ax，ax2及0y所围成的图形分别绕 ox 轴、oy 轴旋转一周所产生的旋转体体积。知识点知识点：旋转体体积 思路思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式 解解：平面图形 D：xayaxa02，绕 x 轴旋转产生的立体体积：adxxaVaa21)(22；绕 y 轴旋转产生的立体体积：2222adxxaxVaa（绕 y 轴旋转产生的立体体积如同 1（2）也有两种计算法）10 设直线baxy与直线0 x，1x，及0y所围成的梯形面积等于A，试求a、b，使这个梯形绕 x 轴旋转所得旋转体体积最小（0a，0b）。知识点知识点：旋转体体积，以及最值问题 思路思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），进而求出以ba,为变量的旋转体体积，再求最小值。yaxb 解解：梯形区域D：10 x，baxy0，0 1)3()(22102babadxbaxV 由条件Abab)(21，)313234()(22bAbAbV 0)(32)(AbbV，得Ab，0a 习题习题 6 6-4 4 1用定积分表示双曲线1xy上从点（1，1）到点（2，1/2）之间的一段弧长。思路思路：曲线表达为xy1（或yx1）代入相应公式计算弧长 解解：21yx ，dxxdxysba2142111 2计算曲线xyln上相应于83 x的一段弧的弧长。思路思路：曲线表达为xyln（或yex）代入相应公式计算弧长 解解：1yx，dtttdxxxdxxdxystxba83283228322121)21(11112 23ln211)11ln21(13232221uuuduuuut 3计算曲线)3(31xxy上相应于31 x的一段弧的弧长。解解：111()222xyxxx，3432322(21)214)1(113123313122xxdxxxdxxxdxysba 4计算曲线yyxln21412（ey 1）的弧长。解解：111()222yxyyy，41)ln2(2121)1(411121212122eyydyyydyyydyxseebae 5计算抛物线pxy22（0p）从顶点到其上点),(yxM的弧长。思路思路：抛物线表达为2ypx（或pyx22），代入相应公式计算弧长 解解：yxp，yyybadyyppydyyppydyyppdxxs022022022210 ,10 ,11 pypytpyttttptdtparctan0arctan03tan)tanseclntan(sec2sec pypypypyp22222ln(2（或通过公式dxxpdxysbax02211计算）6证明曲线xysin的一个周期（20 x）的弧长等于椭圆2222 yx的周长。思路思路：分别求出xysin的弧长1s及椭圆的周长2s，求椭圆周长时采用参数式求解 解解：xysin的弧长dxxdxxdxysba20220221cos14cos11 dxx202sin14 椭圆方程表达为：txcos2，tysin；代入公式得弧长 dttdtttdtyxs202202220222sin14cossin244 21ss 7求对数螺线aer 相应于自0至的一段弧的弧长。思路思路：曲线是极坐标的表达式aer，因此代入公式drrs)()(22 解解：)1(1)()(2022222aaaeaadeaedrrs 8求曲线1r相应于自43至34的一段弧的弧长。思路思路：曲线是极坐标的表达式1r，因此代入公式drrs)()(22 解解：43422223324344111()()(ln1)srrdd 23ln125（其中dtttttdttttdtttdtcossincossincossin1sectansec1222222tan22 22211lnsin1tansecln)sincos(secCtttdtttt）9 求曲线txarctan，)1ln(212ty相应于自0t至1t的一段弧的弧长。思路思路：曲线是参数表达式(),()xtyt，因此代入公式dttts)()(22 解解：dttdttttdttts10210222222211)1()1(1)()()21ln(1ln102tt 习题习题 6 6-5 5 1设一质点距原点x米时，受xxxF2)(2牛顿力的作用，问质点在F作用下，从1x移动到 3x，力所做的功有多大？知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：当变力沿直线作功，质点从x至dxx段所作功的微元dxxFdW)(。解解：2()(2)dWF x dxxx dx 350)3()2(3123312xxdxxxW 2某物体作直线运动，速度为)/(1smtv，求该物体自运动开始到s10末所经过的路程，并求物体在前s10内的平均速度。知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：变速直线运动物体在t至dtt 时间段内所经过路程的微元dttVdS)(。解解：()1dSV t dttdt)11111(32)1(32110023100tdttS（m）；)11111(30210SV（sm/）3直径为 20cm，高为 80cm 的圆柱体内充满压强为2/10cmN的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：设P为压强、体积为V，根据物理学原理，当温度不变时压强和体积成反比，因此当圆柱体的高为h时，801010 ,1022khkP。解解：压力p=压强面积，当圆柱体的高为h时压力280010ph，功的微元dhhdW80000)(,2ln800800008040NmdhhW 4半径为R的半球形水池充满了水，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：设半球形水池的方程为2222Rzyx（0z），见图 6-5-4，则将z至dzz 薄片体积的水吸出，克服重力所作的功为zgdzzRdW)(22，（是水的比重，可取 13/mkg）解解：zgdzzRdW)(22，)(4)(4022NmgRdzzRzgWR 5设有一半径为R，长度为l圆柱体平放在深度为R2的水池中（圆柱体的侧面与水面相切），设圆柱体的比重为)1(，现将圆柱体从水中移出水面，问需要作多少功？知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：设圆柱体的方程为222)(RyRx，见图 6-5-5，则将x至dxx段薄圆台为底高为l的柱体移出水面，浮力减重力所作的功为 xgdxRxRlxgdxRxRldW22221)(2)(2，另外，因要求整个柱体出水，因此该部分还需在空中移动xR2距离，该部分的功)2()(2222xRgdxRxRldW zdzz 0 x y z图 6-5-4 解解：dxxRRxRdWdWdW)2()(lg22221，du)2lg(2)()2lg(2222022RRRuRxuRRuRdxRxRxRW )(,)12()12lg(2322NmglRduuRRRR 6有一闸门，它的形状和尺寸如下图所示，水面超过门顶 2m，求闸门上所受的水压力。知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：由物理知识可知，水深h处的压强为hp，（为水的比重）以门顶中心为原点向下建立 x 轴，见图 6-5-6，则在x至dxx段门条上所受的水压力为dxxdP2)2(x y x dxx)2(xR 0 R 图 6-5-5 解解：dxxdP2)2(，21)2(230dxxP 7洒水车的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如上图所示，当水箱装满水时计算水箱的一个端面所受的压力。知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：设椭圆方程为175.0222 yx，见图 6-5-7，则在x至dxx的一条端面上所受的水压力为 dxxxdP2275.012)75.0(2 4 1.5 x y 图 6-5-7 xxdx2 3 2 图 6-5-6 x 0 dxxx 解解：dxxxdP2275.012)75.0(，20.7520.752(0.75)10.75xPxdx2220.750.750.752220.750.750.75211.511.510.750.750.75xxxxdxdxdx 11.50.751.77()17.3()2kgkN 8以等腰梯形闸门与铅直平面倾斜30角置于水中，其闸门顶部位于水面处，上下底宽分别为 100m和 10m，高为 70m，求此闸门一侧面所受到的水的静压力。知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：以上底中心为坐标原点，垂直向下建立 x 轴，等腰梯形腰的方程则为：507045xy，见图6-5-8，因此在x 至dxx的闸门条带上，所受的静压力为 30cos)507045(2xdxxdP 解解：xdxxdP)50149(3，470010379.8)50149(3xdxxP（kg）9设一旋转抛物面内盛有高为Hcm 的液体，把另一同轴旋转抛物面浸沉在它里面，深达hcm，问液面上升多少？知识点知识点：旋转体体积 100m 70m 10m xy 50149xy 0 dxxx 图 6-5-8 思路思路：设两个旋转抛物面1、2的方程分别为由 yoz 面上曲线2ayz 和cbyz2绕 z 轴旋转而成，见图 6-5-9，可通过排开液体的体积和液面上升后增加的体积相等，计算液面上升的数值 解解：高为H的2旋转面所占的体积bcHdzbczdzyVHcHc2)(222，液面从H上升至h两个旋转抛物面所夹的体积：)2)(2)()(22221bcHhaHchdzbczazVchH，由21VV 可得：22hbaHch，液面上升的高度为HhbaHHch22。10 设有长度为l、线密度为的均匀细直棒，在于棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点 M，试求该细棒对质点 M 的引力。知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：以棒的一端为坐标原点，棒置于 x 轴正向上，建立平面直角坐标，见图 6-5-10，质点 M 位于（0，a）处，则x 至dxx段的细棒对质点 M 的引力为：222axdxkmrkmdMFd，,2222axaaxxFdFd c y z H h 图 6-5-9 解解：,2222yxdFdFaxaaxxFdFd，,)11()(2202/322alakmaxxdxkmFlx 2/12202/12202/322)()()(alalkmaxaxkmaxadxkmFlly 11长为l 2的杆质量均匀分布，其总质量为M，在其中垂线上高为h处有一质量为m的质点，求它们之间引力的大小。知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：以棒的中点为坐标原点，棒置于 x 轴的（ll,）上，中垂线为 y 轴，建立平面直角坐标，见图 6-5-11，质点 M 位于（0，h）处，则x 至dxx段的细棒对质点 M 的引力为：)(2222hxlkmMdxrkmdMFd，,2222hxhhxxFdFd x y 0 a dxxx 图 6-5-10 l 解解：,2222yxdFdFhxhhxxFdFd，0)(22/322llxaxlkmMxdxF 2/12202/1222/322)()()(2hlhkmMhxlhkmMxhxlkmMhdxFllly x y 0 h dxxx 图 6-5-11 l l