高考数学一轮复习文档 学生用书 第9章.pdf
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1、第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程最新考纲1.在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.考向预测考情分析:直线方程单独考查较少,与圆的方程、圆锥曲线方程结合考查是高考的热点,各种题型都有.学科素养:通过直线的倾斜角、斜率、方程的求解考查数学运算的核心素养;通过直线 方程的综合应用考查直观想象的核心素养.积累必备知识基础落实赢得良好开端一、必记4个知识点1.直线的倾斜角定义两种情况范围:直线的倾斜角a
2、的取值范围是:.2.直线的斜率条件公式直线的倾斜角0,且6/90。k=_ _ _ _ _ _ _ _直线过点A(%i,yi),B(X2,刃)且1W%2k=_ _ _ _ _ _ _ _直线 Ar+3 y+C=0(BW0)k=_ _ _ _ _ _ _ _3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含直线%=%0斜截式不含垂直于入轴的直线两点式=不含直线和直线y 1302)截距式=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面内所有直线都适用提醒“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距 离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.4.线段的中点坐标公式若点Pi
3、,尸2的坐标分别为(为,yi),3,),线段PPi的中点M的坐标为(%,y)则f c,“此公式为线段尸1尸2的中点坐标公式.二、必明2个常用结论1.直线倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角,但不一定都有斜率.(2)不是倾斜角越大,斜率攵就越大,因为攵=t an a,当。a越大,斜率左就越大,同样,时也是如此,但当a0,兀)且aW 时就不是了.2.特殊直线的方程直线过点尸1(阳,1),垂直于入轴的方程为=为;(2)直线过点Pi(%i,yi),垂直于y轴的方程为y=yi;(3)y轴的方程为=0;(4)%轴的方程为y=0.三 必练3类基础题(一)判断正误1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“或“
4、义”).(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(2)过点M(a,b),N(b,a)(aW3的直线的倾斜角是45。.()(3)直线的倾斜角越大,斜率女就越大.()(4)经过点P(%o,泗)的直线都可以用方程yyo=Z(%一%o)表示.()(5)经过任意两个不同的点尸i(%i,yi),Pz(X2,竺)的直线都可以用方程(jyi)(%2-%i)=(%-xiX”-yi)表示.()(二)教材改编2.必修2-P95习题丁2改编直线/:%sin3()o+yc o s 150。+。=0的斜率为()A.3 B.5坦C.-百 D.-33.必修2196例4改编已知5c的三个顶点坐标为A(l,2),3(
5、3,6),C(5,2),M 为A8的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为()A.2%+y-12=0 B.2x-y-12=0C.2%+厂8=0 D.2xy+8=0(三)易错易混4.(混淆倾斜角与斜率的关系)若直线=2的倾斜角为a,则a的值为().A.0 B.4.C.2 D.不存在5.(忽视斜率与就距对直线的影响)如果4CV0,且8CV0,那么直线Ar+8y+C=0 不经过第 象限.6.(忽视越距为0的情况)经过点尸(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为提升关键能力考点突破掌握类题通法 考点一直线的倾斜角与斜率基础性1.直线/:%+gy+1=0的倾斜角的大小为()A.30 B.
6、60C.120 D.1502.设直线/的方程为X+yc o se+3=0(6R),则直线/的倾斜角a的取值范围是()A.0,K)B.M”c,。,引,。,9喏,引3.若点A(4,3),3(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为.4.直线/过点P(l,0),且与以A(2,1),8(0,百)为端点的线段有公共点,则直线/斜率的取值范围为.反思感悟解决直线的倾斜角与斜率问题的方法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的 单调性确定函数图象法根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可考点二直线的方程综合性例1(1)求过点A(l,3),斜率是直线=一4%的斜率的
7、 21的直线方程;求经过点45,2),且在入轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程.听课笔记:反思感悟求解直线方程的两种方法直接法根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程待定系 数法设所求直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式);由条件建立所求参数的方程(组);解这个方程(组)求出参数;把参数的值代入 所设直线方程提醒(1)选用点斜式和斜截式时,要注意讨论斜率是否存在.(2)选用截距式时,要注意讨论直线是否过原点,截距是否为。(3)选用一般式Ax+8y+C=0确定直线的斜率时,要注意讨论8是否为0.【对点训练】根据所给条件求直线的方程:(1)直线经过点尸
8、(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;(2)直线过点(5,10),到原点的距离为5.考点三直线方程的综合应用综合性角度1直线过定点问题例2已知R,写出以下动直线所过的定点坐标;若直线方程为y=H+3,则直线过定点;若直线方程为y=H+3 A,则直线过定点;(3)若直线方程为=竹+3,则直线过定点.听课笔记:反思感悟1.直线过定点问题,可以根据方程的结构特征,得出直线过的定点坐标.2.含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,即能 够看出“动中有定”.角度2与直线方程有关的多边形面积的最值问题例3过点P(4,1)作直线/分别交工轴,y轴正半轴于A,8两点.(1)当A03
9、的面积最小时,求直线I的方程;(2)当|OA|十|O用取最小值时,求直线/的方程.听课笔记:一题多变(变问题)若例3中条件不变,求当|M|.|同|取得最小值时直线/的方程.反思感悟与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题:先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不 等式求解最值.(2)求直线方程:弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.(3)求参数值或范围:注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单 调性或基本不等式求解.【对点训练】已知直线/:Ax-y+l+2A=0(AR).(1)证明:直线/过定点;(2)若直线不经过第四象
10、限,求2的取值范围;(3)若直线/交轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点3,ZSAOB的面积为5(0为坐标原 点),求S的最小值并求此时直线/的方程.第九章平面解析几何第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程积累必备知识、1.(2)0,7T)Tt f A2.t a n 0 3.yyo=k(xxo)y=kx-b Ax+By+C=Q,A2+B20*2 24.三、1.答案:(1)X X(3)X(4)X(5)J聒 i x r j2.解析:c o s 150。=一 z,sin 30。=2,所以攵=一 皿垢=一3答案:AZT3.解析:由中点坐标公式得M(2,4),N(3,2),则如n=3T=-2,所在直线的方程
11、为:y2=2(%3),即 2%+y8=0.答案:C4.解析:因为直线=2垂直于入轴,所以倾斜角a为答案:C5.解析:将Ax+8y+C=0化为y=一xAVA C 0,B C0,:.-B0.直线过一、二、四象限,不过第三象限.答案:三16.解析:当直线过原点时,方程为y=x.即%4丁=0.当直线不过原点时,设直 线的方程为X+=%,把点A(4,1)代入直线的方程可得左=5,故直线方程是+y5=0.答案:x4y=0 或 x+y5=0提升关键能力考点一L 理 立1.解析:由l:x+近y+l=0可得y=-ax-丁,所以直线1的斜率为k更T9立设直线1的倾斜角为a,则tan a 3,因为 0。忘01).又
12、 a0,7i),.aG9由上知,倾斜角的范围是答案:c3.解析:依题意得AC=5-36=1,kAB=a-35T=Q-3,由于A,B,C三点共线,所以 a3=1,即 a=4.答案:41T-5=0.(2)当直线斜率不存在时,所求直线方程为5=0;当直线斜率存在时,设其为鼠则所求直线方程为y10=-x5),即履一y+(105%)=0.|10-5.3由点到直线的距离公式,得 匹=5,解得=.故所求直线方程为3%4y+25=0.综上可知,所求直线方程为15=0或3%4y+25=0.考点三例2解析:(1)当x=0时,y=3,所以直线过定点(0,3);(2)直线方程可化为y=k(x+3),故直线过定点(-3
13、,0);(3)当y=0时,x=3,所以直线过定点(3,0).答案:(1)(0,3)(2)(-3,0)(3)(3,0)例3解析:设直线/:*因为直线/经过点P(4,l),所以 a=1.+-因为 、=122所以必216,当且仅当a=8,8=2时等号成立,所以当g=8,8=2时,ZSAOB的面积最小,此时直线/的方程为 8 z=l,即+4厂8=0.*+-C+4因为 b=l,40,b0,所以|OA|+|O3|=a+b=(a+。)”=5+;十竺b*29,当且仅当。=6,8=3时等号成立,所以当I0AI+I03 I取最小值时,直线/的方程为+2厂 6=0.一题多变解析:设A(d 0),8(0,与,则40,
14、Q0,直线/的方程为、=1,所以 B h=1.|M|.|词尸记.丽=一(。-4,1)-(4,/71)=4(q4)+b 1=4a+。-17=(4。+8)5匚T=16+1-1722X4=8当且仅当a=b=5时取等号,此时直线Z的方程为X+厂5=0.对点训练解析:(1)证明:直线/的方程可化为1(%+2)+(1y)=0,x+2=0*|x=-2i-y=,解得 I v=i.I.无论左取何值,直线总经过定点(-2,1).(2)由方程知,当上#0时,直线在轴上的截距为一i+ak,在y轴上的截距为1+2限1+A要使直线不经过第四象限,则必须有l+2k l,解得20;当2=0时,直线为y=l,符合题意,故左的取
15、值范围是0,+).解析:(3)由题意可知ZWO,再由/的方程,得A(W 0),3(0,1+2江依题意得芳V。.I 1+2k 0解得k0.S=2-oa-ob2 3X(2X2+4)=4,1 k-l+2k?l(4k+:+4)“=”成立的条件是20且4%=*,即=:Smin=4,此时直线I的方程为%-2y+4=0.第二节两直线的位置关系最新考纲。1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.考向预测考情分析:确定两条直线的位置关系,已知两条直线的位置关系求参数,求直线的交点 和点
16、到直线的距离,对称问题,过定点的直线系问题是高考考查的热点.往往和圆锥曲线综 合起来.题型多为解答题.学科素养:通过两直线位置关系的判定及应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养.积累必备知识基础落实赢得良好开端、必记3个知识点1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线小11,斜率分别为如kl平行k与22都不存在垂直k与攵2一个为零、另一个不存在注意在判断两条直线的位置关系时,容易忽视斜率是否存在,若两条直线斜率存在,则可根据条件进行判断,若斜率不存在,则要单独考虑.2.两条直线的交点方程组有唯一解直线/MX+5y+G=0与 C2=O 的公共点的坐标与方程组(
17、2+8/+。=0,的解一 1人必+8少+。2=0的廨一对应方程组无解方程组有无穷多解3.三种距离公式三种距离条件公式两点间的 距离A(x,y),B(xz,yi)AB=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _点到直线P(%o,yo)到直线 Ax-By-C=0 的距离为 dd=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的距离两平行线 间的距离直线 Ar+3 y+G=0 到直线 Ax+3 y+C2=0 的 距离为dd=_二、必明2个常用结论1.两个充要条件(1)两直线平行或重合的充要条件直线Zi:Ai%+Sy+Ci=O与直线Z2:4冰+&旷+。2=0平行或重合的充要条件是4
18、星 A2B10.(2)两直线垂直的充要条件直线/i:Aix+Biy+Ci 0 与直线 I2;Azx+&y+C2=0 垂直的充要条件是 AAz-BB2=0.2.六种常用对称关系(1)点(%,y)关于原点(0,0)的对称点为(一%,-).(2)点(%,y)关于入轴的对称点为(x,一y),关于y轴的对称点为(一,y).(3)点(%,y)关于直线y=%的对称点为(y,x),关于直线y=-%的对称点为(一y,一%).(4)点(%,y)关于直线的对称点为(2。一%,y),关于直线y=b的对称点为(%,2b-y).(5)点(%,y)关于点(a,份的对称点为(2a-%,2h-y).(6)点(%,y)关于直线%
19、+y=Z的对称点为(2y,k-x),关于直线y=Z的对称点为(女+y,%江三、必练4类基础题(一)判断正误1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“J”或“X”).(1)当直线/1和/2的斜率都存在时,一定有k产k2=lh.()(2)如果两条直线与/2垂直,则它们的斜率之积一定等于一1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(二)教材改编2.必修2-P109习题T3改编若直线mx3y2=0与直线(2m)x3 y+5=0互相平行,则实数力的值为()A.2 B.-1C.1 D.03.必修2T(n习题T2改编已
20、知点(a,2)(a0)到直线/:%+3=0的距离为1,则。的值为()A.M B.2-银C.短一1 D.迎+1(三)易错易混4.(忽视斜率不存在的情况)若直线(3。+2)%+(14a)y+8=0与(5a2)%+(a+4)y7=0垂直,则a=.5.(忽视平行线间宗数的对应关余)直线2x+2y+l=0,%+y+2=0之间的距离是(四)走进高考6.2020全国卷HI点(0,-1)到直线=%(%+1)距离的最大值为()A.1显B.C.5 D.2提升关键能力考点突破掌握类题通法考点一两条直线的平行与垂直基础性1.-4-1直线/i:y=o r与直线,2:2 3=1平行,则。=()A.B 一C.2 D.-22
21、.2022上海市长宁区延安中学高三月考“。=一1”是“直线以+(2。-1+1=0和 直线3%+冲+3=0垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.经过直线2xy=0与+y6=0的交点,且与直线2x+y1=0垂直的直线方程 为()A.x-2y8=0 B.x2y6=0C.%+2y10=0 D.%2y+6=0反思感悟由一般式确定两直线位置关系的方法考点二两直线的交点与距离问题综合性直线方程1:4x+3i y+G=W 0),2:A2X-B2yC2=0)/与/2垂直的充要条件AA2BB2=0/1与L平行的充分条件=丰(A232c 2W 0)1与,2相交的充分
22、条件#(A252 0)与12重合的充分条件=(A2&C2W O)角度1交点问题例1(1)已知点M(0,1),点N在直线-y+l=O上,若直线垂直于直线+2厂3=0,则点N的坐标是()A.(-2,-1)B.(2,3)C.(2,1)D.(-2,1)(2)经过两直线Q%-2y+4=0和加入+2=0的交点P,且与直线自3%4y+5=0垂直的直线I的方程为.听课笔记:反思感悟(1)求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程联立组成的方程组,得到方 程组的解就可以写出交点的坐标.(2)求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件 写出直线方程,也可借助直线系方程,利用待定系数法求出
23、直线方程.角度2距离问题例2(1)点(0,1)到直线3%4丁+1=0的距离为()2 3A.5 B.5C.5 D.1(2)已知直线Q=3%2,直线方6%2y+l=0,则6与七之间的距离为()渔 渔A.2 B.4瓜 瓜C.2 D.4(3)2022玉林市育才中学模拟入轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和的最小值 是()A.蜴 B.2+银C.亚 D.V3+1听课笔记:反思感悟1.点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式.2.两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的 距离;(2)利用两平行
24、线间的距离公式.【对点训练】1.已知三角形的三个顶点A(2,4),3(3,-6),C(5,2),则3 c边上中线的长为()A.V10 B.2 5C.11 的 D.3 府2.当点尸(3,2)到直线W%一丁+12根=0的距离最大时,加的值为()A.M B.0C.-1 D.13.已知直线y=H+2A+l与直线=一%+2的交点位于第一象限,则实数攵的取值范围是.考点三对称问题应用性角度1点关于点对称例3过点P(0,1)作直线/使它被直线小2%+y8=0和七:%3丁+10=0截得的 线段被点P平分,则直线I的方程为.听课笔记:反思感悟 点关于点邪的求I昉法若点M(X1,%)和点N(x,y)关于点P(a,
25、b)对称,则由中点坐标公式得f x=2a x5=力一为,进而求解.角度2点关于线对称例4已知直线/:2%3),+1=0,点4一1,-2),则点A关于直线/的对称点4的 坐标为.听课笔记:反思感悟点关于直线对称的解题方法若两点尸1(%1,1)与P2(%2,2)关于直线/:Ax+5y+C=0对称,则由方程组a(i)+b()+c=o,(一a=1,112 勺 25 可得到点P1关于直线/对称的点尸2的坐标(X2,2)(其中 B#0,角度3线关于线对称例5直线2%+3=0关于直线一+2=0对称的直线方程是()A.x2y+3=0 B.x2y30C.%+2y+l=0 D.%+2厂1=0听课笔记:反思感悟线关
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