2023年中考数学压轴题专题33 圆与新定义综合问题【含答案】.pdf
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专题33圆与新定义综合问题典例剖析.【例11(2022 石景山区一模)在平面直角坐标系x Oy中,点尸不在坐标轴上,点。关于x 轴的对称点为尸1,点尸关于y轴的对称点为尸2,称尸出尸2为点尸的关联三角形”.(1)已知点/(1,2),求点/的“关联三角形”的面积;(2)如图,已知点8(加,m),。7的圆心为7(2,2),半径为2.若点8的“关联三角 形”与。T有公共点,直接写出加的取值范围;(3)已知。的半径为厂,OP=2r,若点尸的“关联三角形”与。有四个公共点,直接 写出NPP1P2的取值范围.54325 4 3 2 1 01-2-3-4-52 3 4 5 K【例2】2022 朝阳区二模)在平面直角坐标系x Oy中,。的半径为1,AB=1,且/,B 两点中至少有一点在。外.给出如下定义:平移线段得到线段4 B CA,B 分别为点4,3的对应点),若线段,B 上所有的点都在。的内部或。上,则线段 长度的最小值称为线段43到。的“平移距离”.(1)如图1,点4,囱的坐标分别为(-3,0),(-2,0),线段小小到的“平移距 离”为,点42,助的坐标分别为(-/日),(,如),线段色灯到OO的“平移距离”为;(2)若点/,3都在直线夕=愿x+2向上,记线段到。的“平移距离”为d,求d 的最小值;(3)如图2,若点/坐标为(1,愿),线段43到。的“平移距离”为1,画图并说明 所有满足条件的点8形成的图形(不需证明).业三角形(1)下列各三角形中,一定是“勤业三角形”的是;(填序号)等边三角形;等腰直角三角形;含30角的直角三角形;含120角的等腰三 角形.(2)如图1,48。是。O的内接三角形,4。为直径,D为48上一点,且80=240,作 DELOA,交线段04于点E交。于点E,连接3E交NC于点G.试判断和4夕后 是否是“勤业三角形”?如果是,请给出证明,并求出世的值;如果不是,请说明理由;BE(3)如图2,在(2)的条件下,当AF:FG=2:3时,求N3EQ的余弦值.【例4】(2022清苑区二模)【问题提出】如图1,。0与直线a相离,过圆心O作直线a的垂线,垂足为“,且交。O于尸、。两点(。在尸、之间).我们把点尸称为。关于直线a的“远点”,把尸。的值称为OO 关于直线a的“远望数”.(1)如图2,在平面直角坐标系x Oy中,点E的坐标为(0,4),过点E画垂直于y轴的直 线加,则半径为1的。关于直线机的“远点”坐标是,直线机向下平移 个单位长度后与。相切.(2)在(1)的条件下求关于直线机的“远望数”.【拓展应用】(3)如图3,在平面直角坐标系x Qy中,直线/经过点(6、花,0),与y轴交于点N,点尸坐标为(1,2),以月为圆心,。9为半径作。?若。/与直线/相离,。是。尸关于 直线/的“远点”.且。/关于直线/的“远望数”是12、而,求直线/的函数表达式.一.解答题(共20题)1.(2022长沙县校级三模)约定:若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中 有一个三角形与原三角形相似,我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”.例如:如 图1,在/8C中,4D为边8c上的中线,与48。相似,那么称/BC为关于边 3C的“优美三角形”.(1)如图2,在48C中,B C=42AB,求证:N5C为关于边3C的“优美三角形”;(2)如图3,已知/BC为关于边3C的“优美三角形”,点。是/台。边3C的中点,以 B D为直径的。恰好经过点力.求证:直线口与。相切;若。的直径为2加,求线段的长;(3)已知三角形48c为关于边8。的“优美三角形,B C=4,/B=30,求/8C的面 积.AA2.(2022西城区校级模拟)点尸(1,yi),Q(X2,工)是平面直角坐标系中不同的两个点,且X1WX2.若存在一个正数左,使点尸,。的坐标满足心-|=川11-%2|,则称尸,。为一对“限斜点”,人叫做点尸,0的“限斜系数”,记作左(尸,。).由定义可知,k(P,Q)=k(。,P).例:若尸(1,0),Q(3,具有=-3,所以点P,。为一对限斜点,且限斜系数”为上.4已知点/(1,0),B(2,0),C(2,-2),D(2,).2(1)在点4,B,C,。中,找出一对“限斜点”:,它们的“限斜系数”为;(2)若存在点及 使得点,4是一对“限斜点”,点8也是一对“限斜点”,且它们的“限斜系数”均为1.求点E的坐标;(3)。半径为3,点为。上一点,满足附=1的所有点T,都与点。是一对限斜点”,且都满足左(T,C)21,直接写出点的横坐标知/的取值范围.3-21-3-2-1-1D-t _B_L,1-2 3力C3.(2022常州一模)对于平面直角坐标系中的图形、N,给出如下定义:尸为图形 上任意一点,。为图形N上任意一点,如果尸、。两点间的距离有最小值,那么称这个 最小值为图形M、N间的“图距离“,记作d(,N).已知点/(-2,6),5(-2,-2),C(6,-2).(1)d(点 O,/5C);(2)线段是直线=%(-2Wx W2)上的一部分,若d(L,4AB C)=1,且的长度最长时,求线段两个端点的横坐标;(3)。7的圆心为丁(/,0),半径为1.若d(OT,AAB C)=1,直接写出,的取值范围.4.(2022秦淮区二模)【概念认识】与矩形一边相切(切点不是顶点)且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第I类圆;与矩形 两边相切(切点都不是顶点)且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第H类圆.【初步理解】(1)如图,四边形/8CQ是矩形,。和。2都与边相切,。2与边相 切,。1和。3都经过点8,。3经过点。,3个圆都经过点C.在这3个圆中,是矩形 4BCQ的第I类圆的是,是矩形4BCQ的第II类圆的是.【计算求解】(2)已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6,直接写出它的第I类圆和第H类圆的半径长.【深入研究】(3)如图,已知矩形/8C。,用直尺和圆规作图.(保留作图痕迹,并写出必要的文字说明)作它的1个第I类圆;作它的1个第II类圆.B45.(2022丰台区二模)在平面直角坐标系x Oy中,。的半径为1,4为任意一点,B为。上任意一点.给出如下定义:记4 3两点间的距离的最小值为夕(规定:点/在。上时,p=0),最大值为q,那么把号的值称为点4与。的“关联距离”,记作d(/,O(9).(1)如图,点。,E,尸的横、纵坐标都是整数.d(。,0(9)=;若点在线段9上,求d(,。)的取值范围;(2)若点N在直线上,直接写出d(N,。0)的取值范围;(3)正方形的边长为处 若点尸在该正方形的边上运动时,满足d(P,。)的最小值为 1,最大值为技,直接写出机的最小值和最大值.6.(2022大兴区一模)在平面直角坐标系x Oy中,。的半径为1,已知点/,过点/作 直线对于点4和直线MN,给出如下定义:若将直线朋N绕点/顺时针旋转,直线 MN与。(9有两个交点时,则称MV是。的“双关联直线”,与。有一个交点尸时,则 称MV是。的“单关联直线”,AP是。的“单关联线段”.(1)如图1,A(0,4),当MN与y轴重合时,设N与。交于C,Q两点.则N是。的“关联直线”(填“双”或单”);的值为;AD(2)如图2,点/为直线y=-3x+4上一动点,/尸是。的“单关联线段”.求04的最小值;直接写出/尸。面积的最小值.7.(2022宁波模拟)定义:圆心在三角形的一条边上,并与三角形的其中一边所在直线相 切的圆称为这个三角形的切圆,相切的边称为这个圆的切边.(1)如图1,/台。中,AB=CB,ZA=30,点。在/C边上,以。为半径的。恰 好经过点8,求证:。是45。的切圆.(2)如图2,/8C中,AB=AC=5,B C=6,。是45。的切圆,且另外两条边都是。的切边,求。的半径.(3)如图3,A/BC中,以为直径的。恰好是ABC的切圆,4C是。的切边,0O与B C交于点F,取弧B F的中点D,连接AD交B C于点E,过点E作EHLAB于点H,若 CF=8,5F=10,求 4。和 的长.图3图18.(2022朝阳区一模)在平面直角坐标系中,对于直线/:y=kx+b,给出如下定义:若直线/与某个圆相交,则两个交点之间的距离称为直线/关于该圆的“圆截距”.(1)如图1,。的半径为1,当左=1,6=1时,直接写出直线/关于。的“圆截距”;(2)点收的坐标为(1,0),如图2,若。的半径为1,当6=1时,直线/关于。的“圆截距”小于泥,求左的取值范围;如图3,若。的半径为2,当上的取值在实数范围内变化时,直线/关于。的“圆截距”的最小值2,直接写出6的值.9.(2022郭州区校级一模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家,他在三角形、四边形、零和负数的运算规则,二次方程等方面均有建树,他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形,我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”.(1)若平行四边形是“婆氏四边形,则四边形是 (填序号);矩形 菱形 正方形(2)如图,四边形/BCQ内接于圆,尸为圆内一点,ZAPD=ZB PC=90,且/。尸=ZPB C,求证:四边形为“婆氏四边形”;(3)在(2)的条件下,B D=4,且 AB=MDC.当。=2、笈时,求4c的长度;当DC的长度最小时,请直接写出tanZADP的值.10.(2022城关区校级模拟)如图,在平面直角坐标系X0中,点/与点8的坐标分别是(1,0),(7,0).(1)对于坐标平面内的一点尸,给出如下定义:如果N/P3=45,那么称点尸为线段43 的“完美点”.设/、B、尸三点所在圆的圆心为C,则点C的坐标是,。的半径是;V轴正半轴上是否有线段48的“完美点”?如果有,求出“完美点”的坐标;如果没有,请说明理由;(2)若点尸在y轴负半轴上运动,则当N4PB的度数最大时,点尸的坐标为.11.(2021 常州一模)在平面直角坐标系宜中,。的半径是丁正,A,8为。O外两点,AB=2五.给出如下定义:平移线段使平移后的线段/B 成为。的弦(点4,B 1分别为点/,3的对应点),线段44长度的最小值成为线段到。的“优距离”.图1 图2(1)如图1,。中的弦尸1尸2、尸3尸4是由线段平移而得,这两条弦的位置关系是;在点P,尸2,P3,尸4中,连接点4与点 的线段长度等于线段到。的“优距商;(2)若点/(0,7),B(2,5),线段44的长度是线段43到。的“优距离”,则点 的坐标为;(3)如图2,若4 3是直线y=-x+6上两个动点,记线段43到。的“优距离”为力 则d的最小值是;请你在图2中画出d取得最小值时的示意图,并标记相应的字母.12.(2022秋姜堰区期中)如图1,在平面内,过。7外一点尸画它的两条切线,切点分别 为M、N,若NMPN290。,则称点尸为。7的“限角点”.(1)在平面直角坐标系x Oy中,当。半径为1时,在Pi(1,0),尸3(-1,-1),尸4(2,-1)中,。的“限角点”是;(填写序号)(2)如图2,。4的半径为加,圆心为(0,2),直线/:=-a+6交坐标轴于点3、C,4若直线/上有且只有一个。的“限角点”,求人的值.(3)如图3,E(2,3)、F(1,2)、G(3,2),。的半径为泥,圆心。从原点O出发,以&个单位/s的速度沿直线/:y=x向上运动,若MG三边上存在。的“限角点”,请直接写出运动的时间/(s)的取值范围.尸给出如下定义:将点尸绕点逆时针旋转90,得到点P,点P关于点N的对称点为0,称点。为点尸的“对应点”.(1)如图1,若点在坐标原点,点N(1,1),点尸(-2,0)的“对应点”。的坐 标为;若点尸的对应点。的坐标为(-1,3),则点尸的坐标为;(2)如图2,已知。的半径为1,是。0上一点,点N(0,2),若尸(心,0)(wl)为。外一点,点。为点尸的对应点,连接尸。.当点/(a,b)在第一象限时,求 点。的坐标(用含a,b,加的式子表示);当点在。0上运动时,直接写出长的 最大值与最小值的积为.(用含,的式子表示)图1 图214.(2022秋海淀区校级月考)在平面直角坐标系中,已知。的半径为2,对于点P,直线/和。0,给出如下定义:若点P关于直线/对称的点在。上或。的内部,则称点P为。关于/的反射点.(1)已知直线/为x=3,在点Pi(4,0),Pi(4,1),尸3(5,1)中,是OO关于/的反射点有;若点。为x轴上的动点,且点。为。关于/的反射点,则点。的横坐标的最大值 为.(2)已知直线/的解析式为歹=区+2(ZWO),当上=-1时,若点尸为直线上的动点,且点。为。关于/的反射点,则点尸的纵坐标,的取值范围是;点3(2,2),。(如,1),若线段3C的任意一点都为。关于/的反射点,则上的取 值范围是.54325432-4-3-2-1 1 2 3 4 5 1-4324 1 2 3 4 5I I-1-2-3-1-2-315.(2022钟楼区校级模拟)在平面直角坐标系x Oy中,正方形/3CQ的顶点分别为/(0,1),5(-1,0),C(0,-1),。(1,0).对于图形给出如下定义:尸为图形”上任 意一点,。为正方形/BCD边上任意一点,如果P,0两点间的距离有最大值,那么称这个最大值为图形的“正方距”,记作d().已知点E(3,0).直接写出d(点E)的值;过点E画直线=区-3左与y轴交于点R当d(线段所)取最小值时,求左的取值范 围;设7是直线=-尤+3上的一点,以T为圆心,衣长为半径作0 T.若d(OT)满足d(07)_10+泥,直接写出圆心T的横坐标的取值范围.汁 汁A A备用图16.(2021秋慈溪市期中)如图1,在OO中,弦/。平分圆周角NB/C,我们将圆中以/为公共点的三条弦氏4,CA,。/构成的图形称为圆中的“爪形/”,弦B A,CA,称为“爪 形/”的爪.(1)如图2,四边形内接于圆,AB=B C.证明:圆中存在“爪形。;若N ADC=20,求证:AD+CD=B D.(2)如图3,四边形48CD内接于圆,其中A4=8C,连接80.若此时“爪形 Q”的爪之间满足怎样的数量关系,请直接写出结果.17.(2021秋润州区校级月考)在平面直角坐标系x Oy中,。的半径为尸是与圆心。不重合的点,点尸关于。的反称点的定义如下:若在射线。尸上存在一点尸,满足 CP+CP=2r,则称尸为点。关于。的反称点,如图为点夕及其关于。的反称点尸 的示意图.(1)当。的半径为1时,分别判断点“(3,1),N(-1,0),7(-1,V3)关于O。的反称点是否存在?若存 在,直接求其坐标;将。沿x轴水平向右平移1个单位为。0,点。在直线歹=-尤+1上,若点尸关于。的反称点P存在,且点P不在坐标轴上,则点尸的横坐标的取值范围;(2)。的圆心在工轴上,半径为1,直线y=-x+12与x轴,y轴分别交于点4、B,点E 与点D分别在点A与点B的右侧2个单位,线段AE、线段3Q都是水平的,若四边形AB DE 四边上存在点P,使得点夕关于。的反称点P在OC的内部,直接写出圆心C的横坐标 的取值范围.18.(2021 建邺区二模)【概念学习】在平面直角坐标系x Oy中,。的半径为1,若。平移d个单位后,使某图形上所有点在。内或。上,则称d的最小值为。对该图形的“最近覆盖距离”.例如,如图,A(3,0),B(4,0),则。对线段的“最近覆盖距离”为3.【概念理解】(1)。对点(3,4)的“最近覆盖距离”为.(2)如图,点尸是函数y=2x+4图象上一点,且。对点尸的“最近覆盖距离”为3,则点尸的坐标为.【拓展应用】(3)如图,若一次函数歹=区+4的图象上存在点C,使。对点。的“最近覆盖距离”为1,求左的取值范围.(4)D(3,加)、E(4,加+1),且-4VaV2,将。=心+6与轴交于点M 且与歹轴交十点N,若线段上存在点/关于。的“生长点”,直接写出6的取值范围是.20.(2022东城区校级开学)在平面直角坐标系x Qy中,给出如下定义:若点。在图形 上,点。在图形N上,称线段PQ长度的最小值为图形M,N的“近距离”,记为d(M,N).特 别地,若图形,N有公共点,规定d(跖 N)=0,如图,点/(-2向,0),B(0,2).(1)如果。的半径为 2,那么 d(A,。0)=,d(B,。0)=;(2)如果。的半径为r,且d(。,线段/B)0,求r的取值范围;(3)如果。(0,小)是y轴上的动点,。的半径为1,使d(。,线段48)1,直接 写出加的取值范围为.典例剖析.【例1】(2022石景山区一模)在平面直角坐标系x Oy中,点。不在坐标轴上,点。关于x 轴的对称点为尸1,点尸关于y轴的对称点为尸2,称尸1尸尸2为点尸的关联三角形”.(1)已知点/(1,2),求点/的关联三角形”的面积;(2)如图,已知点8(m,m),。7的圆心为7(2,2),半径为2.若点8的“关联三角 形”与。丁有公共点,直接写出机的取值范围;(3)已知OO的半径为厂,OP=2y,若点尸的“关联三角形”与OO有四个公共点,直接【分析】(1)根据x轴,y轴对称,求出相应的对称点坐标,根据三角形面积公式求出面积 即可;(2)四边形。是。丁的外接四边形,0求出点。的坐标,即可判断;(3)分两种情形:当尸尸2与。相切于点E时,如图2中,当尸尸1与。相切于点尸时,如图3中,分别求解即可.【解答】解:(1).点4(1,2)关于x轴对称的对称点(1,-2),点/关于产轴对称的 点/2(-1,2),SAAA.A.=1.X2X4=4;2(2).。丁的圆心为了(2,2),半径为2,四边形。是。T的外接四边形(如图1中),:.D(4,4),.点3的“关联三角形”与。T有公共点,且3(加,),/.2-近(3)当尸尸2与。相切于点E时,如图2中,:OE=r,OP=2r,:./OPE=30,:.ZOPP=ZOPP=60,.当60 ZOPiP90时,点2的“关联三角形”与。有四个公共点.:.ZOPF=ZOPP=3Q,.,.当0。ZOPiP 30时,点P的关联三角形”与O。有四个公共点,综上所述,点尸的“关联三角形”与。有四个公共点,/尸尸上2的取值范围为:0=24.11综上,。的半径为丝或2支;5 11(3)解:连接4尸,如图,cEBD.15为。的直径,:.AFB C.是ZBC的切圆,ZC是0O的切边,:.AB LAC.:./ACF/B AF.AF BF-=-.CF AF.AF 10 1=一.8 AF:.AF=4 娓.c=Vcf2+af2=12,=-/aF2+BF2=疾.。是弧Bb的中点,/FAD=/B AD.FE=AF_ 4代二2BE-AB 67 5 一3演 FE=2k,则 6E=34,;B F=FE+B E=13:.2k+3k=O.:.k=2.:.EF=4,B E=6.,:EH LAB,AC1AB,:.EH/AC.BE E H ,-.BC AC._ 6_ _ E H8+10 W:.EH=4.8.(2022朝阳区一模)在平面直角坐标系x Oy中,对于直线/:y=kx+b,给出如下定义:若直线/与某个圆相交,则两个交点之间的距离称为直线/关于该圆的“圆截距”.(1)如图1,。的半径为1,当攵=1,6=1时,直接写出直线/关于。的“圆截距”;(2)点A/的坐标为(1,0),如图2,若OM的半径为1,当6=1时,直线/关于。的“圆截距”小于诋,求女的取值范围;如图3,若O”的半径为2,当上的取值在实数范围内变化时,直线/关于。的“圆截 距”的最小值2,直接写出b的值.【分析】(1)根据上和6的值直接写出直线的解析式,设直线与x轴交于点/,与歹轴交于 点8,根据勾股定理求出“圆截距”即可;(2)根据圆的垂径定理,确定弦长为生而时,弦的位置,注意分类,确定直线的解析 5式,根据直线的增减性确定左的取值范围即可;当最短弦长为2时,分弦在x轴上方和x轴下方两种情况讨论求解.【解答】解:k=,b=,二.直线/的解析式为y=x+l,设直线与x轴交于点4,与y轴交于点8,则/(-1,0),B(0,1),;.AB=V 12+12=V2即直线/关于。的“圆截距”为企;(2)图2如图2,设直线与丁正半轴交点为P,且P(0,1),.点的坐标为(1,0),O”的半径为1,二.圆与x轴正半轴交点为0(2,0),当6=1时,直线/的解析式为y=h c+l,当直线经过点。时,2H1=O,解得k=-;2过点作M/LL尸0,垂足为E:OP=,0。=2,-2=7 12+22=V5 J/.sin ZPQO=-=P Q疾 5sinZPQO-,MQ 5设直线PQ与圆的另一个交点为C,则 QC=2QF=-,5关于。加的“圆截距”小于空区,5:.k的取值范围是-工无V0;2设直线尸用与圆的交点为N,.,点P(0,1),点”的坐标为(1,0),:.OP=OM,:.ZPMO45 ,:,ZQMN=45 ,根据圆的对称性,直线尸。和直线尸。关于直线0N对称,此时比=。3,:./DMN=45 ,:.ZDMQ=90,二。的坐标为(1,-1),:+1=-1,解得k=-2,直线尸。的解析式为y=-2x+l,关于0M的“圆截距”小于空区,5化的取值范围是左V-2;综上,上的取值范围是攵-2或-工%0.2当上的取值在实数范围内变化时,直线/关于。”的“圆截距”的最小值2,设直线与y轴交点为。(0,/77),则过0点的“圆截距”的最小值2,如下图,BP RT=2,MQRT,由题知,为等边三角形,A ZM/?2=60,.*.2M=2Xsin 60=%,由勾股定理得,00=北 2 _ 2=泥,根据图形的对称性可知,6的值为土加.9.(2022郭州区校级一模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家,他在三角形、四边形、零和负数的运算规则,二次方程等方面均有建树,他也研究过对角线互相垂直的圆 内接四边形,我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”.(1)若平行四边形A8CQ是“婆氏四边形,则四边形/BCD是 (填序号);矩形 菱形 正方形(2)如图,四边形/BCD内接于圆,。为圆内一点,ZAPD=ZB PC=90,且N4DP=ZPB C,求证:四边形为“婆氏四边形”;(3)在(2)的条件下,B D=4,且43=我。.当。=2我时,求4c的长度;当QC的长度最小时,请直接写出t a n N/Q0的值.【分析】(1)利用平行四边形的性质,圆内接四边形的性质,“婆氏四边形”的定义和正方 形的判定定理解得即可;(2)连接4C,交PD于点、G,交B D于点E,利用相似三角形的判定与性质得到力尸Cs DPB,NPAC=NPDB;再利用直角三角形的两个锐角互余即可得出结论;(3)设利用相似三角形的性质得到CE=JEx,在Rt ADEC中,利用勾股定 理列出方程即可求得x的值,进而利用相似三角形的性质求得4E的长,结论可求;设QC的长度为a,CE=x,在Rt a OEC中,利用勾股定理列出方程,利用 20即可求 得。的最小值,利用(3)中的方法求得x值,再利用相似三角形是性质和直角三角形 的边角关系定理即可求得结论.【解答】(1)解:若平行四边形是“婆氏四边形,则四边形是正方形.理由:四边形AB CD是平行四边形,/AB C=ZADC.二四边形是圆内接四边形,A ZAB C+ZADC=ISO.A ZAB C=ZADC=90.平行四边形是矩形.四边形ZBCO是“婆氏四边形”,:.ACB D.矩形43CQ是正方形.故答案为:;(2)证明:连接4C,交PD于点G,交B D于点、E,如图,:/APD=/B PC=9G,且NADP=NPB C,:.APDsB PC.AP P D-=-.P C P BV ZAPD=ZB PC=90,ZAPD+ZDPC=ZB PC+ZDPC.即:ZAPC=ZDPB.:.dAPCs ADPB.:.ZPAC=ZPDB.V ZAPD=90,A ZPAC+ZPGA=90./PGA=/DGE,:.NPDB+/DGE=90.:.ZGED90.:.AC-LB D,.四边形/BCQ内接于圆,.四边形力BCD为“婆氏四边形”;(3)解:由(2)知:AC工B D与点、E,设CE=x,:/AEB=/DEC=9G,/B 4C=/B DC,AAB EsDCE.BE AB =.CE CD,:ab=6dc,:.B E=gCE=Mx.:B D=4,.DE4-y/3x.:CE2+DE2=CD2,-x2+(4-V3x)2=(2V3)2-解得:V2.当=禽+/时.,B E=Q=3W4,.%=W5不合题意,舍去.:.BE=Mx=3-娓.:.DE=B D-B E=y+.:LAB EsADCE,.迪也3D E CD V3/.AE=3&+愿.:.AC=AE+CE=3y/2+y/3+43-&=2百+2企;设QC的长度为a,CE=x,:/AEB=/DEC=90,/B AC=NB DC,:.AAB EsADCE.BE AB*CE W:AB=DC,:.BE=42CE=42x.V5Z)=4,:.DE=4-愿x.CE2+DE2CD2,x2+(4-V3x)2=a2-.4 x+16-f l2=0.A=(-873)2-4X4(16-/)20,J24.:a0,a2,有最小值2.即QC的长度最小值为2.A x2+(4-V3x)2=22-解得:X=:.CE=M.:.B E=3.:.DE=B D-B E=1.:.AE=y/3DE=y3.:.AC=AE+CE=2yJj-由(2)知:APDs/BPC,.AP 二 AC 二 2加二我而司:4 一.在 RtAP Z)中,tan ZADP-.P D 210.(2022城关区校级模拟)如图,在平面直角坐标系x Oy中,点/与点8的坐标分别是(1,0),(7,0).(1)对于坐标平面内的一点P,给出如下定义:如果N/PB=45,那么称点。为线段A8 的“完美点”.设4、8、尸三点所在圆的圆心为C,则点。的坐标是(4,3),G)。的半径是 3后;y轴正半轴上是否有线段A8的“完美点”?如果有,求出“完美点”的坐标;如果没有,请说明理由;(2)若点尸在丁轴负半轴上运动,则当N/P8的度数最大时,点P的坐标为(0,-6.【分析】(1)过点。作CZ)_L/8于点。,利用圆周角定理和垂径定理计算。,4。的长 度,进而得到线段OQ的长度即可得到点。坐标;利用勾股定理即可求得/C的长度,则OC的半径可求;设OC交歹轴于点。,E,连接CD,CE,过点。作CG_LCQ于点G,CF上4B于点、F,利用(1)的结论和垂径定理计算线段EG的长度,则线段OE,0。的长度可求,结论可 得;(2)设。与歹轴切于点P 在歹轴上任取一点。(与点。不重合),连接80,AQ,B Q 与OC交于点。,连接力。,利用圆周角定理和三角形的外角大于任何一个不相邻的内角,得到当点。为。与y轴的切点时,当N/尸8的度数最大,利用切割线定理求出线段。的 长即可得出结论.【解答】解:(1)点/与点8的坐标分别是(1,0),(7,0),:.OA=1,08=7.:.AB 6.过点C作CQL48于点。,如图,则 4D=8D=Lb=3.2:.OD=AO+AD=4.V ZAPB=45,:.NACB=2NAPB=90:CDAB,CA=CB,:.CDAB=3.2:.C(4,3)./c=VaD2-K:D2=3V2.0C的半径是3&.故答案为:(4,3);3&;V轴正半轴上有线段的完美点”,理由:设。交歹轴于点。,E,连接CD,CE,过点。作CG_LCD于点G,CF_L4g于点R 如 图,则ZAEB=ZADB=ZAPB=45.VCGVDE,CFL4B,Z(9=90,四边形。尸CG为矩形.:.CG=OF=4,OG=CF=3.在 中,:EG2=CE2-CG2,AG=Vce2-cg2=V2-:.GE=DG=.:.OE=OG-GE=3-OD=OG+DG=3+yJ2-:.E(0,3-近),D(0,3+&).轴正半轴上有线段45的“完美点”,“完美点”的坐标为(0,3+&)或(0,3-V2);(2)设。与y轴负半轴切于点尸,在7轴负半轴上任取一点。(与点。不重合),连接3。,AQ,3。与。交于点。,连接/Q,如图,ZADB ZAQB,:.ZAOB ZAQB.当。运动到OC与轴切时,N/尸8的度数最大./P是。的切线,:.op2=oa*ob.;.OP=T0A0B=7 1X 7=V7.:.p(o,-V7).故答案为(o,-V7).11.(2021常州一模)在平面直角坐标系x Oy中,。的半径是 m,4,3为。外两点,AB=2版.给出如下定义:平移线段使平移后的线段/B 成为。的弦(点T,B,分别为点/,8的对应点),线段44长度的最小值成为线段到。的“优距离”.图1 图2(1)如图1,。中的弦尸1尸2、尸3尸4是由线段43平移而得,这两条弦的位置关系是 平行;在点尸1,尸2,尸3,尸4中,连接点/与点 P2的线段长度等于线段到G)。的“优距离”;(2)若点/(0,7),B(2,5),线段44的长度是线段A8到。的“优距离”,则点H的坐标为(1,3);(3)如图2,若/,8是直线y=-x+6上两个动点,记线段A8到。的“优距离”为d,则d的最小值是2一;请你在图2中国出d取得最小值时的不意图,并标记相应的字 母.【分析】(1)根据平移的性质,可以得到尸1尸2尸3P4,由图可以得到4尸2的长度等于 线段到。的“优距离”;(2)根据定义和(1)提示,可以知道,平移/瓦使对应点落在圆上,即在圆上满足48/A B ,AB=A B,这样的B 只有两条,别切位于圆心两侧,根据题意画出草 图,可以得到如图1的位置,线段是线段48到。的优距离,利用/和8坐标,求 出直线解析式,从而得到直线加B 的比例系数左=-1,同时可以得到4W为等腰 直角三角形,因为/B =2让,过。作B,利用垂径定理和勾股定理,求出 OH=2尬,利用N/MO=45,得到。刀11为等腰直角三角形,过作HE,轴于点,从而可以求得“(2,2),得到直线H B 解析式为歹=7+4,设,(a,-a+4),过/作x轴于尸,在Rt a H Ob中,利用勾股定理,列出方程即可求解;(3)由(2)可知,48经过平移,对应点落在圆上,AB/A B ,AB=A B,符合条 件的/B 只有两条,并且位于。点两侧,如图2,根据垂线段最短,当8时,d 最小,过。作B,分别交4 B 于H,交48于T,用(2)中方法求解。和 OT,得到T的长度,即可解决.【解答】解:(1).18平移得到乃乃,:.AB/PPi,同理,AB P3P4,.尸1尸2尸3尸4,由图可得,连接点4与点02的线段长度等于线段43到。的“优距离”,故答案为:平行,为,;(2)如图1,过夕作3GJ_y轴于G,则G(0,5),,ZG=8G=2,NG4B=NGA4=45,:.AB=B G=2瓜设直线45为=辰+7,代入点8,得k=-1,直线 AB 为 y=-x+7,设直线4B交x轴于M,轴,.Gx 轴,A ZAMO ZGB A45 ,由(1)可得,平移48,使对应点落在O上,此时48/B,且B,这样的对应线段有两条,分别位于圆心。点两侧,所以当4,在如图位置时,线段44的长度是到。的“优距离”,过。作0_L/B,分别交B 于,交AM于T A B /AM,:.ZOHB =ZOTM=90,:./TOM=90-ZAMO45 ,连接H O,VOHVA 1 B,H=B =#B?=V5在 中,qh=7a/O2-Az H2=2V2 J过作HELc轴于E,.sin Zr(9M=sin 45o=_IO H 2:.HE=OE=2,:.H(2,2),:AB/A B,二.设直线B 为y=-x+z,代入点,得加=4,二.直线4 B 为产-x+4,设/(a,-a+4),过/作/T7,轴于尸,在 Rt Z/O月中,A。2=。卢+/产,/.a2+(-a+4)2=10,:.a=l 或 3,V-V10a/5,:AB/A B,:.ZOTM=ZOHB =90,二.OTLMN,又MON是等腰直角三角形,0r=yMN=yVo M2-K)N2=372,.,htot-ohS,:A AAB,OTLAB,:.AA/OT,又 AB/B,四边形/4777为平行四边形,d=AA=HT=9即d的最小值为企-12.(2022秋姜堰区期中)如图1,在平面内,过。7外一点尸画它的两条切线,切点分别 为M、N,若/MPN洛0,则称点。为OT的“限角点”.(1)在平面直角坐标系x Oy中,当。半径为1时,在Pi(1,0),p(-1,工),P3(-1,-1),。4(2,-1)中,。的“限角点”是;(填写序号)(2)如图2,。/的半径为衣,圆心为(0,2),直线/:=-m+6交坐标轴于点8、C,4若直线/上有且只有一个。的“限角点”,求6的值.(3)如图3,E(2,3)、F(1,2)、G(3,2),。的半径为衣,圆心Q从原点O出发,以我个单位/的速度沿直线/:y=x向上运动,若AEFG三边上存在。的“限角点”,请 直接写出运动的时间-(s)的取值范围.式进行判断即可;(2)由题意可知,当夕为圆/的“限角点”时,a 2 2当,=昱互时,EFG边上开始出现。的“限角点”,2当圆Q移动到E点在圆上时,DE=近,(L2)2+U-3)2=2,解得尸金巫或尸豆返,2 2.3一+w/5*时,瓦7G边上存在。的“限角点”,当圆Q再次移动到点E在圆上时,DE=五,Ct-2)2+(Z-3)2=2,解得 t=54V5 或5V5,2 2当,=旦2应时,跖G三边上开始又要出现。的“限角点”;2设直线EG的解析式为丁=京+6,直线y=x与直线EG的交点设为点H,.f2k+b=3*l3k+b=2,解得。=-1,lb=5解得 y=-x+5,联立方程组y-x+5,ly=x百x2解得,:,5ly=7:.H(i当。H=2 时,2(L$)2=4,2解得 尸祀+1或t=-,当片企+与,FG边上存在。的“限角点”,2.5+尸_l)为。外一点,点。为点尸的对应点,连接P。.当点(a,b)在第一象限时,求 点。的坐标(用含a,b,加的式子表示);当点M在。上运动时,直接写出。长的 最大值与最小值的积为 4於-16m+8.(用含用的式子表示)图1 图2【分析】(1)根据定义直接运算即可:先求出。点关于N(1,1)的对称点为尸(3,-1),将P绕M点顺时针旋转90得到 点尸,过尸作P凡Lx轴于点E 过点尸作尸E_Lx轴于点E,可证明尸OE之OPb(44S),再由全等的性质求出P点坐标即可;(2)过点作跖,比轴于点尸,过点P作PELEF交于点E,由(1)可得AMPFmA PME(44S),根据三角形全等的性质求出P Ca+b,b+m-a),再由对称性求出Q C-a-b,4-b-m+a);。点绕。点逆时针旋转90后得到点G,则G(0,用),由可求出GP=&,贝UP 在以G为圆心,。工为半径的圆上,设G点关于N点的对称点为,则(0,4-加),求 得QH=M,则0点在以为圆心加为半径的圆上,再根据两个相交圆的性质,分别求 出尸。的最大值为2m+2&-4,尸。的最小值为2加-2&-4,最后求出乘积即可.【解答】解:(1).,尸(-2,0),尸点绕点逆时针旋转90得到点P(0,-2),.点P关于点N的对称点为Q,:.Q(2,0);故答案为:(2,0);的坐标为(-1,3),.0点关于N(1,1)的对称点为P(3,-1),将P绕M点顺时针旋转90得到点P,过户作PFLc轴于点R过点尸作尸E_Lx轴于点,V ZPOP=9Q,/.ZPOE+ZFOP=90,V ZEPO+ZEOP=90,ZFOP=ZEPO,*:OP=OP,r./POE/OPF(AAS),:.EO=PF=,PE=OF=3,:.P(-1.-3),故答案为:(-1,-3);(2)过点作7LLr轴于点R过点P作交于点由(1)可得AMPF注APME(AAS),:.MF=EP,FP=ME,M(a,b),P(m,0),.EF=b+m-a,EP=b,.P(a+b,b+m-a),V 点、N(0,2),.Q(-a-b,4-h-m+a);P点绕O点逆时针旋转90后得到点G,G(0,m),.P(a+b,b+m-a),.*.GP=5/2(a2+b2)J,:M(a,b)在圆。上,a2+b1=,:.GP=5.P在以G为圆心,&为半径的圆上,设G点关于N点的对称点为,- 配套讲稿:
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