线段的垂直平分线的性质和判定定理.doc

§线段的垂直平分线
教材分析：
线段的垂直平分线的概念前面已学过，本课是进一步理解线段垂直平分线的性质，学会线段的垂直平分线的做法，会做轴对称图形的对称轴。
线段的垂直平分线的性质，在计算、证明、作图中有着广泛的应用，可以简化证明,方便计算。
在本课的学习中,应注重联系线段的垂直平分线性质,提高综合运用知识的能力。
学情分析：
由于本课的难点是线段的垂直平分线定理和逆定理的联系，因此，需注重对定理和逆定理的题设与结论的分析，使同学们能正确理解这两个定理的关系，能根据命题的条件准确地选择定理、选择方法，从而提高解决问题的能力。
学习目标：
1.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段的垂直平分线的判定定理.
2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.
学习重点：线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用
学习难点：线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明
教学方法：观察实践法，讲练结合法，自主探究法，合作探究法
教学手段：多媒体课件
教学过程：
一、 情景引入
请每位同学仔细观察老师的操作活动：

纸上有一条线段AB，现在进行对折，使得点A与点B重合。
在折痕上任取点C，并连接CA,CB，大家观察CA与CB的数量关系？
‚在折痕上任取一点，连接,大家观察的数量关系又如何？
设计意图：通过让学生观察教师的折纸过程，归纳得到线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，激发学生的学习兴趣，吸引学生的有意注意。
二、 新课讲解
（一）初步探究
通过刚才的折纸活动我们得到：
命题：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
1、如何判断其为真命题呢？
2、这个命题的条件和结论分别是什么？
设计意图：问题1的设计让学生明确证明的必要性，实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明；问题2的提出为了下一步的证明做准备，让学生会找文字命题的条件和结论。
（二）自主探究
1.请根据条件和结论画出图形，写出已知和求证.
1-1

设计意图：帮助学生熟悉文字证明题的步骤，画出几何图形；‚写出已知和求证；ƒ写出证明过程.主要培养学生的符号意识，分析文字命题并用几何语言进行表述已知条件和求证，充分发挥了学生的主体性，增强了分析问题和解决问题的能力。
学生自主思考并完成证明过程，待A学生依据图1-1讲解完证明思路给予鼓励，进一步提示学生：对已知条件的解读是否完整？从而激发学生的思考，对C与P重合的情况（1-2）进行证明，更加深了学生对几何证明题已知条件解读的重要性，而且在无形中强化了该命题中P为MN上任意一点。

1-2

经过严密的数学推理，我们证明了其为真命题，那么我们可以称其为
定理：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
教师：既然证明了这个定理，在几何问题中又该如何使用呢？

学生：∵P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA=PB ( 线段垂直平分线上的点到
这条线段两个端点的距离相等. )
设计意图：学生经过严密的数学推理得到了这个定理，顺理成章的想到在什么样的情况下使用呢？此问题的回答可以达到提高学生对定理的几何运用能力。
(三)勇攀高峰
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果是，请加以证明.
设计意图：初中生的好奇心强烈，既然我们得到了线段垂直平分线的性质定理，那么它的逆命题会是真命题吗？能否证明得到判定定理呢？这一问题的设置看似突兀却又在情理之中，使得学生的学尽在教师的掌握之中。
学生：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个
点在这条线段的垂直平分线上．
接下来教师引导学生类比刚才命题的证明，先根据条件画出图形，并写出已知和求证。
设计意图：由于刚才的铺垫，学生在此处可谓游刃有余，既强化了文字证明题的三个步骤，又使得学生能运用到其他的文字证明题。
（四） 合作探究
已知：如图，线段AB，PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.

学生小组合作完成，力求多种证明方法。小组讨论完毕，书写到展示卡上。学生举手上台把学习成果展示到黑板上并进行分析讲解，教师请不同证法的三个小组代表上台讲解。待讲解完毕进行集体打分，并关注其余小组的证明情况，便于对学情的及时了解和反馈。
经过同学们自己的努力，我们证明了这个命题，那么现在我们可以称其为
定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
那么如何用呢？（进一步使学生明确证明定理就是为了运用）
（五） 例题讲解
已知：如图 ，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且 OB = OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC．

这一环节由学生自主完成证明过程，并反馈证明思路和每一步的理由，达到学生教会学生的目的，教师可以静静的做一个学生。
（六） 拓展应用
1．如图，是一个三角形测平架，已知AB＝AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂．调整架身，使点A恰好在重锤线上，AD和BC的关系为________________

2．2．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若AB=5，BC=4，则△DBC的周长为________．

设计意图：本环节的设置为了使学生能较好的运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理，完成本节课的第二个学习目标。
（七） 课堂小结
这节课，感受最深的是……学会了什么……
1.证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能运用这两个定理。
2.判断一个数学结论是否正确，必须进行有根有据的证明.
3.文字证明题的三个步骤：画出几何图形；
‚写出已知和求证；
ƒ写出证明过程.
此环节由学生自主完成，有难度的教师进行提示。
（八）当堂检测
1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED=_____cm；

2.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知△PAB的周长为14，PA=4，则线段AB的长度为________.

3．如图，M、N是线段AB的垂直平分线CD上的两点．那么∠MAN_____∠MBN( > ,<, =)

4. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE交AB于E, ∠A=30°，
∠ACB=70°，则∠BCE=________.

5.如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD___DC,点D在____的垂直平分线上.

（九） 作业布置
习题1.7 1,3,4题
（十） 板书设计

PPT
线段的垂直平分线（1）
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
已知：AC=BC,PC⊥AB,P为MN上任意一点
求证：PA=PB
几何语言：
学生
成果
展示
定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
已知：PA=PB
求证：点P在AB的垂直平分线上
几何语言:

教学反思：本节课的设计流畅，从本班学生的学情出发，由简单的折纸引入，使学生直观感知定理，并体会证明的必要性，教学环节设计恰当，环环相扣，学生通过自主探究和合作探究证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，教师通过学习过程的设置和板书让学生对文字证明题的三个步骤的使用做到游刃有余，充分体现了新课改理念下教师的引导性和学生的主体性。
整个教学过程，体现以学生发展为本的精神，本节课我设计的教学模式以学生主体性学习为主，提出问题让学生想，设计问题让学生做，方法规律让学生说。教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥了学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人。
在教学过程中我特别注重学生几何语言的训练，在学生总结出定理和逆定理后，引导学生根据文字结合图形写出它相应的几何语言，这为学生做证明题时的推理打下了基础。