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三角函数与平面向量.doc
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三角函数与平面向量 一、高考回顾: 江苏近四年高考三角函数与平面向量的试题,一般是两到三个小题和一个大题;解答题一般都为基础题,处在送分题的位置;而在两个到三个小题中,08年和09年有一个较容易,而另一个为中档题,2010年15,17题出了两个有关三角函数和向量的解答题,且位置靠前,所以填空题的难度相对加大,但整体得分与往年相比没有大的变化.2011年第7、9、10题分别考查了三角求值,和向量共线问题,解答题15题考查解三角形。从近四年高考命题来看,平面向量的数量积,正余弦定理的运用,三角函数的图象和性质,尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、特征分析(对称轴、对称中心)和三角函数式的恒等变形等仍是命题热点. 命题趋势预测 预计2012年高考本专题的命题方向是: ①考小题,重在基础:有关三角函数的小题,其考查的重点在于基础知识:解析式、图象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)以及简单的三角变换(求值、化简及比较大小).有关平面向量的小题,其考查重点仍会是数量积及相关运算. ②考大题,重在本质:有关三角函数和平面向量的大题即解答题,通过公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了,而是考查基础知识、基本技能和基本方法 ③考应用,融入三角形之中:这种题型既能考查解三角形的知识与方法,又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能,故近年来倍受命题者的青睐.主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正(余)弦定理、面积公式等,并结合三角公式进行三角变换,从而获解. ④考综合,体现三角向量的工具和传接作用:由于近年高考命题突出以能力立意,加强对知识综合性和应用性的考查,故常常在知识的交汇点处命题.因而对三角向量有时会综合在一起来考查.但与其他知识交汇的可能性不大 二、基础训练 1、(2010·全国卷Ⅰ理科·)记,那么 2、若△的三个内角满足,则△为 三角形 钝角三角形 3、(2010·辽宁)设ω>0,函数y=sin+2的图象向右平移个单位后与原图象重 合,则ω的最小值是 4、(2009 ·湖南)设函数。若是奇函数,则__________。φ=. 5、已知正实数a,b满足 。 6、设为常数(),若 对一切恒成立,则 . 三、典型例题 题型一:三角函数的概念及相关公式考查 例1:(2010、上海)如图在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆交于A、B两点,已知A、B的横坐标分别为、. (1)求的值; (2)求tan(α+β)的值; (3)求α+2β的值 变式练习;(1)、 ,则= (2)、已知,,则等于 . (3)、已知两个条件,条件甲:; 条件乙:.则甲是乙的 条件. 题型二:三角函数的图像与性质考查 例2、已知函数,. (I)设是函数图象的一条对称轴,求的值. (II)求函数的单调递增区间. 变式练习;1、(全国新课标理11)把函数的图象向左平移的单位,所得到的函数为偶函数,则的最小值是 2、(安徽理9)已知函数,其中为实数,若对恒成立,且 ,则的单调递增区间是 3、函数向右平移个单位后与原图关于轴对称,则正数的最小值为 4、函数向右平移个单位后与原图关于轴对称,则正数的最小值为 题型三:三角函数的实际应用 例3、如图,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2);赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°. (1)求A,ω的值和M,P两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长? 解 方法一 (1)依题意,有A=2,=3, 又T=,∴ω=. ∴y=2sinx. 当x=4时,y=2sin=3,∴M(4,3),又P(8,0), ∴MP==5. (2)在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5. 设∠PMN=θ,则0°<θ<60°. 由正弦定理得==, ∴NP=sin θ,MN=sin(60°-θ), ∴NP+MN=sin θ+sin(60°-θ) ==sin(θ+60°). ∵0°<θ<60°,∴当θ=30°时,折线段赛道MNP最长. 即将∠PMN设计为30°时,折线段赛道MNP最长. 方法二 (1)同方法一. (2)在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5, 由余弦定理得MN2+NP2-2MN·NP·cos∠MNP=MP2. 即MN2+NP2+MN·NP=25. 故(MN+NP)2-25=MN·NP≤2, 从而(MN+NP)2≤25,即MN+NP≤. 当且仅当MN=NP时等号成立. 即设计为MN=NP时,折线段赛道MNP最长. 题型四:三角函数的综合应用 (2010、安徽)设函数,, 其中,将的最小值记为. (I)求的表达式; (II)讨论在区间内的单调性并求极值. 解:(I)我们有 . 由于,,故当时,达到其最小值,即 . (II)我们有. 列表如下: 极大值 极小值 由此可见,在区间和单调增加,在区间单调减小,极小值为,极大值为 已知向量m=(sin,1),n=(cos,cos2). (1)若m·n=1,求cos(-x)的值; (2)记f(x)=m·n,在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(2a-c)cos B=bcos C, 求函数f(A)的取值范围. 解 (1)m·n=sincos+cos2=sin+·cos+=sin(+)+. 又∵m·n=1,∴sin(+)=. cos(x+)=1-2sin2(+)=, cos(-x)=-cos(x+)=-. (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A,且sin A≠0. ∴cos B=,又∵0<B<π,∴B=.∴0<A<. ∴<+<,<sin(+)<1. 又∵f(x)=m·n=sin(+)+, ∴f(A)=sin(+)+. 故函数f(A)的取值范围是(1,). 题型五:三角形与三角函数、平面向量 1、是的 心 2、为的 心. 3、为的 心. 4、为的 心。 5、是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则点的轨迹一定通过的 心. 6、是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则点的轨迹一定通过的 心. 7、是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则点的轨迹一定通过 的 心. 8、是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则点的轨迹一定通过 的 心. 设,,是三角形的三条边长,O是ABC的内心 为的内心. 证明:分别为方向上的单位向量, 平分,),令 ()化简得 △ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且.(1)求cotA + cotC的值;(2)设,求a + c的值. 解:(1)由得,由b2 = ac及正弦定理得sin2B = sinAsinC.于是==. (2)由,得ca·cosB =,由,可得ca = 2,即b2 = 2. 由余弦定理b2 = a2 + c2 – 2ac·cosB得: a2 + c2 = b2 + 2ac·cosB = 5,(a + c)2 = a2 + c2 + 2ac = 5 + 4 = 9,a + c = 3. 已知函数 (I)求函数的最小正周期和单调递减区间; (II)求函数在上的最大值和最小值并指出此时相应的x的值。 【思路分析】先对函数表达式利用二倍角公式,诱导公式或两角和与差的正余弦公式进行恒等变形,把它化成仅含一个三角函数,然后对照正弦函数相应的性质处理。 解:(I) 所以 由得 所以函数的最小正周期为 (II)由(I)有 因为 所以 因为 所以当取得最大值2 【解后反思】此类问题在处理过程中,把函数式化为仅含一个三角函数是关键。 (2010江苏卷13)、在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,,则=________。 解: = ,则= 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)·tan B=ac,则[来源:学科网] 角B的值为 .或 A. B. C.或 D.或 解析:∵(a2+c2-b2)tan B=ac,[来源:Zxxk.Com] ∴·tan B=,即cos B·tan B=sin B=. ∵0<B<π,∴角B的值为或. 答案:D 满足条件AB=2,AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是________. 解析:设BC=a,则AC=a,由AB=2,可得 解之得2-2<a<2+2, 又cos C==, 得sin C=, ∴S△ABC=a×asin C= =, ∵a2∈(12-8,12+8), ∴当a2=12,即a=2时,△ABC的面积最大,即S△ABC最大值==2. 答案:2 9.(2009 ·湖南)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于________,AC的取 值范围为________.[来源:Zxxk.Com] 解析:由正弦定理=, 则===2. 由A+B+C=π得 3A+C=π,即C=π-3A. 由已知条件: ,解得<A<. 由AC=2cos A知<AC<. 答案:2 (,) .(2010·浙江)已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°, 则|α|的取值范围是________. 解析:如图,数形结合知β=,α=,|AB|=1,C点在圆弧上运动,∠ACB=60°, 设∠ABC=θ,由正弦定理知=,∴|α|=sin θ≤,当θ=90°时取最 大值. ∴|α|∈. 答案: 向量m=(sin ωx+cos ωx,cos ωx)(ω>0),n=(cos ωx-sin ωx,2sin ωx),函数f(x) =m·n+t,若f(x)图象上相邻两个对称轴间的距离为,且当x∈[0,π]时,函数f(x)[来源:Zxxk.Com] 的最小值为0. (1)求函数f(x)的表达式; (2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cos B+cos(A-C),求sin A的值. 解:(1)f(x)=m·m+t=cos2ωx-sin2ωx+2cos ωx·sin ωx+t=cos 2ωx+sin 2ωx+ t=2sin(2ωx+)+t. 依题意f(x)的周期T=3π,且ω>0,∴T===3π. ∴ω=,∴f(x)=2sin+t.∵x∈[0,π], ∴≤+≤, ∴≤sin≤1, ∴f(x)的最小值为t+1,即t+1=0,∴t=-1. ∴f(x)=2sin-1. (2)∵f(C)=2sin-1=1, ∴sin=1. 又∵∠C∈(0,π),∴∠C=. 在Rt△ABC中, ∵A+B=,2sin2B=cos B+cos(A-C), ∴2cos2A=sin A+sin A,sin2A+sin A-1=0. 解得sin A=. 又∵0<sin A<1, ∴sin A=. 设函数。若是奇函数,则__________。 解析:,则= 为奇函数,∴ φ=. 变式:已知,设,且 ,记 (1)求的解析表达式; (2)若是三角形的最小内角,试求函数的值域。 【课堂训练】 (1)、求值=____________ (2)、已知,则 (3)、已知正实数a,b满足 。 *思考题:已知,其中,为参数且,若是一个与无关的定值,试确定其中的参数的值 2010·全国卷Ⅰ理科)记,那么 【命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,着重考查了三角变换中的弦切互化. 若△的三个内角满足,则△为 三角形 例2.已知,与的夹角为,有 (1)求 (2)设,且,,其中是的内角,若A,B,C依次成等差数列,求的取值范围。 (1)、或 (2) 在中,角、、所对的边是,且 (1)求的值; (2)若,求面积的最大值. 答案:(1). . (2)由, 得 . ,(当且仅当时取“=”号). . . 故面积的最大值为. 变式.在中,,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)设的面积,求的长. 解:(Ⅰ)由,得, 由,得. 所以. (Ⅱ)由得, 由(Ⅰ)知, 故, 又, 故,. 所以. (安徽)设函数,, 其中,将的最小值记为. (I)求的表达式; (II)讨论在区间内的单调性并求极值. 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题的综合能力.本小题满分14分. 解:(I)我们有 . 由于,,故当时,达到其最小值,即 . (II)我们有. 列表如下: 极大值 极小值 由此可见,在区间和单调增加,在区间单调减小,极小值为,极大值为 已知函数,. (I)设是函数图象的一条对称轴,求的值. (II)求函数的单调递增区间. 解:(I)由题设知. 因为是函数图象的一条对称轴,所以, 即(). 所以. 当为偶数时,, 当为奇数时,. (II) . 当,即()时, 函数是增函数, 故函数的单调递增区间是(). .在中,内角对边的边长分别是,已知,. (Ⅰ)若的面积等于,求; (Ⅱ)若,求的面积. 本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识的能力. 解:(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,, 又因为的面积等于,所以,得. 联立方程组解得,. (Ⅱ)由题意得, 即, 当时,,,,, 当时,得,由正弦定理得, 联立方程组解得,. 所以的面积. 已知的面积为,且满足,设和的夹角为. (I)求的取值范围; (II)求函数的最大值与最小值. 本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识,考查推理和运算能力. 解:(Ⅰ)设中角的对边分别为, 则由,,可得,. (Ⅱ) . ,,. 即当时,;当时,. △ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)设的值。 13.解:(Ⅰ)由 由b2=ac及正弦定理得 于是 (Ⅱ)由 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得a2+c2=b2+2ac·cos B=5. (2009·海南、宁夏卷)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则 f= A.0 B.1 C.2 D.[来源:Z|xx|k.Com] 解析:由图象知最小正周期T==, ∵f=0,∴f=0,又=, ∴f=f=f=0. 答案:A (2010·辽宁)设ω>0,函数y=sin+2的图象向右平移个单位后与原图象重 合,则ω的最小值是 A. B. C. D.3[来源:学科网] 解析:y=sin+2y1 =sin+2,[来源:学_科_网][来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:学.科.网] 即y1=sin+2, 又y与y1的图象重合, 则-ω=2kπ(k∈Z), ∴ω=-k,又ω>0,k∈Z, ∴k=-1时ω取最小值为.故选C.[来源:学科网ZXXK] 答案:C (2011年江西理17题)在中,角、、的对边分别是,,,已知. (1)求的值; (2)若,求边的值. 【解析】(1)由已知得,即 ,由得 即,两边平方得: (2)由知,则,即,则由得 由余弦定理得,所以 例4、(2011年全国卷Ⅱ17题)已知△ ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若A-C=90°,a+c=,求C. 解:由a+c=及正弦定理可得:sinA+sinC=,由于A-C=90°, B=180°-(A+C),cosC+sinC=sin(A+C)= sin(90°+2C)= cos2C 即cos2C=cos(45°-C) 因为0°<C<90°所以,C=15°. (2010江苏卷13)、在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,,则=________。 解: = 设函数,其中,则导数的取值范围是 A. B. C. D. 答案 D (2009江苏卷) 设向量 (1)若与垂直,求的值; (2)求的最大值; (3)若,求证:∥. 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分14分。 20- 配套讲稿:
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