函数的奇偶性.doc

1. 函数的奇偶性
2. (050808)
一、函数奇偶性的定义
1.奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数。
2.偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。
3.对称性
奇函数的图象关于原点对称；函数图象关于原点对称，则函数为奇函数。
偶函数的图象关于y轴对称；函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数。
4.特别提醒：
函数y=f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件是：它的定义域关于原点对称，不具备上述对称性的，则既不是奇函数，也不是偶函数。
二、函数奇偶性的判断
(一)利用定义判断函数的奇偶性
1.求：求出函数的定义域；.
2.看：看定义域是否关于原点对称（若不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数）；
3.化简：化简函数关系式；
4.验证：验证f(-x)=-f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立；
5.结论：根据验证下结论（奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数）
注意：在函数的定义域关于原点对称的前提下，对于较复杂
的函数，可以计算f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)的值：
若f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数；
若f(-x)-f(x)=0，则是f(x)偶函数。
(二)利用图象判断函数的奇偶性
1.函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；
2.函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数。
三、有关函数奇偶性的几个结论
1.若函数f(x)是奇函数，且x=0时有意义，则f(0)=0；
2.若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0（x∈I，I是关于原点对称的区间）；
3.奇函数在其对称区间上有相同的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性相反；
4.奇函数与奇函数的和为奇函数，奇函数与奇函数的积为偶函数，偶函数与偶函数的和为偶函数，偶函数与偶函数的积为偶函数，奇函数与偶函数的积为奇函数。
5.一般地，偶函数没有反函数，若有反函数则一定是f(x)=c，且函数f(x)定义域为{0}。