函数与方程练习题及答案.doc

　函数与方程

1．函数的零点
(1)函数零点的定义
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即__________，则α叫做这个函数的________．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_______有交点⇔函数y＝f(x)有_____．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

与x轴的交点

无交点
零点个数

3.二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
[难点正本　疑点清源]
1．函数的零点不是点
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
2．零点存在性定理的条件是充分而不必要条件
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，

f(a)·f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．

1．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．
2．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是_____．
3．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为________．
4．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________.

题型一　判断函数在给定区间上零点的存在性
例1　函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．
(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 (　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
(2)设函数f(x)＝x－ln x (x>0)，则y＝f(x) (　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
题型二　二次函数的零点分布问题
例3　已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．

数形结合思想在函数零点问题中的应用
试题：(12分)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；
A组　专项基础训练题组
一、选择题
1．已知函数f(x)＝log2x－x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值为
A．恒为负 B．等于零 C．恒为正 D．不小于零
2．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则 (　　)
A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b
3．函数f(x)＝的零点个数为 (　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
4．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 012x＋log2 012x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．
三、解答题
5．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．
6．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
B组　专项能力提升题组
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中不正确的是 (　　)

A．函数f[g(x)]的零点有且仅有6个
B．函数g[f(x)]的零点有且仅有3个
C．函数f[f(x)]的零点有且仅有5个
D．函数g[g(x)]的零点有且仅有4个
二、填空题
4．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________．
三、解答题
8．m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；

答案
要点梳理
1．(1)f(α)＝0　零点　(2)x轴　零点
2．(x1,0)，(x2,0)　(x1,0)　两个　一个　无
基础自测
1．(1.25,1.5)　2.－，－
3．3　4.a>1　5.(－2,0)
题型分类·深度剖析
例1　解　(1)方法一　∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝82－3×8－18＝22>0，
∴f(1)·f(8)<0，
故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．

方法二　令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．
∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，
x＝－3∉[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．
(2)方法一　∵f(1)＝log23－1>log22－1＝0，f(3)＝log25－3<log28－3＝0，
∴f(1)·f(3)<0，
故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．

方法二　设y＝log2(x＋2)，y＝x，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1≤x≤3时，两图象有一个交点，
因此f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．
变式训练1　(1)B　(2)D　
例2　4
变式训练2　B　
例3　解　(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1
与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1,2)内，如图(1)所示，得
⇒
即－<m<－.

(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示
列不等式组
⇒
即－<m≤1－.
变式训练3　解　方法一　若a＝0，则f(x)＝2x－3，f(x)＝0⇒x＝∉[－1,1]，不合题意，故a≠0.
下面就a≠0分两种情况讨论：
(1)当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0，解得≤a≤.
(2)当f(－1)·f(1)>0时，f(x)在[－1,1]上有零点的条件是　
解得a>.
综上，实数a的取值范围为.
方法二　函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点等价于方程2ax2＋2x－3＝0在区间[－1,1]上有实根．显然0不是y＝f(x)的零点，由题意转化为x∈[－1,1]时求a＝·－的值域．∵∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴a＝2－在＝1时取得最小值.
∴实数a的取值范围为.
课时规范训练
A组
1．C　2.B　3.B　4.3
5．解　∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)>0，
∴若存在实数a满足条件，
则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.
所以a≤－或a≥1.
检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.
所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0.
得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，
故a≠1.
②当f(3)＝0时，a＝－，
此时f(x)＝x2－x－，
令f(x)＝0，即x2－x－＝0，
解之得x＝－或x＝3.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，
故a≠－.
综上所述，a<－或a>1.
6．解　∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t (t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0时，即m>2或m<－2时，
t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
∴这种情况不符合题意．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
B组
1．B　　4.(2,3)　
8．解　①f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.
②方法一　设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4.
由题意，知⇔
⇔
∴－5<m<－1.
故m的取值范围为(－5，－1)．
方法二　由题意，
知即
∴－5<m<－1.
∴m的取值范围为(－5，－1)．

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