第十六章二次根式导学案.doc

16.1 二次根式

学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、 理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目.
2、 理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简.
【重点难点】
1、 二次根式的性质.
2、 能确定二次根式中字母的取值范围.

二次根式的性质
二次根式的有关概念
二次根式：一般地，形如的式子叫做二次根式
代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式
二次根式
二次根式的双重非负性

①被开方数a非负，即a≥0
②本身非负，即≥0
二次根式的有关公式

知识概览图

（）2=a（a≥0）

新课导引
如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能收到电视节目的区域就越广．如果电视塔高h km，电视节目信号的传播半径为r km，则它们之间存在近似关系式，r= ，其中R是地球半径，R≈6400 km．若某个电视塔高为200 km，则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少?
【问题探究】 因为R≈6400 km，h＝200 km，所以求传播半径r，实际上就是求的值，即求的值．怎么求的值呢?
【解析】因为16002＝2560000，所以＝1600．
所以r ≈=1600(km)
教材精华

知识点1 二次根式的概念
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．其中“”读作“二次根号”．
拓展 (1)二次根式必须含有二次根号“”．如，等都有“”，虽然=4，但是4是二次根式的计算结果，因此，，，等也都是二次根式.
(2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提是必须保证有意义，即a≥0，也就是说，被开方数必须是非负数．例如：，因为无论 a取什么实数，都有a2≥0，所以是二次根式．而，都不是二次根式，因为它们虽然都有“”，但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的．因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在“”，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母的取值范围．
(3)“”的根指数为2，即“”，我们常省略根指数2，写作“”，不要误把“”的根指数当做0．如就不是二次根式，因为它的根指数是3．
(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：与相乘，要写成的形式，此时的有理数称为二次根式的系数.

知识点2 确定二次根式中字母的取值范围
要使有意义，被开方数a就必须是非负数，即a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围，如，只有当2x+1≥0，即x≥时，二次根式才有意义. 再如，对于式子来说，只有当即-1＜x≤3时，二次根式才有意义.

拓展 对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.

知识点3 二次根式的性质
二次根式的双重非负性: ≥0，a≥0，因为（a≥0）表示非负数a的算术平方根，所以由算术平方根的定义可知≥0，如，等都是非负数.
（)2=a（a≥0）. 由于（a≥0）表示非负数a和算术平方根，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身a，因此有（)2=a，例如：（)2=3，（)2=6，（)2=1.5.
拓展  （1）（)2=a（a≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数.
（2）把（)2=a（a≥0）逆用，写成a=（)2（a≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，2可以写成（)2，所以x2-2=x2-（)2=（x+）（x-）.
（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如：
（3)2=32×（)2=9×2=18. （)2=（)2×（)2=×6=等，则用到了积的乘方法则（ab)2=a2b2.

知识点4 的化简
由于 表示a2的算术平方根，所以的化简结果必须是个非负数. 而当有意义时a2（a≥0），这里a可以正，可以负，也可以是0. 为了保证的化简结果非负，所以在化简结果中添加绝对值符号，即，然后再根据a的符号化简绝对值. 比如：. 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如. 如果中a的符号不确定，那么要讨论. 即=

拓展 （)2与的区别与联系，如下表所示：

（)2

字母a
的取值
范围
不同
被开方数a的取值范围为a≥0，即a是一个非负数，且（)2=a. 例如：，，无意义
被开方数a2中的a可取一切实数，也就是说，a既可以是正数，也可以是负数，还可以是零. =例如当a=3时，，当a=-3时
意义
不同
（)2=a（a≥0）表示a的算术平方根的平方. 例如表示5的算术平方根的平方，结果等于5
表示a的平方的算术平方根. 例如： 表示3的平方的算术平方根，结果等于3
形式
不同
（a≥0），其结果只有一种形式，就是非负数a本身
，其结果有两种形式，与a的取值有关，当a≥0时，，当a＜0时，
联系
（a≥0）是一个非负数
≥0是一个非负数
当a≥0时，

知识点5 代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式. 例如：5，a，a+b，ab，(t≠0)，x3，，等都是代数式.
拓展 代数式中不含有“＝”　“＞”　“＜”等符号，只有运算符号.

课堂检测
基本概念题
1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）； （10）

基础知识应用题
2、当x取何值时，下列各式有意义？
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）.

3、实数a，b在数轴上的位置如图21-1所示，化简.
图21-1

综合应用题
4、（1）三角形的高是底的，底为xcm，则这个三角形的面积是 cm2;
（2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是 （设第一个圆的半径为r）.

探索创新题
5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值
甲同学的做法是：
原式＝
乙同学的做法是：
原式＝
谁的做法是正确的？说明理由.

体验中考
1、若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞1且x≠2 B. x≥1
C. x≠2 D. x≥1且x≠2
2、若x，y为实数，且，则（x＋y）2010的值为 .
学后反思

附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否含有二次根号“”；二是看被开方数是否是非负数.
解：（1）∵-3＜0，∴不是二次根式.
（2）∵(-3)2＞0，∴是二次根式.
（3）∵(-3)3=-27＜0，∴不是二次根式.
（4）∵的根指数3，∴不是二次根式.
（5）由于中的-x的符号不能确定，因此应分两种情况讨论.
①当x≤0时，是二次根式；
②当x＞0时，不是二次根式.
∴不一定是二次根式.
（6）∵的根指是4，∴不是二次根式.
（7）∵-2a2≤0，∴-2a2-1＜0，∴不是二次根式.
（8）∵(x+3)2≥0，当分母x+3=0时，原式没有意义，
∴当x≠-3时，是二次根式.
∴不一定是二次根式.
（9）∵-(a-4)2≤0，∴只有当a-4=0，即a=4时，是二次根式；
当a≠4时，-(a-4)2＜0，不是二次根式.
综上，不一定是二次根式.
（10）∵m2+2m+1=(m+1)2≥0，∴是二次根式.
【解题策略】 本题主要考查对二次根式的概念的理解，一定要注意当被开方数中含有字母时，应考虑字母的取值范围，即二次根式中的a必须是非负数，本题体现了分类讨论思想，在具体解题时，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的.
2、分析 本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母.
解：（1）欲使有意义，则必有.
∴当x=0时，有意义.
（2）欲使有意义，则必有，且x≠-2.
∴当x≤0，且x≠-2时，有意义.
（3）∵(x-1)2≥0，∴无论x取何实数，都有意义.
（4）欲使有意义，则必有2-3x＞0，∴x＜.
∴当x＜时，有意义.
（5）欲使有意义，则必有，且x≠2.
∴当x≥-2，且x≠2时，有意义.
（6）欲使有意义，则必有.
∴当x≥3时，有意义.
（7）欲使有意义，则必有，且x≠-1.
∴当x≤，且x≠-1时，有意义.
（8）欲使有意义，则必有，且a≠-1.
∴当a≤2，且a≠-1时，有意义.
【解题策略】 本例中的（2）及（4）~（8）小题应充分考虑到分母不能为零的情况，（6）小题中，由x-3≥0，得x≥3，由x2-3≠0，得x≠±，而±均不在x≥3的范围内，所以只需满足x≥3即可. （7）小题中，由1-2x≥0，得x≤，由≠0，得x≠±1，只有x=-1在x≤的范围内，而x=1不在x≤的范围内，所以只需满足x≤，且x≠-1即可.
3、分析 本题考查二次根式的性质，利用公式将形如的式子化简.
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴==-==.
【解题策略】 解决此题的关键是牢记并理解公式=

4、分析 由面积公式或周长公式写出代数式即可. （1）底为xcm，则高为cm，所以三角形的面积为（cm2）. （2）因为第一个圆的半径为r，所以第二个圆的半径为，所以这两个圆的周长之和为.
答案：（1） （2）

5、分析 本题主要考查二次根式的性质的创新应用.因为，所以，所以
解：甲同学的做法是正确的，理由如下：

乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了与的大小关系，导致错误.
【解题策略】利用进行化简时，的条件不能忽略，否则

体验中考
1、分析 本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数及分母上含有字母的式子有意义的条件（即分母≠0），由题意知故选D.
2、分析 本题主要考查非负数的性质以及二次根式的非负性.由知x＋2＝0，且y－3＝0，所以x＝－2，y＝3，所以(x＋y)2010＝（－2＋3）2010＝12010＝1.故填1.

16.2 二次根式的乘除

学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、 最简二次根式概念；
2、 二次根式的乘除法法则及其逆用；
【重点难点】
1、最简二次根式概念；
2、二次根式的乘除法法则及其逆用；
知识概览图

二次根式的乘除法法则

二次根式乘除法法则的逆用

二次根式的乘除
最简二次根式的概念：被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式
的二次根式，叫做最简二次根式
二次根式乘法法则：
二次根式除法法则：
二次根式乘法法则的逆用：
二次根式除法法则的逆用：

新课导引
如右图所示，一个直角三角形ABC中，两直角边BC，AC分别是6和10，那么由勾股定理可知其斜边AB为设这个直角三角形斜边上的高CD为x，则利用的是面积“桥”的方法.
【问题探究】是最简的结果吗？如果不是，如何对进行化简呢？
【点拨】不是最简的结果，可以进行化简，首先将136分解因数，即
136＝22×34，再将写成进一步将分母中的根号化没即可，

教材精华

知识点1 二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即
拓展 （1）二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.
（2）二次根式的乘法运算公式中的被开方数的取值范围.
，公式中的a，b必须满足a≥0，b≥0，否则，就没有意义.
（3）由，得，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质可以化简二次根式，即如果一个二次根式的被开方数中有因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质及将这些因数（式）开出来，进而将二次根式化简.例如
（4）如果没有特别说明，本章中所有字母都为正

知识点2 二次根式的除法
公式＝可通过二次根式的乘法公式得到：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.例如：
拓展 （1）当被除式的被开方数能被除式的被开方数整除，可直接利用除法法则.比如：
（2）当被除式的被开方数不能被除式的被开方数整除时，或者是被除式是整数而除式是二次根式时，可以利用分式的基本性质把分母中的根号化去.例如：

（3）由＝，得.可以用语言叙述为：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
在公式中：（1）a必须是非负数，b必须是正数；（2）如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如必须先化成，以免出现这样的错误.
（4）二次根式的除法运算结果要化到最简.

知识点3 最简二次根式
被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.也就是说，若二次根式有如下特点：①被开方数中不含分母，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，则这个二次根式就是最简二次根式.例如：等都是最简二次根式.
拓展 （1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：
①被开方数不含分母；
②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.
③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.比如：因为，所以不是最简二次根式.因为，且因式2和的指数都是1，所以是最简二次根式.而中无法变成一个数（或因式），所以是最简二次根式.
（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.

课堂检测
基本概念题
1、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？
（x＞2），-x,(b＞0，a＞0), (a＞b＞0), .

基础知识应用题
2、若
A. x≥3 B. x≥-3
C. -3≤x≤3 D． x为任意实数
3、如果
A. x≥6 B. 0≤x≤6 C. x≥0 D. x＞6

图21-4
综合应用题
4、如图21-4所示，飞行员在飞机B处用雷达测得飞机和目标城市A的距离为4.5×102m,且测得对这个目标的俯角α=45°，C为地面上位于飞机正下方的点，设地面是平的.求飞机此时的高度h.

探索创新题
5、已知a=，b=，请用含a，b的代数式表示从不同不的计算角度考虑，用两种以上方法表示.

体验中考
1、（1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数?
A. B. C. D. E. 0
问题的答案是（只需填字母）： ；
（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，那么这个数的一般形式是什么？（用代数式表示）
2、对于任意不相等的两个数a，b，定义一定运算※如下：a※b .

学后反思

附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 本题主要考查最简二次根式的概念.
解: 是最简二次根式.
∵，
==x-2,
==,
==0.5,,
=(a+b) ,=,
∴,(x>2), ,,( b>0, a>0),
(a>b>0), 不是最简二次根式.

【解题策略】 判断最简二次根式主要看被开方数是否有分母，另外，要看被开方数是否含有能开方的因式.

2、分析 本题考查的知识点是二次根式的乘法公式成立的条件，要求x+3≥0,且x-3≥0，由此可得x≥3，故选A.

3、分析 本题主要考查二次根式的除法公式成立的条件，要求x≥0，且x-6＞0，所以x＞6.故选D.
规律·方法 求使等式成立的字母的取值范围，只需使等式的每一部分都有意义即可，这里包括二次根式的被开方数非负，分母不为零，零次幂和负整数次幂的底数不为零等.

4、分析 本题综合考查勾股定理和二次根式的化简，解决此题的关键是将问题转化到一个直角三角形中去分析.
α=45°，所以∠A= 45°.
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，所以∠ABC== 45°，所以AC=BC=h.
由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即2h2=(4.5×102)2.

答：飞机此时的高度为225（m）.
【解题策略】 解决此题的方法是将问题转化到一个直角三角形中去，将求飞机的高度转化为求直角边的长度，同时注意结果要化到最简.

5、分析 解决本题的关键在于把4.9用不同的形式表示出来.
解法1：
解法2：
解法3：
【解题策略】 根据4.9==及二次根式的性质化简，化简后使其与a，b相关，然后将能用a，b代替的用a，b代替，表示出结果.

体验中考
1、分析 本题考查二次根式的乘法运算，对所有的选项亲自算一下，就会得到所有答案.
解：（1）A，D，E.
（2）设这个数为x,则x·=a(a为有理数)，
所以x=(a为有理数)，
2、分析 本题考查对新运算的理解，以及对二次根式的化简能力，12※4=
【解题策略】 对于新定义的运算，要看清它的计算实质，利用例子把新运算转化为普通的运算.

16.3 二次根式的加减

学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、 同类二次根式的概念；
2、 二次根式的加减；
3、 二次根式的混合运算；
【重点难点】
1、同类二次根式；
2、二次根式的混合运算；
知识概览图
同类二次根式
二次根式的加减 二次根式的加减
二次根式的混合运算

新课导引
如图所示，要在圆形的花坛的中心种花，外围栽草，并使得两个圆为同心圆，种花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，求种草的宽度.（π取3.14）

【问题探究】 由于种植花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，所以花坛的大、小圆的面积分别为25.12 cm2，6.28 cm2，求得它们的半径分别为和，当π取3.14时，它们的值分别为，这实际上是求，那么如何计算呢？
【解析】

教材精华

知识点1 同类二次根式
定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似.例如：3xy2和-xy2是同类项，-2是同类二次根式，3也是同类二次根式.又如：，需要化简后再判断，因为，所以是同类二次根式.对来说，因为，它们的被开方数不同，所以不是同类的二次根式.
拓展 对同类二次根式的理解应注意以下几点：
（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.
（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关.
全并同类二次根式.
将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变.
例如： 合并同类二次根式的方法与整式加减中合并同类项类似，利用合并同类项的法则把二次根式的加减运算转化为系数（有理数）的加减运算.
拓展（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号.
（2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.
（3）不是同类二次根式，千万不要合并.

知识点2 二次根式的加减
二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.
即先将各个二次根式都化成最简二次根式；再把其中的同类二次根式进行合并.
对于没有合并的二次根式，一定不要丢弃，要抄下来，它们也是结果的一部分.
√二次根式的加减运算实质上是化成最简二次根式，再合并同类二次根式.
在运算过程中，与整式的加减类似.交换律、结合律以及乘法分配律，去括号法则在二次根式的加减中仍然适用.
√二次根式的加减步骤：
（1）先将每一个二次根式都化为最简二次根式.
（2）判断哪些根式为同类二次根式，把同类二次根式合并为一组.
（3）合并同类二次根式.
例如：（1）

（2）
拓展 二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示：
运算
二次根式的乘除法
二次根式的加减法
系数
系数相乘除
系数相加减
被开方数
被开方数相乘除
被开方数不变
化简
结果化成最简二次根式
先化成最简二次根式，再合并同类二次根式

知识点3 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算实质上是有理数与无理数的混合运算，是二次根式的加、减、乘、除、乘方法则的综合应用.
在进行二次根式的混合运算时，应注意：
（1）二次根式的混合运算顺序和实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的（或者先去括号）.
（2）乘法运算的运算律以及乘法公式在二次根式中的运用.
（3）二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同类二次根式.
拓展 在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活逆用公式，这样可以使计算过程大大简化.
【规律方法小结】 我们在学习同类二次根式的概念、二次根式的加减法时就是采用类比的方法，类比整式中同类项的概念、整式的加减法来学习和掌握的.

探究交流 “”是否正确？为什么？
点拨 不正确，因为不是同类二次根式，不能合并，这与合并同类项一样，不是同类的不能合并.

课堂检测
基本概念题
1、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？

基础知识应用题
2、 下列二次根式中，能够与合并的是（ ）
A. B. C. D.

3、计算.

综合应用题
4、满足不等式的最小整数解是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

探索创新题
5、在化简时，有下列两种不同的方法：
方法1：原式=

这两种方法都正确吗？若有错误，说明理由.

体验中考
1、如果等于（ ）
A.2 B.3 C.8 D.10

2、下列计算正确的是（ ）

学后反思

附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 要判断是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式，再判断.
解：

【解题策略】 判断同类二次根式主要看被开方数和根指数，与根式的系数无关.
2、分析 首先将不是最简二次根式的化为最简二次根式，然后再判断，因为
，所以.
【解题策略】 本题主要考查同类二次根式的概念以及化为最简二次根式的方法.
|规律·方法| 合并同类二次根式的依据是逆用简乘法分配律，根号外的因式（或数）即为该根式的系数，合并时只要把系数相加减，根指数与被开方数不变.若二次根式的系数为带分数，则需化为假分数.

3、分析 本题主要考查的是二次根式的加减运算及运算法则、运算律的应用.二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式.
解：（1）
（2）

【解题策略】 （1）在书写的过程中一定要认真，别把二次根式的根号丢了.
（2）合并时一定要看准，是同类二次根式的合并，不是同类二次根式的不能合并.
规律·方法 二次根式的加减法一般可按以下步骤进行：
（1）将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含带分数或小数，则要先化成假分数，进而化为最简二次根式；
（2）原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式合并在一起.

4、分析 本题综合考查二次根式的运算和不等式的解法.先解不等式，不等式两边同除以，得，∴x能取的最小整数是4，故选C.
【解题策略】 解不等式求出x＞后，必须先算出的取出值范围，不仅要求出＞3，同时必须求出＜4.只有这样才能确定x能取的最小整数是4.否则，得出的x能取的最小整数值可能是错误的.

5、分析 本题主要考查的是二次根式与乘法公式、分式性质的灵活应用.
解：方法1是错误的，方法2是正确的.理由如下：
因为题中已知条件并没有给出a≠b或隐含条件a≠b，即“”，而方法1中，在约分以后将分子、分母同乘，事实上，当时，违背了分式的基本性质，虽然结论是正确的，但运算过程是错误的，当时，原式仍有意义，此时原式的值为0，所以方法1是错误的.
【解题策略】 解决知识性阅读理解题目的关键是真正读懂阅读材料，理解并掌握其思想，进而应用其方法解答题中设置的问题.

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