一次函数.pdf

学科：数学学科：数学教学内容：教学内容：一次函数一次函数新课指南新课指南1知识与技能：（1）理解一次函数和正比例函数的概念，能根据所给条件写出简单的一次函数表达式；（2）会画一次函数的图象；（3）知道两个条件可确定一个一次函数，能由两个条件求出一些简单的一次函数的表达式2过程与方法：经历探索一次函数图象的作图过程和一次函数图象的性质，初步了解作函数图象的一般步骤及由函数图象探究函数性质的能力3情感态度与价值观：通过一次函数的概念、图象、性质的探究，充分发展学生的数学应用能力，在解决实际问题的过程中，广泛使用了分类讨论、数形结合的数学思想方法，同时，使学生深刻体会数学知识来源于实际生产、生活的需求，反之，又服务于生产、生活实际4重点与难点：重点是理解一次函数和正比例函数的概念，初步了解作函数图象的一般步骤，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象及性质，能由两个已知条件求出一次函数的表达式难点是根据题设的条件寻找一次函数关系式，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象和性质，求出一次函数的表达式教材解读教材解读数学与生活数学与生活一根弹簧，长度为 12cm，当弹簧下面每挂 1kg 质量的物体时，弹簧就伸长 05cm，那么弹簧总长度 y（原长度+伸长长度）（单位：cm）与弹簧所挂物体的质量 x（单位：kg）的关系是，当 x=2 时，y=思考讨论 弹簧的总长度 y=弹簧原长度+弹簧伸长长度，已知弹簧的原长度是 12cm，每挂 1kg 质量的物体弹簧伸长 05cm，那么挂 xkg 的物体时，弹簧伸长长度为 05xcm，所以y=12+05x，当 x=2 时，y=12+052=13（cm）那么，函数关系式 y=12+0.5x 是什么函数呢？它的图象情况如何？其性质如何？知识详解知识详解知识点 1一次函数和正比例函数的概念若两个变量 x，y 间的关系式可以表示成 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的形式，则称 y是 x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x，y=-x 都是正比例函数.【说明】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量 x 的次数为 1，一次项系数 k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当 b=0，k0 时，y=b 仍是一次函数.（4）当 b=0，k=0 时，它不是一次函数.探究交流探究交流？有人说：“正比例函数是一次函数，一次函数也是正比例函数，它们没什么区别”点拨 这种说法不完全正确 正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当 b=0 时，一次函数才能成为正比例函数知识点 2确定一次函数的关系式根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含 x 的代数式表示 y知识点 3函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线知识点 4一次函数的图象由于一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数 y=kx+b的图象也称为直线 y=kx+b由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与 y 轴的交点（0，b），直线与 x 轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.知识点 5一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；k0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；kO 时，y 的值随 x 值的增大而减小（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与 x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与 x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与 y 轴交点的位置；当 b0 时，直线与 y 轴交于正半轴上；当 b0 时，直线与 y 轴交于负半轴上；当 b=0 时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于 k，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；如图 1118（l）所示，当 k0，b0 时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；如图 1118（2）所示，当 k0，bO 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；如图 1118（3）所示，当 kO，b0 时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；如图 1118（4）所示，当 kO，bO 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）（5）由于|k|决定直线与 x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线 y=x1 可以看作是正比例函数 y=x 向上平移一个单位得到的知识点 6正比例函数 y=kx（k0）的性质（1）正比例函数 y=kx 的图象必经过原点；（2）当 k0 时，图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大；（3）当 k0 时，图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小知识点 7点 P（x0，y0）与直线 y=kx+b 的图象的关系（1）如果点 P（x0，y0）在直线 y=kx+b 的图象上，那么 x0,y0的值必满足解析式 y=kx+b；（2）如果 x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以 x0，y0为坐标的点 P（1，2）必在函数的图象上例如：点 P（1，2）满足直线 y=x+1，即 x=1 时，y=2，则点 P（1，2）在直线 y=x+l 的图象上；点 P（2，1）不满足解析式 y=x+1，因为当 x=2 时，y=3，所以点 P（2，1）不在直线 y=x+l 的图象上知识点 8确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数 y=kx（k0）中只有一个待定系数 k，故只需一个条件（如一对x，y 的值或一个点）就可求得 k 的值（2）由于一次函数 y=kx+b（k0）中有两个待定系数 k，b，需要两个独立的条件确定两个关于 k，b 的方程，求得 k，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对 x，y 的值知识点 9待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法其中未知系数也叫待定系数 例如：函数 y=kx+b 中，k，b 就是待定系数知识点 10用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为 y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出 k 与 b 的值，得到函数表达式例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式解：设一次函数的关系式为 ykx+b（k0），由题意可知，+=+=,3,21bkbk解=.35,34bk此函数的关系式为 y=3534x【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式 y=kx+b，其中 k，b 是未知的常量，且 k0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k，b）；第三步，求（把求得的 k，b 的值代回到“设”的关系式 y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结（1）函数方法函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法 函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题（2）数形结合法数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用知识规律小结（1）常数 k，b 对直线 y=kx+b(k0）位置的影响当 b0 时，直线与 y 轴的正半轴相交；当 b=0 时，直线经过原点；当 b0 时，直线与 y 轴的负半轴相交当 k，b 异号时，即-kb0 时，直线与 x 轴正半轴相交；当 b=0 时，即-kb=0 时，直线经过原点；当 k，b 同号时，即-kb0 时，直线与 x 轴负半轴相交当 bO，bO 时，图象经过第一、二、三象限；当 k0，b=0 时，图象经过第一、三象限；当 bO，bO 时，图象经过第一、三、四象限；当 kO，b0 时，图象经过第一、二、四象限；当 kO，b=0 时，图象经过第二、四象限；当 bO，bO 时，图象经过第二、三、四象限（2）直线 y=kx+b（k0）与直线 y=kx(k0)的位置关系直线 y=kx+b(k0)平行于直线 y=kx(k0)当 b0 时，把直线 y=kx 向上平移 b 个单位，可得直线 y=kx+b；当 bO 时，把直线 y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线 y=kx+b（3）直线 b1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2（k10，k20）的位置关系k1k2y1与 y2相交；=2121bbkky1与 y2相交于 y 轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；=2121,bbkky1与 y2平行；=2121,bbkky1与 y2重合.典例剖析典例剖析基本概念题基本概念题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件例 1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x；（2）y=-x2；（3）y=-3-5x；（4）y=-5x2；（5）y=6x-21（6）y=x(x-4)-x2.分析 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l）（6）是正比例函数例 2当 m 为何值时，函数 y=-（m-2）x32m+（m-4）是一次函数？分析 某函数是一次函数，除应符合 y=kx+b 外，还要注意条件 k0解：函数 y=（m-2）x32m+（m-4）是一次函数，=,0)2(,132mmm=-2.当 m=-2 时，函数 y=（m-2）x32m+（m-4）是一次函数小结某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为 1，系数不为0而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为 0基础知识应用题基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式例 3一根弹簧长 15cm，它所挂物体的质量不能超过 18kg，并且每挂 1kg 的物体，弹簧就伸长 05cm，写出挂上物体后，弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量 x(kg）之间的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围，并判断 y 是否是 x 的一次函数分析（1）弹簧每挂 1kg 的物体后，伸长 05cm，则挂 xkg 的物体后，弹簧的长度 y为（l5+05x）cm，即 y=15+05x（2）自变量 x 的取值范围就是使函数关系式有意义的 x 的值，即 0 x18(3)由 y=15+05x 可知，y 是 x 的一次函数解：（l）y=15+05x（2）自变量 x 的取值范围是 0 x18（3）y 是 x 的一次函数学生做一做（2003新疆）乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约 600 千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为 58 千米时，则火车离库尔勒的距离 s（千米）与行驶时间 t（时）之间的函数关系式是.老师评一评 研究本题可采用线段图示法，如图 1119 所示火车从乌鲁木齐出发，t 小时所走路程为 58t 千米，此时，距离库尔勒的距离为 s 千米，故有 58t+s=600，所以，s=600-58t例 4（2003厦门）某物体从上午 7 时至下午 4 时的温度 M（）是时间 t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中 t=0 表示中午 12 时，t=1 表示下午 1 时），则上午 10 时此物体的温度为分析 本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出 t 的具体值从题中可以知道，t=0 表示中午 12 时，t=1 表示下午 1 时，则上午 10 时应表示成 t=-2，当 t=-2时，M=（-2）3-5（-2）+100=102（）答案：102例 5 已知 y-3 与 x 成正比例，且 x=2 时，y=7.（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=4 时，求 y 的值；（3）当 y=4 时，求 x 的值分析 由 y-3 与 x 成正比例，则可设 y-3=kx，由 x=2，y=7，可求出 k，则可以写出关系式解：（1）由于 y-3 与 x 成正比例，所以设 y-3=kx把 x=2，y=7 代入 y-3=kx 中，得7-32k，k2y 与 x 之间的函数关系式为 y-3=2x，即 y=2x+3（2）当 x=4 时，y=24+3=11（3）当 y4 时，4=2x+3，x=21.学生做一做 已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是.老师评一评 由 y 与 x+1 成正比例，可设 y 与 x 的函数关系式为 x=k（x+1）.再把 x=5，y=12 代入，求出 k 的值，即可得出 y 关于 x 的函数关系式设 y 关于 x 的函数关系式为 y=k（x+1）.当 x=5 时，y=12，12=（5+1）k，k=2y 关于 x 的函数关系式为 y=2x+2【注意】y 与 x+1 成正比例，表示 y=k(x+1)，不要误认为 y=kx+1.例 6求直线 y=-2x-3 与 x 轴和 y 轴的交点，并画出这条直线分析 要注意 x 轴和 y 轴上点的特征，x 轴上所有点的纵坐标为 0，y 轴上所有点的横坐标为 0，两个交点的坐标求出后，利用这两点就可以画直线了解：令 x=0，则 y=-3；令 y=0，则 x=-23该直线与 x 轴的交点为（-23，0），与 y 轴的交点为（0，-3）图象如图 1120 所示学生做一做 函数 y=-32x+1 的图象不经过（）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限老师评一评因为 k=-32O，且 b=1O，所以函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选 B 项例 7（2003哈尔滨）若正比例函数 y=（1-2m）x 的图象经过点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2），当 x1x2时，y1y2，则 m 的取值范围是（）AmOBm0Cm21DmM分析 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当 x1x2时，y1y2，说明 y 随 x 的增大而减小，所以 1-2mO,m21，故正确答案为 D 项学生做一做某校办工厂现在的年产值是 15 万元，计划今后每年增加 2 万元（1）写出年产值 y（万元）与年数 x（年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求 5 年后的产值老师评一评（1）年产值 y（万元）与年数 x（年）之间的函数关系式为 y=15+2x（2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为 x0，因此，函数 y=15+2x的图象应为一条射线画函数 y=12+5x 的图象如图 1121 所示（3）当 x=5 时，y15+25=25（万元）5 年后的产值是 25 万元例 8 已知一次函数 y=kx+b 的图象如图 1122 所示，求函数表达式分析 从图象上可以看出，它与 x 轴交于点（-1，0），与 y 轴交于点（0，-3），代入关系式中，求出 k 为即可解：由图象可知，图象经过点（-1，0）和（0，-3）两点，代入到 y=kx+b 中，得+=+=,03,0bbk=.3,3bk此函数的表达式为 y=-3x-3.例 9求图象经过点（2，-1），且与直线 y=2x+1 平行的一次函数的表达式分析 图象与 y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为 2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出 b 即可解：由题意可设所求函数表达式为 y=2x+b，图象经过点（2，-1），-l=22+bb=-5，所求一次函数的表达式为 y=2x-5.例 10 已知弹簧的长度 y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量 x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为 6cm，挂 4kg 的重物时，弹簧的长度是 72cm，求这个一次函数的表达式分析 题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式 y=kx+b，再由已知条件可知，当 x=0 时，y=6；当 x=4 时，y=72求出 k，b 即可解：设这个一次函数的表达式为 y=kx+b由题意可知，当 x=0 时，y=6；当 x=4 时，y=72.把它们代入 y=kx+b 中得+=+=,42.7,06bxb=.6,3.0bk这个一次函数的表达式为 y=03x+6学生做一做（2003陕西）已知直线 y=2x+1（1）求已知直线与 y 轴交点 M 的坐标；（2）若直线 y=kx+b 与已知直线关于 y 轴对称，求 k，b 的值老师评一评（1）令 x=0，则 y=20+1=1，M（0，1）直线 y=2x+1 与 y 轴交点 M 的坐标为(0，1)（2）直线 y=kx+b 与 y=2x+l 关于 y 轴对称，两直线上的点关于 y 轴对称又直线 y2x+1 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A（-21，0），B（0，1）,A（-21，0），B（0，1）关于 y 轴的对称点为 A（-21，0），B（0，1）直线 y=kx+b 必经过点 A（-21，0），B（0，1）把 A（-21，0），B（0，1）代入 y=kx+b 中得+=+=,01,210bbk=.1,2bkk-2，b1小结当两条直线关于 x 轴（或 y 轴）对称时，则它们图象上的点也必关于 x 轴（或 y轴）对称例如：对于两个一次函数，若它们关于 x 轴对称，求出已知一个一次函数和 x轴、y 轴的交点，再分别求出这两个点关于 x 轴的对称点，利用求出的两个对称点，就可以求出另一个函数的解析式综合应用题综合应用题本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题例 11已知 y+a 与 x+b（a，b 为是常数）成正比例（1）y 是 x 的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y 是 x 的正比例函数？分析 判断某函数是一次函数，只要符合 y=kx+b（k，b 中为常数，且 k0）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合 y=kx(k 为常数，且 k0)即可解：（1）y 是 x 的一次函数y+a 与 x+b 是正比例函数，设 y+a=k(x+b)（k 为常数，且 k0）整理得 y=kx+（kb-a）k0，k，a，b 为常数，y=kx+(kb-a)是一次函数（2）当 kb-a=0，即 a=kb 时，y 是 x 的正比例函数例 12 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交 50 元月租费，然后每通话 1 分，再付电话费 04 元；“神州行”使用者不交月租费，每通话 1 分，付话费 06 元（均指市内通话）若 1 个月内通话 x 分，两种通讯方式的费用分别为 y1元和 y2元（1）写出 y1，y2与 x 之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费 200 元，则选择哪种通讯方式较合算？分析 这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论解：（1）y1=50+04x（其中 x0，且 x 是整数）y2=06x（其中 x0，且 x 是整数）(2)两种通讯费用相同，y1=y2，即 50+04x=06xx250一个月内通话 250 分时，两种通讯方式的费用相同（3）当 y1=200 时，有 200=50+04x，x=375（分）“全球通”可通话 375 分当 y2=200 时，有 200=06x，x=33331（分）“神州行”可通话 33331分37533331，选择“全球通”较合算例 13 已知 y+2 与 x 成正比例，且 x=-2 时，y=0（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当 x 取何值时，y0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求 m 的值；（5）设点 P 在 y 轴负半轴上，（2）中的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，且 SABP=4，求 P 点的坐标分析 由已知 y+2 与 x 成正比例，可设 y+2=kx，把 x=-2，y=0 代入，可求出 k，这样即可得到 y 与 x 之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m，6）在该函数的图象上，把 x=m，y=6 代入即可求出 m 的值解：（1）y+2 与 x 成正比例，设 y+2=kx（k 是常数，且 k0）当 x=-2 时，y=00+2k（-2），k-1函数关系式为 x+2=-x，即 y=-x-2（2）列表；x0-2y-20描点、连线，图象如图 1123 所示（3）由函数图象可知，当 x-2 时，y0当 x-2 时，y0(4)点（m，6）在该函数的图象上，6=-m-2,m-8（5）函数 y=-x-2 分别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，A（-2，0），B（0，-2）SABP=21|AP|OA|=4，|BP|=428|8=OA.点 P 与点 B 的距离为 4又B 点坐标为(0，-2),且 P 在 y 轴负半轴上，P 点坐标为(0，-6).例 14 已知一次函数 y=（3-k）x-2k2+18.（1）k 为何值时，它的图象经过原点？（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k 为何值时，它的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？（4）k 为何值时，它的图象平行于直线 y=-x？（5）k 为何值时，y 随 x 的增大而减小？分析 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与 y 轴的交点在 y 轴上方，说明常数项 bO；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y 随 x 的增大而减小，说明一次项系数小于 0解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数=+,03,01822kkk-2当 k=-3 时，它的图象经过原点（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.-2=-2k2+18，且 3-k0，k=10当 k=10时，它的图象经过点(0，-2)（3）图象与 y 轴的交点在 x 轴上方，即 b0-2k2+180，-3k3，当-3k3 时，它的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方（4）函数图象平行于直线 y=-x，3-k=-1，k4当 k4 时，它的图象平行于直线 x=-x（5）随 x 的增大而减小，3-kOk3当 k3 时，y 随 x 的增大而减小例 15判断三点 A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上分析 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上解：设过 A，B 两点的直线的表达式为 y=kx+b由题意可知，+=+=,02,31bbk=.2,1bk过 A，B 两点的直线的表达式为 y=x-2当 x=4 时，y=4-2=2点 C（4，2）在直线 y=x-2 上三点 A（3，1），B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上学生做一做判断三点 A（3，5），B（0，-1），C（1，3）是否在同一条直线上.老师评一评由于两点确定一条直线，因此选取其中的两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入函数表达式中，若成立，说明在此直线上，即这三个点在同一条直线上，反之，这三个点不在同一条直线上设过点 A（3，5），B（0，-1）的直线表达式为 y=kxb由题意可知，+=+=,01,35bbk=,1,2bk过 A，B 两点的直线表达式为 y=2x-1当 x=l 时，y=12-l=13点 C（1，3）不在直线 y=2x-l 上，即三点 A（3，5），B（0，-1），C（1，3）不在同一条直线上探索与创新题探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用例 16老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x 从 0 开始逐渐增大时，y=2x+8 和 y=6x 哪一个的函数值先达到 30？这说明了什么？（2）直线 y=-x 与 y=-x+6 的位置关系如何？甲生说：“y=6x 的函数值先达到 30，说明 y=6x 比 y=2x+8 的值增长得快”乙生说：“直线 y=-x 与 y=-x+6 是互相平行的”你认为这两个同学的说法正确吗？分析（1）可先画出这两个函数的图象，从图象中发现，当 x2 时，6x2x+8，所以，y=6x 的函数值先达到 30（2）直线 y=-x 与 y=-x+6 中的一次项系数相同，都是-1，故它们是平行的，所以这两位同学的说法都是正确的解：这两位同学的说法都正确例 7 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠”乙旅行社说：“所有人按全票价的 6 折优惠”已知全票价为 240 元（1）设学生人数为 x，甲旅行社的收费为 y甲元，乙旅行社的收费为 y乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠分析 先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式，再通过比较，探究结论解：（1）甲旅行社的收费 y甲（元）与学生人数 x 之间的函数关系式为y甲=240+21240 x=240+120 x.乙旅行社的收费 y乙（元）与学生人数 x 之间的函数关系式为y乙=24060（x+1）=144x+144（2）当 y甲=y乙时，有 240+120 x=144x+144，24x96，x=4当 x=4 时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以当 y甲y乙时，240+120 x144x+144，24x96，x4当 x4 时，去乙旅行社更优惠当 y甲y乙时，有 240+120 x140 x+144，24x96，x4当 x4 时，去甲旅行社更优惠小结此题的创新之处在于先通过计算进行讨论，再作出决策，另外，这两个函数都是一次函数，利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在 3000 千克以上（含 3000 千克）的有两种销售方案甲方案：每千克 9 元，由基地送货上门；乙方案：每千克 8 元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为 5000 元（1）分别写出该公司两种购买方案的付款 y（元）与所购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量 X 的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由老师评一评先求出两种购买方案的付款 y（元）与所购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式，再通过比较，探索出结论（1）甲方案的付款 y甲（元）与所购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式为y甲=9x（x3000）；乙方案的付款 y乙（元）与所购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式为y乙=8x+500O（x3000）（2）有两种解法：解法 1：当 y甲=y乙时，有 9x=8x+5000，x=5000当 x=5000 时，两种方案付款一样，按哪种方案都可以当 y甲y乙时，有 9x8x+5000，x5000又x3000，当 3000 x5000 时，甲方案付款少，故采用甲方案当 y甲y乙时，有 9x8x+5000，x5000当 x500O 时，乙方案付款少，故采用乙方案解法 2：图象法，作出 y甲=9x 和 y乙=8x+5000 的函数图象，如图 1124 所示，由图象可得：当购买量大于或等于 3000 千克且小于 5000 千克时，y甲y乙,即选择甲方案付款少；当购买量为 5000 千克时，y甲y乙即两种方案付款一样；当购买量大于 5000 千克时，y甲y乙，即选择乙方案付款最少【说明】图象法是解决问题的重要方法，也是考查学生读图能力的有效途径.例 18（2003济南）一次函数 y=kx+b 的自变量 x 的取值范围是-3x6，相应函数值的取值范围是-5y-2，则这个函数的解析式为.分析 本题分两种情况讨论：当 k0 时，y 随 x 的增大而增大，则有：当 x=-3，y=-5；当 x=6 时，y=-2，把它们代入 y=kx+b 中可得+=+=,62,35bkbk=,4,31bk函数解析式为 y=-31x-4当 kO 时则随 x 的增大而减小，则有：当 x=-3 时，y=-2；当 x=6 时，y=-5，把它们代入 y=kxb 中可得+=+=,65,32bkbb=,3,31bk函数解析式为 y=-31x-3.函数解析式为 y=31x-4，或 y=-31x-3.答案：y=31x-4 或 y=-31x-3.【注意】本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.例 19 如图 1125 所示，正方形 ABCD 的边长是 4，将此正方形置于平面直角坐标系 xOy中，使 AB 在 x 轴的正半轴上，A 点坐标是（1，0）.（1）经过点 C 的直线 y34x-38与 x 轴的交点为 E，求四边形 AECD 的面积；（2）若直线l经过点 E，且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l的表达式，并在坐标系中画出直线1分析 四边形 ABCD 是直角梯形，S四边形 ABCD21（AE+CD）AD过 E 点的直线将正方形的面积二等分，则直线l必过正方形的中心，由旋转的性质可知，AE=CF，由此确定 F 点的坐标，进一步求出直线l的解析式解：（1）由题意可知，A（l，0），B（5，0），C（5，4），D（l，4）官线 y=34x-38与 x 轴的交点为 E（2，0）.AE1，CD4，AD4S四边形 ABCD=21（AE+CD）AD=21（1+4）4=10.（2）设直线l与 DC 的交点为 F，由几何知识可知 AE=FC，F 点的坐标为（4，4）.设直线l的表达式为 y=kx+b，则有+=+=,44,20bkbk=.4,2bk所求直线l的解析式为 y=2x-4小结用待定系数法求一次函数的表达式，需要两个独立的条件确定两个关于 k，b 的方程，求出 k，b 为即可，这两个条件通常是两个点或两对 x，y 的值另外，（2）问中也可以利用正方形性质，求出正方形中心坐标为（3，2），运用中心坐标（3，2）和 E（2，0）也可求出直线l的表达式已知直线 x=kx+b 经过点（25，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为425，求此直线的解析式易错与疑难题易错与疑难题例 20已知直线 y=kx+b 经过点（25，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为425，求此直线的解析式.错解：直线经过点（25，0），0=25k+b,设直线 y=kx+b 与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为 A（-kb，0），B（0，b），又 SABO=425,SABO=21|OA|OB|=21（-kb）b=425.即425)(21=bkb，由得 b=-25k，代入中得 k=-2，b=5.所求直线的解析式为 y=-2x+5分析 上述解法出现了漏解的情况，由于解题时忽略了|OA|=|-kb|，|OB|=|b|中的绝对值符号，因此，也就漏掉了一个解析式正解：直线经过点（25，0），0=25k+b，设直线 y=kx+b 与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为 A（-kb，0），B（0，b），|OA|=|-kb|=|kb|，|OB|=|b|.又SAOB=425，SAOB=21|OA|OB|=21|kb|b|=425，即42521=bkb，由得 b=-25k，代入中得|k|=2，k12，k2-2，b1-5，b25所求直线的解析式为 y=2x-5 或 y=-2x+5例 21已知一次函数 ykxb 中自变量 x 的取值范围是-3x8，相应函数值的取值范围是-11y9，求此函数的解析式错解：由-3x8 得-3k+bkx+b8k+b,即-3k+by8k+b又-11y9，=+=+,98,113bkbk=.1161,1120bk函数关系式为 y=11611120 x.分析 对于字母已知数 k，因取值不同，会得到不同的关系式，锗解中只考虑了 k0 的情况，忽略了 kO 的情况正解：分两种情况讨论：当 k0 时，由-3x8 得-3k+bkx+b8k+b，好-3k+by8k+b又-11y9，=+=+,98,113bkbk=.1161,1120bk函数关系式为 y=11611120 x.当 k0 时，由-3x8 得-3k+bbx+b8k+b，即-3k+by8k+b.又-11y9，=+=+.118,93bkbk=.1139,1120bk函数关系式为 y=-11391120+x.中考展望中考展望中考命题总结与展望中考命题总结与展望近几年来，在全国各地的中考题中，涉及正比例函数、一次函数的知识较多，尤其是求函数的解析式的考题利用函数的图象及性质解题等经常出现，几乎每年都有，各种题型都有尤其是随着课程改革的深入，本节知识仍是中考命题的热点，不乏有创新题、探究题出现，综合型大题也屡屡出现，因此，平时应多加训练，重点是与几何知识、方程（组）和不等式知识的综合应用中考试题预测中考试题预测例 1（2004南京）某地举办乒乓球比赛的费用 y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用 b（元），另一部分与参加比赛的人数 x（人）成正比例，当 x=20时 y=160O；当 x=3O 时，y=200O（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）动果有 50 名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？分析 设举办乒乓球比赛的费用 y（元）与租用比赛场地等固定不变的费用 b（元）和参加比赛的人数 x（人）的函数关系式为 y=kx+b（k0）.把 x=20，y=1600；x=30，y=2000 代入函数关系式，求出 k，b 的值，进而求出 y 与 x之间的函数关系式，当 x=50 时，求出 y 的值，再求得 y50 的值即可解：（1）设 y1=b，y2=kx（k0，x0），y=kx+b又当 x=20 时，y=1600；当 x=30 时,y=2000，+=+=,302000,201600bkbk=.800,40bky 与 x 之间的函数关系式为 y=40 x+800（x0）.（2）当 x=50 时，y=4050+800=2800（元）每名运动员需支付 280050=56（元答：每名运动员需支付 56 元例 2（2004杭州）已知一次函数 y=-2x+b，当 x=3 时，y=l，则直线 y=-2x+b 在 y 轴上的截距为.分析 求直线在 y 轴上的截距，就是要求|b|，因为当 x=3 时，y=1，所以有 l=-23+b，b=7，|b|=7，即直线在 y 轴上的截距为 7答案：7例 3（2004广东）已知一次函数 y=kx+b，当 x=-4 时，y 的值为 9；当 x=2 时，y 的值为-3（1）求这个函数的解析式。（2）在直角坐标系内画出这个函数的图象分析 求函数的解析式，需要两个点或两对 x，y 的值，把它们代入 y=kx+b 中，即可求出 k 在的值，也就求出这个函数的解析式，进而画出这个函数的图象解：（1）由题意可知+=+=,23,49bkbk=.12bk这个函数的解析式为 x=-2x+1.(2)列表如下：x021y10描点、连线，如图 1126 所示即为 y=-2x+1 的图象例 4（2OO4吉林）如图 1127 所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距某项研究表明，一般情况下人的身高 h 是指距 d 的一次函数，下表是测得的指距与身高的一组数据指距 d/cm20