高等数学上册1-7章习题课 函数与极限.pdf

习题课函数与极限一、函数二、连续与间断三、极限HIGH EDUCATION PRESS一、函数1.函数的概念定义：设。uR,函数为特殊的映射:fD-(0uR定义域 值域其中 f(D)=y y=/(x),xg D2.函数的特性有界性，单调性，奇偶性，周期性3.反函数设函数一/(。)为单射，反函数为其逆映射 L.f(D)TD4.复合函数给定函数链7/(。1)g:。-g(O)uZ)i则复合函数为fog:Dfg(D)5.初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数.HIGH EDUCATION PRESS f-O C Q。机动 目录上页 下页返回 结束例1,设函数小求/.解：3/(%)+1,/(%)1 13(3x+l)+lr 9x+4,3x+l,x,x 00 x 1HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束例2.设/（X）+/（）=2x,其中求/（%）.解：利用函数表示与变量字母的无关的特性.令r=-1,即九二内，代入原方程得 X 1Z吉）+）=占即/（占）+工）=吉令出二个，即户土，代入上式得“土）+/（宁）=?，即出）+/（?）=丁一 1 1四线三式联立1 f（x）=x-1-1x 1-xHIGH EDUCATION PRESS-O C 0 机动 目录上页 下页返回 结束思考与练习1.下列各组函数是否相同？为什么？(1)/(%)=cos(2arccosx)与(p(x)=l x1-I,xe-1,1相同(2)/(%)=：x a1 _ _ _ _ _ _与叭+相同/(x)=1无色 与(p(x)=/(x)IHIGH EDUCATION PRESS相同机动 目录上页 下页返回 结束2.下列各种关系式表示的y是否为x的函数？为什么?小 1y=1.1 不是A/smx-l(2)y=max sin%9 cos%),xg 0,是(3)y=arcsine,u=2+x 不是，cosx,0 x提示：(2)y=|.sinx,7%0%0/(%)=一:x 0%x W 0=3+FX I 1,X 1(4)/(%)=1-%3,1+x3,%0%8x 85.已知/(x)=Q+5),x 0,m3 0,当|不一天)b 时，有|f(x)-f(xo)|8第一类间断点2.函数间断点YL第二类间断点可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点-Q-的机动目录上页下页返回结束3.闭区间上连续函数的性质有界定理；最值定理；零点定理；介值定理.fl(l-cosx)2，例3.设函数/(x)=1,ln(Z?+x),%0在 x=0 连续，贝I a=2,b=_提示：f(0)=limX7。一a(l-cosx)a2/(0+)=lim In(Z?+x2)-Inb x7o+=1=In。1 22?HIGH EDUCATION PRESSe*b、例4.设函数f(x)=-0-1有无穷间断点x=0(x-6l)(x-l)及可去间断点X=1,试确定常数。及人解：Q x=0为无穷间断点，所以ex-b(x-z)(x-l)a Clim-=8 hm-=-=0io(x-a)(x-1)ex b 1-b a=0,Z?W 1ex-hQ x=l为可去间断点一.lim-极限存在x-i%(x-l)=lim(e%-/?)=0=b=lim/=e?HIGH EDUCATION PRESSx-Q-。-。6-机动目录上页下页返回结束f例5.设f(X)定义在区间(-8,+8)上，且对任意实数%,y有/(%+y)=/(x)+/(y)，若/(x)在 x=连续,证明/(X)对一切X都连续.提示：lim/(%+Ax)=lim/(%)+/(Ax)Ax0Ax0=/(x)+/(0)=f(x+0)=f(x)阅读与练习P64 题2(2),4;?HIGH EDUCATION PRESSP73 题5-O O Q-。机动目录上页下页返回结束P73题5.证明：若/在（-巴+8）内连续，lim于（x）X 8存在，贝4/（X）必在（8,+8）内有界.证：令lim/(X)二人则给定 0,3X 0,当xXX 8时,有 A-f(X)0,使/W，则I/(X)|0 1 X x02x1-x)cotx8111(1+声)声、1-x 1-x1；e(cosx 2x Um(sinx l-x)一x0 smx 1x 2e=e复习：若 lim(x)=0,lim v(x)=oo9 则有XXqXXqlim v(x)w(x)lim l+u(x)vW=e xX。I lim v(x)lnl+w(x)L=exxo?HIGH EDUCATION PRESS/例7.确定常数 a,。，使 lim(yl x ax b)=0X 8解：原式:limm jg-l=0 X8 V X X_ 1 a=0,于 a 1,而b=lim(a/1-x3+x)Xf 8=lim_ _ _ _ _ _ _ _ _ _XT 8/(1-x3)2-xa/1-x3+X2Y _/y3/i 3y=A/l-x1YX=o?HIGH EDUCATION PRESS+机动 目录 上页 下页 返回 结束例8.当x 7 0时，肌2 是x的几阶无穷小?解：设其为x的左阶无穷小，则limx-0二。0 x2+4x因limx-0 x2+Vx=lim 3 x0 3k/vk x1故二 lim（l+x，）x-0k=6?HIGH EDUCATION PRESS Z阅读与练习1.求/(%)=(-4-丫)Qin x-7一廿一-的间断点，并判别其类型.解：lim x-q 1 xsin xx=-l为第一类可去间断点lim/(x)=ooX-1X=1为第二类无穷间断点lim f(x)=-1,lim/(x)=1,xq 0+xq 0X=0为第一类跳跃间断点?HIGH EDUCATION PRESS2.解:lim x-0(2000考研)lim2+e1、%sinx441+e*+limX。+2e x_1+e xlimx0一(12+exr+1+e”7A sinxx)limx0一原式=1_ 4 e x+1(2+esinx+-1x sinx二14l+exxJX)二1?HIGH EDUCATION PRESS13,求 lim(1+2X+3X)X7+81.1解：令 f(%)=(1+2X+3X)=3(l)x+(|)x+1-i则 3/(x)0联想到凑导数的定义式_ Hm/a+siYn+cosx-1)-/sirn+cosx-1。sin2 x+cosx-1 x2i iHIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束例3.设/(x)在=2处连续，且lim9=3,x-2 X 2求广(2)解：/(2)limf(x)=lim(x-2)-x72 x72fQ)TX2 X 2(S=o=3x2 X 2思考：P124题2?HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束2心-1）+办+人例4,设/（%）=lim（J i）+l试确定常数a,。使/co处处可导,并求r（x）.ax+b.解:f(x)-3(“+b+l),X 1X=12I X,X 1x 1 时，yz(x)=2x得a+b=l=/(a+l)乙即=力?HIGH EDUCATION PRESSa=2f机动目录上页下页返回结束ax+b.xl/(x)=5 a(Q+l),X=1 1x 1 时,/z(x)=2x/.a=2,b=1,/z(l)=2x 1判别：/(x)是否为连续函数？HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束2.1 八x sm 一,x W。、一,例 5.设/(%)=%,讨论/(%)在 x=0、0,%=0处的连续性及可导性.解:.9 1lim/(x)=lim%2 sin-x-0 x-0=。=/(0)x所以/(x)在x=0处连续.又lin/dx70 Xx1 sin 1=lim-xo x=limxsin1=o,x-0 X/=o即/(X)在x=0处可导.?HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束二、导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法-对数微分法(3)参数方程求导法，转化极坐标方程求导(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)(5)高阶导数的求法-逐次求导归纳；间接求导法；利用莱布尼兹公式.HIGH EDUCATION PRESS/-机动 目录上页 下页 返回 结束例6,设 y=esinxsinex+f(arctan 1),其中 f(x)可微,求解：dy=sinexd(esinx)+esinxd(sinex)+/z(arctan-)d(arctan-)JC JC=sinex esinx d(sin 网.cos/d(/)1.+广(arctan)1fd 0X 1+4 X%2=esin x(cos%sin ex+ex cos ex)d x1 l+x2/z(arctanl)d x y=L d x?HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束例7,设x40时g(x)有定义，且g(%)存在，问怎样 选择。力,c可使下述函数在1=。处有二阶导数.C ax2+灰+j x 0/二|g(x),x0 X-0得，“仆(a/+x+c)g(0)g_(0)A()=hm-M-=bio+x-0HIGH EDUCATION PRESS/-,O O Q 机动 目录上页 下页 返回 结束fM=ax2+bx+c,g(x).x 0 x0C=g(0)b=g/_(O)3)利用(0)=，(0),而HO)=lim gQ)-：。)=g：(o)10-X-O,/八 (2ax+b)-b 小立(0)=hm-；=2aio+x-0i得，二(0)HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束-5、Y X=t2-2t例8.设由万程 9r-y+siny=1(0 1)确定函数y=y(x),求 d x解:方程组两边对，求导，得r d x-+2 dt故2t-+cosy=0 dt dtdy埠=d/d x=d x c/八=2+1)dtd y _ 2tId，1-E cosyd xd 7(r+1)(1-e cosy)?HIGH EDUCATION PRESSf机动目录上页下页返回结束4 2 X _ d _(_td y _ d 八 d x _ d 八0+1)(1-cos y)d x2 d x-2(r+l)d f(1-e cos j)-e r(r+1)sin j 窑20+1)3(1 cos y)2(1-E cosy)2-2e 产(S+1)sin y 2a+l)3(l-cosy)3HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束作业P124 4;5(i);6;7(3),(4),(5);8(2)；10；11(2)；12;13;15HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束习题课 L中值定理及导数的应用一、微分中值定理及其应用二、导数应用第三章HIGH EDUCATION PRESS一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理 包）卫，?拉格朗日中值定理r(o=o 八IF(x)=x 于(a)=于3)_4_柯西中值定理F(x)=x/化)=b-a泰勒中值定理n=QF(b)F(a)-F8)/（%）=/（而）+r（卬）（X-孙）+L+/（n）（xo）（x-xo）n+品/（/&）（%。）向,O O 0-。机动 目录 上页 下页 返回 结束HIGH EDUCATION PRESS2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式证明有关中值问题的结论HIGH EDUCATION PRESSz3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维，设辅助函数.一般解题方法：证明含一个中值的等式或根的存在，多用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数.若结论中涉及到含中值的两个不同函数，可考虑用 柯西中值定理.(3)若结论中含两个或两个以上的中值，必须多次应用 中值定理.若已知条件中含高阶导数，多考虑用泰勒公式，有时也可考虑对导数用中值定理.(5)若结论为不等式，要注意适当放大或缩小的技巧.裁 HIGH EDUCATION PRESS/机动 目录上页 下页例L设函数/(%)在(。力)内可导，且|广区M,证明/(x)在(。力)内有界.证：取点xQ g(,b),再取异于用的点工(,/?),对/(4)在以与，1为端点的区间上用拉氏中值定理，得/(x)-/(x0)=/低)(X-凤)界于与与X之间)I/(x)|=|/(同)+广虑)(x-两)|4/(%0)|+|广(&)版一%0fx+M(b-a)=K(定数)可见对任意大(,b),|/(%)|KK,即得所证.例2.设/在01上连续，在(0)内可导，且/=0,证明至少存在一点(0,1),使-也)二一竽证：问题转化为证&/)+2/6)=0.设辅助函数(p(x)=x2 f(x)显然(pW 在0,1 上满足罗尔定理条件,故至少存在一点F(0,1),使(P 低)=笺/(&)+&2/优)=0即有)=空口例3.设/在他力上连续，在（必）内可导，且。加试证存在已”（。，使广&）=7广（皿证：欲证/代）j m）广（g）s）=/（）a+b 2r|b2-a2 2r|,即要证因/（X）在，Z?上满足拉氏中值定理条件,故有/（/?）/（）=/代）3-），&（*）又因/（x）及F在,切上满足柯西定理条件，故有/(0)/J(T|)，”（凡。）b1-a 2r|修代人，化简得化）=427（n）,乃）2ri o o o-。机动目录上页下页返回结束?HIGH EDUCATION PRESS例4.设实数Qo，q-L,6满足下述等式o+4+L+几=0 0 2 n+1证明方程aQ+“m+L+anxn=0在(0,1)内至少有一 个实根.证：令尸=劭+%x+L+anxn,则可设F(x)=zox+x2+L+x+i 2 n+显然,尸(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导,且F(0)=方=0,由罗尔定理知存在一点S(04),使尸代)=0,即o+aM+L=0在(0 J)内至少有一个实根己.?HIGH EDUCATION PRESSf机动 目录 上页 下页 返回 结束例5.设函数/在0,3上连续，在(0,3)内可导,且 y(o)+y(i)+y(2)=3，/=i,试证必存在&g(0,3),使/化)=0.(03考研)证：因/在0,3上连续，所以在0,2上连续，且在0,2上有最大值M与最小值也 故m f(0),f(1),f(2)+/,)+2)M由介值定理，至少存在一点。0,2,使了二。)+二 1Q Q(c)=3)=Q且/(=在匕3上连续,在(c,3)内可导,由罗尔定理知，必存在&g(C,3)u(0,3)，使广值)=0.HIGH EDUCATION PRESS/-每OOO机动 目录上页 下页 返回 结束例6.设函数在0,1上二阶可导，/（。）=/（I）,且广区2,证明|广（、）区1.证：Vx0,l,由泰勒公式得/（I）=/（%）+/（x）（i-x）+inn）（1）2（0n 1）乙/（O）=/（x）-L+疗&）产（01）两式相减得 0=/+1/m）（1-x）2-l于&）x2/（刈=ym）（i-x）2-y（&）x2i|nn）i（i-）2+i|noi2（1-x）2+x2=1-2x（1-x）g(n)(x)(xa)则当 X Q 时 f(X)g(X).证：令(p(x)=/(x)g(x),贝U(P(“)(q)=O(Jc=0,1,L,m-1);(p()(x)0(%a)利用中(%)在 处的n-1阶泰勒公式得(p(x)=-叁(X-。)0(&a 时/(x)g(x).HIGH EDUCATION PRESS/-.Q O O 0 6一机动 目录上页 下页返回 结束例7.填空题（1）设函数/*（%）在（吟+8）上连续，其导数图形如图所示，则/（X）的单调减区间为（一8,修），（0,叼）；单调增区间为（为，0）,（尤2，+8）；极小值点为/2；极大值点为 X=。_.提示：根据/（X）的连续性及导函数 的正负作了（%）的示意图.HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束（2）设函数/（X）在（-*+8）上可导，/（%）的图形如图所示,则函数/（%）的图 形在区间（修，0）,（工2，+8）上是凹弧；在区间（-8,占），（0,工2）上是凸弧；拐点为（西，/（修），（%2，/。2），（0，/（0）提示：根据/（X）的可导性及/（X）的正负作了（%）的示意图.?HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束例8.证明/=(1+尸在(。,+8)上单调增加.证：ln/(x)=xln(l+-)JC=x ln(l+x)-In%,1 1/z(x)=(1+-)%ln(l+x)-lnx-X _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1+x令方=hn,在x,x+l上利用拉氏中值定理，得1 1ln(l+x)In x=:-(0%0时,广0,从而于(X)在(0,+8)上单调增.HIGH EDUCATION PRESS/-,dO Q 机动 目录上页 下页 返回 结束例9设/(%)在(-8,+8)上可导,且 fx+fx)0,证明/(x)至多只有一个零点.证：设(p(x)=/(X)则(pOO=/(x)+fx)0故(p(x)在(-8,+8)上连续单调递增，从而至多只有 一个零点.又因ex0,因此/(不)也至多只有一个零点.思考：若题中/(1)+/(%)0 改为其它不变时,如何设辅助函数？(x)=e-xf(x)例10.求数列跖2 的最大项.因为/(x)在1,+8)只有唯一的极大点x=e,因此在 x=e处/(x)也取最大值.又因2e3,JLV2=/4-(%0).1+x证：设(p(x)=(1+x)ln(l+x)-arctanx,则(p(0)=01(pz(x)=1+ln(l+x)-7 0(x 0)1+x2故x0时，叭X)单调增加,从而叭X)叭。)二。o-、arctan x/八、即 ln(l+%)-(%0)1+x思考：证明 ln(1+-(0 X 0,b0有/(+/?)/()+/()证：设叭x)=/(a+x)-/一/，则叭。)=0 q/(x)=/(+x)-/(X)0)所以当%0时,月(%)叭0)=0令x=Z?,得(p(b)=/3+b)-/-/3)0即所证不等式成立.?HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束例13.证明：当0 xl时，1 x证：只要证(l x)e2xl%0(0 x 1)/(x)=(l-x)e2x-1-x,贝|/(0)=01(九)=(l-2x)e2x-1,1(0)=0f(x)=4xe2x 0(0 x 1)利用一阶泰勒公式，得/(x)=/(0)+/W+x2=-2 e x1 0(0%0 时，。2l）lnxN（x I.证:令/(x)=(%2l)lnx-(x-l)2,则/z(x)=2xlnx+%-2(x-l),JC/(x)=21nx+1+3，f(l)=0广二0/=20D=也学法1由f（x）在X=1处的二阶泰勒公式，得/（X）=（XT）2+，J?.1=（X 1）H-二3&3 故所证不等式成立.率1）3fr-n3 n（%0/在x（）与之间）?HIGH EDUCATION PRESSf机动目录上页下页返回结束法2列表判别:/(%)=(y-l)lnx-(x-l)2,/(I)=0/z(x)=2xlnx-+2JCf(x)=21nx+C+1,U(X)=型 X广=0f 7D=2 0X(0,1)1(1,+)0+2/+/-0/+/W+0/+故当x0时/(x)20,即(x2-l)lnx(x-l)2.?HIGH EDUCATION PRESS机动 目录 上页 下页 返回 结束/(x)=(%2-1)Inx-(x-l)2 9/z(x)=2xl nx-+2JC/=21nx+2+1,X乙法3利用极值第二判别法.易知x=1是f(x)=0的唯一根,且/0,.x=l为/(%)的唯一 极小点，故 1)=0也是最小值，因j b匕当x0时/(%)之。，即(x2-l)lnx (x-1)2f(l)=Ofm=of 7D=2 0?HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页 下页返回 结束例 15.求 lim n2(arctanarctann 一 gna、/C、Q)(0)解法1利用中值定理求极限原式二limn782 n 7a ai+yn n+1)&在“与旦之间）n n+1=liman(n+l)l+2CL?HIGH EDUCATION PRESSz解法2利用泰勒公式令 f(x)=arctan x,贝.i/(%)=-791+x(1+x)，/(x)=/(0)+f(Q)x+土 f(Q)x2+o(/)=X+O(12)原式=lim n2 1-+(4)-n8 I R n 几+1(n+l)z=limF an+0(3)CzTdxc osax?HIGH EDUCATION PRESSz机动目录 上页 下页 返回 结束例Z设/=J sec xdx,证明递推公式：1 勿一2ln=sec 1 2 x-tan%+(n2)1 ri 2n=sec%-tan%+(n2)n1 n1n1 n10 Q证：In=sec x sec xdx=sec2%,tanx=sec一2h3sec x-secxtanx-tanxd x%tan x-n2/2sec%(secx-l)d x力_，sec x,tan x _(ri _ 2)In+(n _ 2)IHIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束例8.求 x-1 dx.解：设 Fx)=x-1x-1,二YJ1 X,X 1X 乙X-3 X?+C?%1X 1得|x-l|d x=F(x)=3(X _ 1)2+C,X 0,求/(x).解：由题设厂(x)=/(%),则 F(x)Fz(x)=sin2 l x.故 F(x)Fz(x)d x=sin2 2xd x=f cos4、%J J J 2艮 I7 尸 2(%)=%：sin4x+CQF(0)=l,.-.C=F2(0)=l,又尸20,因此F(x)=.x-.sin4x+l故f(x)=Fz(x)=sin2 2xx-1 sin 4x+1?HIGH EDUCATION PRESSf机动 目录 上页 下页 返回 结束二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法有理函数：指数代换万能代换指数函数有理式多项式及 部分分式之和分解根式代换三角函数有理式三角代换简单无理函数HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束2.需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法，要注意综合 使用各种基本积分法，简便计算.(2)初等函数的原函数不一定是初等函数，因此不一 定都能积出.m l c-x2.f sinx i-2=例如，e dx,-dx.smx d x,J J x J1 i d x r/-T,d x,/，a/1+x dx.Jinx JJl+d JJl-Z:2sin2xd x(OZ1),L L膏 HIGH EDUCATION PRESS/-.dQ Q 6-机动 目录上页 下页返回 结束例10.求dx1+e2+e3+e6解:令1=，则 x=61nt,dx=-dtLd%/d t原式=6-5-=6-丁J(1+r+r+t)t J(z+l)(r+1).f B-or=-l1 1 I 2H ln|w 11 ln|i/+C1621 1 1=1ln(cosx+2)+-ln(l-cosx)-ln(cosx+l)+C?HIGH EDUCATION PRESS例14.求/二d%J sin(x+a)sin(x+b)(a-b 于 kn)解：/二1sin(x+a)(x+0)d sin(a-b)J sin(x+a)sin(x+b)sin(_)J1 rsin(x+a)cos(x+。)-cos(x+a)sin(x+%sin(x+a)-sin(x+b)rcos(x+/?)sin(a 一与 J Sm(x+b)d x-cos(x+a)J sin(x+a)d x1sin(a )1sin(a )In sin(x+b)-In|sin(x+a)|+CInsin(x+b)sin(x+a)+C?HIGH EDUCATION PRESSf机动 目录 上页 下页 返回 结束例15.求/二d x(x a)n(x b)nT（为自然数）解：I=d xJ(x-ax-a x-bn.1 a-b il-at=-vd xr t tn x-bY人 x-a令 t=n-V x-bn i-dt=(a-b)td x(x-a)(x-Z?)贝ij tnx-a x-bn-i i a b.nt dt=-d x(x*nrd za-bJ t2.b-atn x-b-=-d-+Cb a V x-a?HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束作业P222 6,9,18,19,28,31,38,39HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束习题课 L定积分及其相关问题第五章一、与定积分概念有关的问题的解法 二、有关定积分计算和证明的方法HIGH EDUCATION PRESS-Q-C。6-机动目录上页下页返回结束一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题 例L求lim1 n x ri%e i-d x.xX p解：因为XO,1时，07Mx，所以 l+ex0,1oi+e1d x f xn dx利用夹逼准则得limJOrl/d x=01 n+1/O C Q-机动目录上页下页返回结束?HIGH EDUCATION PRESS说明：1）思考例1下列做法对吗？利用积分中值定理原式二lim&-0 n78 +/不对！因为己依赖于，且1.2）此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.如，P265题41 rp1-i1+x 1+/HIGH EDUCATION PRESS(0%1)机动 目录上页 下页返回 结束例 2.求/=limHT8sin-sin-sin-+L+n+1 n+-2 n（考研98）解：羽1数列适当放大和缩小,以简化成积分和:nn+1nk=l.kjt 1 sin-sm-=nfg k=1 K 711sin 兀 xd x,71lim=1nT 8n+1o9利用夹逼准则可知/=.71HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束思考：J=limn 一8-2兀 sm _n71+g+Lsin 兀+F n+nsm+-(川+1)兀 n二?n+1 n+1提示：由上题I-limn 一 gsm|+一；+L+5乙sin，nm+12兀sin +p n+-n_ 271l 乙 sin-.sin(n+1)K故 J I lim-+lim-72+1 HT8 n H77+12 2=-_ 0+0=71 兀h。-Q-。-。6-机动目录上页下页返回结束HIGH EDUCATION PRESSz练习：L求极限lim(n8nnn2+l+n2+22+L+n2,2n+n解：原式=limH 7 81nn E i=l1ri11+(不JO1+x2d X=42.求极限lim(n一 g12n22n+Ln2n提示：lim1n+1几 i2(原式 i=l-f).n+-n1 几l im 2nH j=左边=limH78nn i ir 1n+1i=lnJO12X dx=-=右边In 2?HIGH EDUCATION PRESSfI fl 1例3.估计下列积分值n i 9=dx.Joa/4-x2+x31 1 1解：因为；/2 3 /xe09la/4 a/4-x2+xj a/4-x2即11-dx Jo 2rlJO1=dx 4-x2+x3f1 1 d x 04-x2-2 i 1*a/4-x2+x3d%-6HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束2 2 2 c例4.证明-xdx2e2.旌J。2 2证：令/=一二则/(%)=(2%1)/x1令广。)=0,得x=；,乙/(0)=1,/()，2)二/弋e1 2.min/(x)=，maxf(x)=e0,2 Me。2故 Cex2x dxJof(x)dx证明：显然q=O,q=l时结论成立.当0q0处连续J(l)=3,且由方程r xy r y exf(t)dt=x f(Z)d t+y f d tJ 1 J J 1确定y是x的函数，求/(x).解：方程两端对x求导，得/(xy)(y+xy)=J；/)d 什x/yAy,r x+y f(Od r+yf(x)J 1 f y令X=l,得 f(y)y=J 11 3再对 y 求导,得 fy)=-/(1)=-f(y)=31ny+c y y令y=l,得C=3,故/(x)=31nx+3HIGH EDUCATION PRESS/-O Q O O O机动 目录 上页 下页 返回 结束例Z求可微函数/(x)使满足rx产=J(/sint i-dt2+cos，解：等式两边对x求导，得.7sli2+cosx不妨设/(x)wO,则/、1 sinx j(x)=-2 2+cosx/(x)=fMdxIf sin x i-d x2J 2+cosx1=ln(2+cosx)+C?HIGH EDUCATION PRESSrx尸=J(/sin，i-dt2+cos，1/(x)=-ln(2+cosx)+C、1注意/()=0,得 C=-In31 1/(x)=-ln(2+cosx)+-ln31 3=-ln2 2+cosx?HIGH EDUCATION PRESS例8.求多项式/(%)使它满足方程 rl rx ofl 1 rx解：令=则 f(xt)dt=-f(u)duJO JUrx rx a _ 7代入原方程得/Q)cU+x f(t-l)dt=x+2xJ。J。x两边求导：/(x)+/。l)d%+x/(x-l)=4+4%再求导：/(x)+2/(x-l)+x fx-1)=12x2+4 可见/(x)应为二次多项式，设/(x)=ax1+Z?x+c代人式比较同次赛系数，得a=3,b=4,c=1.故 f(x)=3x2+4x+1l HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法思考：下列作法是否正确?rl 1 31 17/2d f=0(令 1=a/?)2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法HIGH EDUCATION PRESS/-机动 目录 上页 下页 返回 结束例9.求心：.解：令6一“=sin/,贝I x=-lnsin/，dx=sint原式J2 sin,J 6 sin%=；(csc.sinOd.6 71=In escZ-cotZ+cosZ 2716=ln(2+V3)-yHIGH EDUCATION PRESS机动 目录 上页 下页 返回 结束解：I=C兀2040例10.求/二71+-cosx-sin%271=sinx+cosx j=2(72-1)HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束例IL选择一个常数c,使b 99(%+c)cos(x+c)d x=0JaM：令 t=x+j 贝ub 99(%+c)cos(x+c)d x=Ja改+c 99.t c os t dtJ a+c因为被积函数为奇函数，故选择C使即a+c=-(Z?+c)a+bc=-2可使原式为0.?HIGH EDUCATION PRESS例 12.设 f(x)=丁/+2dy,求(x-/(x)dx.解：(d)2/(x)dx=1)3 71 1 rl 3 z二(x-l)3f(x)d x0 JU=-(x-l)3ex2+2xd x(令=(x )二-心-O JU p pl p 1 1=ueu du=Q+1)=Z(e-2)6Jo 6 o 6HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束例 13.若/(x)e C0,l,试证：兀 兀 f兀/o xf(sinx)d x=-I f(sinx)d x兀=71 2/(sin%)d x joM：令1=兀-%,贝u兀Jo.xf(sin x)d x=-(71-t)f(sint)dtJ兀兀兀=71Jo/(siiH)d%-J。t f(sint)dt,兀 o兀兀元/(sin%)d x=/(sin%)d x 2?HIGH EDUCATION PRESS因为,兀/(sin x)d x=jo兀2 0f(sin x)d x+f(sin%)d x2对右端第二个积分令,=兀-X.产=2 2/(sin x)d xjo综上所述兀 0 x/(sinx)d x=1-：/(sinx)d x产=71 2/(sin x)d x jo?HIGH EDUCATION PRESS例14.证明恒等式.2 2sin x 厂 rcos%兀arcsind，+arccos J t d t=0 Y Jo Y 4证:令/(x)=2,sin0 xarcsinyt d t+(0 X 0.若lim 2%-。)存在,证明:x x-a(1)在(,与内/(X)0；(2)在(,扮内存在点自，使b2-a2 _ 2b f(x)dx/)(3)在(a,b)内存在与己相异的点T|，使机动 目录 上页 下页 返回 结束证：Q lim 2-)存在,.lim f(2x-a)=Q,x+X Cl x+由/(x)在q,切上连续，知/(a)=0,又/0,所以/(x)在3)内单调增，因此/(%)/(a)=0,xg(a-)(2)设 F(x)=x2,g(x)=J%/(x)d x(ax 0,故F(x),g(x)满足柯西中值定理条件,于是存在己（Q），使F(b)F(a)_ 庐/_(42yg(b)g(a)fbfdt-af(t)dt(r7)d“MHIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束即7 2 2b-aJ a因/(&)=/(&)。=/(&)/()在以1上用拉格朗日中值定理二-8)(&T|(旁)代人(2)中结论得7 2 2b-a，dm)d)J a因此得广面-马二之J b/(x)d xaQ-。-。的机动目录上页下页返回结束?HIGH EDUCATION PRESS例17设/(x)。乐句，且/。，试证:b/(x)d x ad x 2rx证：设/(x)=J/)d%rx则 Fx)=f(x)rxadt 1-+dt 9_(x _ a)/IJ%)/(X)rxV W f(Q f(x)02 dt=r4f(x)-f(/)2d r a/(%)/)x a./(x)0a2故厂(x)单调不减.尸(b)2尸=0,即成立.?HIGH EDUCATION PRESS作业(总习题五)P264 2(3),(5)；4；5(1)；7(2),(5);10h。-Q6-第四节目录上页下页返回结束HIGH EDUCATION PRESSz习题课定积分的应用1.定积分的应用几何方面：面积、体积、弧长、表面积.物理方面：质量、作功、侧压力、引力、转动惯量.2.基本方法：微元分析法微元形状：条、段、带、片、扇、环、壳等.HIGH EDUCATION PRESS例1.求抛物线y=I-在(0,1)内的一条切线，使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解：设抛物线上切点为M(x,l-x2)则该点处的切线方程为y-(l-x2)=-2x(X-x)它与x,y轴的交点分别为A(旬,0),B(0,x2+1)所指面积1(x2+l)2 s(x)=2r-T/1 2 _(kW 2 o(川工一 3?HIGH EDUCATION PRESS机动 目录上页 下页返回 结束5Z(%)=(x2+1).(3x2-1)4 jc令S(X)=O,得0 J上的唯一驻点 二 口 f y r B&不苧，S(x)S sx)0-XL.丫14A因此x=g是S(x)在0J上的唯一极小点，且为最小点,故所求切线为X+-HIGH EDUCATION PRESS3机动 目录上页 下页返回 结束例2.设非负函数/在0,1上满足x f(x)=f(x)+称12,曲线y=/(x)与直线x=l及坐标轴所围图形 面积为2,(1)求函数/(%)；(2)a为何值时，所围图形绕x轴一周所得旋转体 体积最小？解：(1)当XW0时，由方程得X广 T(x)=3即色斗%22 X23。