浅谈如何培养中学生的数学逻辑思维能力.doc

长江师范学院本科毕业论文·浅谈如何培养中学生的数学逻辑思维能力
1 引言
培养学生的数学逻辑思维能力，数学教材具有优越的条件。数学，是一门研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，它具有抽象性严密性和应用的广泛性等特征，现代教学论认为：数学教学是数学思维活动的教学，而不仅是数学活动的结果，即数学知识的教学，数学教育的任务是形成那些具有数学思维特点的智力活动结构。数学的这些特点和数学教学的任务，使得数学教学在培养学生数学逻辑思维能力方面，较之其它学科占有更重要的地位。那究竟怎么样来培养数学逻辑思维能力？为此，有必要作进一步研究。
2 逻辑思维涵义、特点、作用及基本形式
2.1 逻辑思维的涵义及特点
人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观现实的理性认识过程，又称理论思维。它是作为对认识着的思维及其结构以及起作用的规律的分析而产生和发展起来的。只有经过逻辑思维，人们才能达到对具体对象本质规定的把握，进而认识客观世界。它是人的认识的高级阶段，即理性认识阶段。
数学课培养逻辑思维能力，主要是通过数学课的教学，培养学生自觉的掌握并运用逻辑规律进行思维的能力，也就是遵循逻辑规律，明确的使用概念，恰当地下判断，合乎逻辑地进行推理的能力。
逻辑思维的特点是以抽象的概念、判断和推理作为思维的基本形式，以分析、综合、比较、抽象、概括和具体化作为思维的基本过程，从而揭露事物的本质特征和规律性联系。抽象思维既不同于以动作为支柱的动作思维，也不同于以表象为凭借的形象思维，它已摆脱了对感性材料的依赖。
2.2 逻辑思维能力的作用及基本形式
　　逻辑思维能力的作用表现在：有助于我们正确认识客观事物；可以使我们通过揭露逻辑错误来发现和纠正谬误；能帮助我们更好地去学习知识；有助于我们准确地表达思想。
逻辑思维的基本形式则包括概念、判断、推理。
概念是通过对认识对象特有属性的反映所指对象的思维形式，其表现形式相当于语言中的词语和词组。判断是对认识对象的情况有所断定的思维形式，它是由概念联结而成的，表现形式相当于语言中的句子。推理则是根据一些判断而得出另一个判断的思维形式，它是判断与判断的联结、过渡，相当于语言中“因为”和“所以”之间的语句关系。
3 数学教学中学生逻辑思维能力的培养
要培养学生的逻辑思维能力，就必须把学生组织到对所学教学内容的分析和综合、比较和对照、抽象和概括、判断和推理等思维的过程中来。
中学生学习数学的主要能力就是逻辑思维能力。培养逻辑思维能力是中学数学教学的主要目的之一。重视培养学生的逻辑思维能力是提高教学质量的重要条件。因此我们在教学过程中应重视学生逻辑思维能力的培养，让学生在思维过程中正确运用各种思维形式，即概念、判断和推理，遵循思维的规律，保证思维的确定性、一贯性和不矛盾性，使学生凭借已有的知识，合乎逻辑地获得新知识，教师在数学课的教学中，也应把起码的形式逻辑知识和辨证逻辑知识贯穿其中。以形式逻辑知识为主，兼顾一点辨证逻辑知识。通过逻辑思维教学，使学生深刻地揭示概念、判断、推理的本质，从而提高学习效率。
3.1 在代数教学中培养学生的逻辑思维能力
数学中的逻辑思维能力是根据正确的思维规律和思维形式，对数学对象的属性进行分析综合、抽象概括、推理证明的能力。而逻辑思维能力的培养直接体现在推理论证能力上。在代数教学中，数、式、方程的运算是重点，其中在运算过程中要求步步有理、有据，否则就无法进行，每一步的依据是什么呢？无非就是已知的定义、定理、性质、法则、公式等。整个运算过程就是一个逻辑推理的过程。所以我们要加强对学生的逻辑思维能力的培养。
3.1.1 加强概念的理解，奠定判断和推理基础
让学生理解概念的本质，掌握知识的逻辑联系。比如在学习方程概念的时候，把数、字母、代数式、等式、方程概念之间的逻辑联系和本质特征概括:
数 + 字母 → 代数式 → 等式 → 方程。
这种图示法，在教学中坚持运用，不仅可以使学生掌握概念的本质特征，而且有助于学生学会从整体上去认识知识之间的逻辑联系的方法，也能帮助学生形成和建立科学的认知结构。
在概念教学中要重视感性认识，从具体到抽象。比如，在讲解负数时很多学生对负数的概念很难理解，负数概念教学也是教学中的难点。这时可以举两个实例来帮助理解，可利用温度和海拔高度来引入。把冰的融化温度定为0℃，比0℃高5摄氏度记作5℃，比0℃低5摄氏度记作-5℃；规定海平面的高度为0米，比海平面高8848米记作8848米，比海平面低155米记作-155米。自然地，把大于0的数叫做正数，在正数前面放有个“-”号的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数。这样学生对正负数的理解就轻松多了。然后再向学生指出收入与支出、上升与下降等这一类似的成对出现的“具体相反意义的量”，都可以用正、负数或0表示。这样不仅可以帮助学生理解正负数的意义和应用，并且还进一步培养了学生的抽象思维能力。
然而在学习概念时，有一部分学生并没有真正的理解概念的意义，而是根据老师的要求将其一字不漏的背下来，没有真正的理解它的内涵及外延，不从定义的实质出发去思考问题，而是从形式上观察作出判断，如对有理数的概念，不少学生能背诵或默写其定义：“整数和分数统称有理数”。但在做题的时候却总是出错，比如判断:0、-1、-3.2、0.5、8是不是有理数时，很多同学就弄不清楚了，这时教师可以引导加强理解，全面、正确的掌握有理数的四种不同分类：
○1 正整数 ○2负整数
○3 正分数 ○4负分数
这样就有助于学生明确有理数概念的内涵和外延，而且为判断推理奠定了基础。
3.1.2 利用判断练习，培养学生的判断能力
判断是思维的基本形式。解题中要作出正确的判断并不是一件容易的事。这就要求在解每一道题的时候，事先必须进行周密的思考。仔细观察，找清运算依据，进行多方面思考。是否与客观现实相符合。比如在解应用题中，要求计算有多少个人的时候，有些学生由于计算错误得出几分之一个人的情况，这是明显的错误。这时就可以判断此题在解题时可能出错了。
例1：问：-和- 哪个大？有些学生可能就凭感觉二选一了，这时我们就要启发学生进行分析（分析：要比较两个负数的大小，实质上就是比较其绝对值的大小，这一推理思路。）因为- 、-都是负数，-＜-，所以-＞- 。
评：这看起来是一道判断题，但是具有很强的逻辑性，这对培养学生的逻辑思维有极大的帮助。对这种题不断练习，学生就可以很快、很准的作出判断。这样学生不仅掌握了知识，培养了判断能力，而且还培养了逻辑思维思维能力。
3.1.3 在法则、性质、公式的教学中培养学生的逻辑推理能力
逻辑推理能力是逻辑思维能力的核心，数学中的逻辑思维能力是根据正确的思维规律和思维形式，对数学对象的属性进行综合、抽象概括、推理证明的能力。而逻辑思维能力的培养直接体现在推理论证能力上。
3.1.3.1 在学习法则、性质中培养学生逻辑推理能力
课本中不少法则、性质的推导都是培养逻辑推理的极好材料。
例2：同底数幂的乘法性质的推导，先从底数、指数都是具体的数，根据幂的意义和乘法计算法则，让学生自然得出结论；联想到这是底数是一般的字母的情况；然后再到底数和指数都是字母表示数，引导学生用类比推理的方法证明，再让学生观察这个式子，归纳得出结论。并要求学生正确的用语言表述性质：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加。”最后再把推广到：
○1三个或三个以上的同底数幂乘法；
○2底数 是单项式或多项式的情形。
这个过程的推导过程是一个从特殊到一般，从具体到抽象，有层次地逐步进行概括、归纳、抽象的过程。是培养学生抽象概括能力和逻辑推理能力的过程。而用语言叙述性质，可以提高学生运用数学语言进行表达的能力。性质的对比、推广，既使学生对性质深刻理解，又发展了学生的思维能力。
3.1.3.2 灵活运用公式培养学生逻辑推理能力
在因式分解的教学中，导出公式并不难，可是在具体的题中运用公式时学生就犯愁了。掌握公式的结构和公式中字母的含义，正确地运用公式，既能提高运算能力，也能培养学生的逻辑思维能力。
例3：如导出公式后，对比分析等号两边的结构特征：左边是两数和的平方；右边是二次三项式，首末两项是两数的平方和，中间一项是加上这两数积的2倍。公式中的、可以是具体的数、或字母、或一般代数式。然后用面积示意图，图3.1

评：这样使学生更直观、更深刻地理解公式。并且数形结合又有利于学生空间想象力的形成和发展。运用公式时，如计算，先把看作公式中的，看作公式中的，原式=。
逆用公式也可以培养学生的灵活思维。
例4：计算
解：原式= （逆用）
=（平方差公式）
= （完全平方公式）
3.1.4 重视解题教学是培养学生的逻辑思维能力的有效方法
3.1.4.1 发现隐含条件，培养学生正向思维能力。
教师在教学中要引导学生积极的思维，并且有多种思维方式，从已知条件推出所证的结果，这是数学教学的基本思维方法之一。
例5：为何值时，方程=0 有两个实根？学生求解时，一般都是这样解：由题意得△＝≧0，∴≧-4。这样的解答正确吗？不难发现，它是错的。因为此题虽未明确指出方程是二次方程，但要求的是方程有两个实根时的值，故二次项系数≠0，这是因为=0时，方程变为一元一次方程，仅有一个解，故本题的解为≧-4 且≠0，这说明应用一元二次方程定义时，不能忽视其附加条件≠0，一元二次方程有两实根的条件应该是≠0且△≧0。
例6：知: ， 是方程-(-2)+( +3+5)=0的两个实根，求+的最大值。
学生可能会这样解：因为、是方程的两个实根，
所以根据韦达定理：+=-2，=+3+5，
+=(+)-2=(k-2)-2-6-10=-k-10-6= -(+5)+19
当k=-5时+的最大值为19。这时，教师应启发学生思考当=2程有实根吗，此题必须保证方程有实根的情况下求解，在这里不要忽略了方程的判别式，
△＝b²-4ac=0-15〈0，不成立。所以+的最大值为19。
3.1.4.2培养学生逆向思维
与通常由条件推知结论的思维相反，先给出某个结论或答案，再去找使之成立的条件，这种思维不仅可以加深知识的理解，而且还能发现一些新规律，引起学生的兴趣和思考。逆向思维，对培养学生积极、主动、独立和创造性思维很有价值。已知
例7：已知，，均为锐角，求，的值。
学生首先考虑“角”要统一化：“异角”化“同角”，然后通过三角恒等变形，得出，提取等式左边因式，或再化为，至此，转化目的没有成功，陷入困境，无法求出的值。
逆向思维：由于本题求两个未知数 的值，但条件给出只有一个方程，无法求解。“退”，一般应有两个方程，才有确定的解，或者是具有某种“特定”形式。为此，观察上述已化简式子，发现一个以为未知数的二次方程；“进”，循此思路可化为

在数学教学中，“解题”是一种最基本的活动形式，无论是数学概念的形成、数学命题的理解、数学方法与技巧的掌握，还是学生能力的培养与发展，都要通过解题活动来完成。同时“解题”也是评价学生认识水平的重要手段。波利亚说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”，“掌握数学就意味着解题”。能否正确的解题其中逻辑思维能力起着关键的作用。
3.2 在几何教学中培养学生的逻辑思维能力
逻辑思维能力的关键就是培养学生的逻辑推理能力，其途径不外乎就是通过定理的教学、解答例题的教学和学生解答习题这几个方面。比如：使学生在命题的证明中填注理由，定理教学中，在老师的启发引导下，充分让学生自己积极思考，以寻求证明思路，这是首要的培养学生逻辑推理能力的措施。包括分析法（要什么、有什么、缺什么、补什么）和综合法（从已知条件入手，通过逻辑推理，最后得到结论，即由因导果）的推理方法的运用。此外在教学中，不论是定理教学，还是在解答论证题的教学中，必须采用先作口头论证，而后写出“证明”，这是培养他们按照逻辑顺序思考的能力的措施。
要使学生掌握各种推理方法，虽然有些定理可以用直接法来证明，但在教学中，在学生可接受的前提下，有的定理也可用间接法来证明。比如：在三角形的教学中，“大边对大角”和“大角对大边”这两个定理的证明，都是用的直接法。其实也可用间接法推证。
例7：以“大边对大角”定理为依据，证明“大角对大边”定理：
如图3.2

在△ABC中，∠A〉∠B，求证BC〉AC
假定BC≯AC,则BC=AC或BC〈AC
若BC＝AC，根据等腰三角形定理，则必∠A =∠B，此与已知条件不合，
若BC〈AC，根据三角形中大边对大角定理，则必∠A 〈∠B，仍与已知条件不合，
因而BC〉AC,
同样，也可根据“大角对大边”定理，证明“大边对大角”定理，
但应注意的是使学生明确两定理不能同时互为依据地用间接证法来推证。
3.2.1 在平面几何中培养学生的逻辑思维能力
学中，有计划的培养学生的逻辑思维能力，对培养学生独立分析问题、解决问题的能力、提高教学质量，有着极其重要的作用。平面几何是初中的教学重点。很多学生面对题目却无从下手。有的心里明白但说不清楚；有的证明过程烦琐，逻辑上缺乏严谨。而真正能做到思维合理，推理论证正确的则为数不多。其主要原因就是逻辑思维和逻辑推理不到位。学生在学习不仅是学知识更重要的是学知识的方法。所以必须培养他们思考问题的方法——逻辑思维。
例8：如图3.3，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE＝PA，，PD＝1，BD＝8，求线段BC的长．

A
P
C
B
E
D

解 由切割线定理得 PA＝3．
根据弦切角定理 得．
又因为 PA＝PE，所以PA＝PE＝AE＝3，ED＝2，BE＝6．
由相交弦定理得 EC=4．
在三角形BEC中，根据余弦定理的BC＝．
评：此题是中考中典型的证明题。看起来很复杂，但是实际上就是考了学生对余弦定理的掌握和是否能正确的运用逻辑推理。
3.2.2 在立体几何中培养学生的逻辑思维
3.2.2.1注意直观演示，发展空间想象力
展学生的逻辑思维能力是教学立体几何的重要任务
几何，起码要懂得把事物、模型、图形联系起来。因此，在教学中要注意让学生自己去观察、摆弄和制作空间图形的模型，由实物、模型化出图形，再由图形想象出模型、实物，这对培养学生的想象能力发展空间观念有着重要的作用。有时，对某一形象难于领会，通过简单的演示，也会一目了然了。
例9： 垂直于平面内一条直线的直线是否一定垂直于这个平面？
图3.4

让学生拿出三角板，如图3，把一直角紧靠桌面进行旋转，引导学生观察在旋转过程中另一条直角边始终和桌面内的直角边保持垂直，但并不能保证和桌面都垂直，所以垂直于平面内一条直线的直线不一定垂直于这个平面。
例9可看出，适当的直观演示，不仅能帮助学生领会数学知识，而且也培养了学生的空间想象能力。
3.2.2.2 培养学生的语言表达能力
把问题表达得准确、明了，要求语言准确、精练，文字叙述要恰到好处，写每一个字都要规范化。对一些常用的关键词如：“如果…那么”，“设…则…”，“因为…所以…”；“因为…，又…”，等等，要用得恰当，这样才能分清什么是条件什么是结论。
对于证明题要分清步骤，逐步证明。具体做法是，一道作图题或证明题，先画一个草图，再作分析，然后口述作图步骤或证明过程。因为口述一个“过程”，不但要有语言表达能力，还必须有一定的分析能力和综合能力，经常进行口述训练，对作图和证明就会逐步熟练，对解决某一个问题的思路也会逐步清楚。
3.2.2.3 根据题意，创设已知条件
当题目已知条件较少时，往往需要添置一些辅助线和辅助平面来创造已知条件，而且这些创造的已知条件又是解题的关键。
例10： 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么，这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC在平面a内，点PaÏ，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥a ，垂足分别是E、F、O，PE=PF
求证：∠BAO=∠CAO
图3.5

分析：如图3.5，根据角平分线定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，即原题只要证出：OE=OF，且OE⊥AB,OF⊥AC，就得出∠BAO=∠CAO
证明：作辅助线，连接OE，OF
在△PEO和△AEO中，因为PE⊥AB ，EO是公共线，O是垂足，又PO⊥a ， 所以 OE⊥AB（三垂线定理）
同理可证：OF⊥AC ，所以OE=OF,即：点P的射影O点在∠BAC的平分线上。
所以∠BAO=∠CAO。
评：要正确的证明此题不仅要求对角平分定理和三垂线定理的掌握，更重要的是有较强的逻辑思维将知识点运用到证明过程中。
3.3 沟通不同部分知识之间的联系，开拓学生的思维能力
不同部分知识内容之间，往往有着科学的内在联系，能发现他们并能正确的运用他们来分析问题和解决问题，可使一些问题化难为易，也有利于引起学生的学习兴趣。拓宽学生的思维视野。逐步培养学生的发散思维、逻辑思维及创新思维。
3.3.1 列方程解应用题培养学生的逻辑思维
例11：有个二位数，个位数字比十位数字大，此数与数字和的乘积是，求此数
解法1：设个位数字为，则十位数字为 ，则，
解之，则此数为。
解法2：如果求什么，就设什么，那么方程不易列，也不容易解。
设这个数为，那么=数字和，
十位数字=，个位数字=，
这样列出方程 。
由此可见，未必所求即所设就容易，还要具体问题具体分析，当存在两种解法时，我们认为列方程、解方程较好的方法。在确定等量关系时，为了便于计算，一般用和比用差好，用积比用商好。此外任何列方程组的问题，都可以用列一元一次方程来解。有时候，题中不能直接设未知量，可先设间接未知量，求出间接未知量再列方程。在分析问题的时候，有时候为了帮助发现数量关系，还可以采用一些辅助的方法，如表格法，图示法等等。这些都有助于培养学生的逻辑思维。
3.3.2 代数在几何中的应用
例12： 如图3.6，三角形ABC中角平分线BD、 CE分别交对边于D、E两点，且BE=CD，求证三角形ABC是等腰三角形
图3.6

此题如果用纯几何方法证明起来有些麻烦，不妨改用代数方法。
证明：因为BD平分∠ABC，所以BC:CD=BA:AD，
同理CE平分∠ACB，得BC:BE=AC:AE ，
又BE=CD
于是有BA:AD= AC:AE，
因为∠A为公共角 ，所以△ABD与△AEC相似，
即∠ABD=∠ACE，∠ABC=∠ACB
所以AB=AC。
3.3.3 向量在几何中的应用
将几何综合推理和向量代数运算推理有机地结合起来可以发展学生的智力、培养学生的能力，使他们的思维活动开辟地更广阔。向量运算，可有效地揭示空间（或平面）的图形的位置和数量关系。由定性研究变为定量研究，是数形结合思想的深化和提高。也是培养学生逻辑思维能力的有效方法。
例13： 如图3.7，三角形ABC为等边三角形，圆O为三角形的内接圆，P为圆上一点。求证，P到A,B,C三点距离的平方和为定值。

证明：

因为、、、为定值，所以得证。
评：此题要求学生具有较强的逻辑思维能力。

3.3.4 将数学知识运用到实际生活中培养学生的逻辑思维能力
例14：小强家住在农村，十月一日，国庆节放假回家，正赶上父亲收割庄稼，由于今年大丰收，粮食太多，自己家的谷仓已经全部装满，还剩下很多。这时爸爸想出了一个注意，决定用一个长方形木板，借助两面墙，在西屋的墙角处围了一个直三棱柱的谷仓，木板可立，可横。小强心想，这么多的粮食，怎样围才能装最多的粮食呢？经过测量和运算，小强得到了满意的方案。向父亲提供了建议。小强是怎么作的呢？如果换成任意的两面墙，如何处理？
分析:显然，围成直三棱柱的底面为直角三角形，若两直角边分别为和，则 是长方形木板的长和宽（定值）的平方。这样，这个问题就主要体现在均值不等式的应用上。
假设小强用直尺测出木板的长为，宽为，依题意可知：＞＞0，且两墙的夹角（即二面角）为直角。
(1)作底边，设为底面直角三角形的面积，两直角边一个是，一个是，
则有：，，且 ，
因为，所以，
即，当且仅当时取“=”号。
（2）作底边，同（1）可得 ，当且仅当 时取“=”号。
又因为＞＞0，所以＞0, ＞0，
又，所以
即，
故把长方形木板的长边放在底面，且围成的直三棱柱的底面是等腰直角三角形时容积最大。
评:在实际生活中遇到类似的数学问题还很多。运用数学知识解决实际问题，不仅能培养学生逻辑思维能力、解决实际问题的能力，而且能够培养学生的学习兴趣。

4 总结
本文主要从代数教学、几何教学和沟通不同部分知识之间的联系三方面来研究，然而，逻辑思维能力的培养并不是一朝一夕的事，有多种渠道多种方法。只要我们掌握了一定的基础知识，并能够注意观察审题，准确找到题目中的解题信息，然后进行综合分析，形成正确的逻辑思维就是很自然而然的、水到渠成的事情。当然在教学中培养学生的逻辑思维能力除了在一些方法上和技巧上加强训练外，还应多启发学生多想、多练、多问，并开展多种形式的讨论，这有利于培养学生进行逻辑思维的习惯。只有注意培养数学逻辑思维能力，才能形成正确的解题方法和解题技巧，才能真正从繁琐复杂的数学题海中解脱出来，只有经过训练、培养，形成正确的逻辑思维方式方法，才能做到以不变应万变，才能在解数学综合题中做到“游刃有余”。随着教育改革的不断深入，更要重视学生综合能力的培养，数学教育只有使学生在思维能力、情感态度与价值观等方面得到可持续的提高和发展。才能实现“人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展 ”的目的。只有这样，我们才能真正做到“授人以渔”而不是“授人以鱼”。

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致 谢

四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。 伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师杨红老师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导，经由您悉心的点拨，再经思考后的领悟，常常让我有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。
感谢我的爸爸妈妈，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚谢意！
同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境。
最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。

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