用二分法求方程的近似解教学设计.docx

教学基本信息
课题
用二分法求方程的近似解
是否属于地方课程或校本课程
否
学科
数学
学段：高中
年级
一年级
相关
领域
方程、函数
教材
书名：普通高中课程标准实验教科书数学必修1 （A版）
出版社：人民教育出版社出版日期：2007年1月第2版

教学设计参与人员

姓名
单位
联系方式
设计者
赵存宇
北京市第八十中学
15120094952
实施者
赵存宇
北京市第八十中学
15120094952

指导者
高建钢
北京市第十七中学
13466658596
王贵军
北京市第八十中学
13911230852
王文英
北京市朝阳区教育研究中心
13611080557
蒋晓东
北京市朝阳区教育研究中心
13691553798
刘力
北京市朝阳区教育研究中心
13911043375
课件制作者
赵存宇
北京市第八十中学
15120094952

指导思想与理论依据
1．建构主义理论
建构主义认为，学习是一个能动的建构过程，是个体在与周围环境相互作用的过程中逐渐建构起关于外界的知识，内化为自身的认知结构的发展．这个逐渐建构的过程依赖于同化与顺应来实现． 当个体受到外部刺激时，会将所提供的相关信息整合到原有的认知结构中，同化实现了认知的平衡；当原有的认知结构无法同化新的信息时，平衡被破坏，只好重新调整或新建认知结构以达到新的平衡．个体的认知结构就是通过同化与顺应在“平衡-不平衡-平衡”的循环过程中逐步建立起来的．
2．遵循数学课程标准
坚持以教师为主导，以学生为主体，倡导自主探索、合作交流等学习方式，采取符合学生认知特点的多样的学习方法，通过教学过程的实施，学生能够真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．课程标准中还提到要注重数学不同分支和不同内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，体会知识之间的联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力．

教学背景分析
教学内容：
“用二分法求方程的近似解” 是普通高中新课程标准实验教科书《数学必修1》（人教A版）第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二部分，属于数学方法范畴，是一节新授课. 在第一部分揭示了函数的零点与方程的根之间的联系及零点存在定理,能够确定解所在的大致区间.本节内容在零点存在定理的基础之上,根据具体的函数图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，并在步骤总结的过程中渗透了算法的思想,为后续学习打下伏笔,因此该节内容具有承上启下的作用,并且从“精算”到“估算”迈出了具体的一步.但对非此即彼这一“二分”措施及“逼近思想”的理解及求解过程中涉及了大量的运算都是困难所在.在学习过程中借助了现代信息技术与数学课程的整合，注重学生在操作过程中的体验，提高了学生自主分析和解决数学问题的能力.

学生情况：
本节课的教学对象是普通高中高一年级学生，学生的数学基本功相对比较扎实，思维活跃，数学学习兴趣较为浓厚. 在本节课之前，学生已经学习了方程的根与函数零点，能够理解函数的零点、方程的根、函数图像与x轴交点的横坐标之间的等价关系， 有一定的等价转化和数形结合思想，具备了一定的符号表示能力和抽象概括能力.

可能遇到的困难:
1.在以前解方程时，都是寻求方程的精确解，而二分法是帮助我们寻求高次方程或超越方程的近似解，其中对逼近思想的理解以及复杂运算的处理学生可能会遇到困难．
2. 算法程序的模式化对学生是一个全新的问题，在归纳用二分法求方程的近似解的一般步骤时，步骤的程序化和其中蕴含的算法思想学生会感到有些陌生．

教学方式：
教师适时引导和学生自主探究相结合

教学手段：
以培养学生探究精神为出发点，注重方法的形成和发展过程，应用数形结合、图表、信息技术,注重学习体验，让学生充分参与学习活动.

技术准备：多媒体课件，GeoGebra，PAD
教学目标(内容框架)
知识与技能：
根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；
了解二分法是求方程近似解的常用方法；

过程与方法：
通过具体实例体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识；
在经历不断的“逼近过程”中感受有限与无限、精确与近似的相对统一,渗透有限与无限的思想、算法思想等；
通过具体实例的探究, 归纳概括所发现的结论或规律,体会从特殊到一般的认知过程；

情感与态度价值观：
培养面对复杂问题的积极求解意识,提高自主探究能力.

教学重点：
对二分法求解思想的理解,即对无限逼近过程的感受和利用“精确度”使无限过程有限化的体会.
用二分法求给定方程近似解的基本步骤.

教学难点：
用二分法求方程的近似解一般步骤的归纳；

教学过程(文字描述)
（一） 情景引入，明确主题
解方程的问题是数学的一个基本问题，到目前为止，我们已经系统地学习了一元一次方程和一元二次方程的解法，那么下面这样一个一元三次方程该如何求解呢？
x+1x-2x-3=1
事实上，到16世纪，数学家已经发现了三次方程的一般解法，但这种解法比较复杂，还涉及到我们没有学过的知识，感兴趣的同学可以查阅资料了解一元三次方程的一般解法.
在科学研究和生产生活中，我们有时会遇到高次方程和指数方程、对数方程等超越方程，无法求出精确解，或不需要求出精确解，此时，我们就需要得到它们的近似解.今天，我们就借助现代信息技术，一起来探究方程的数值解法，这就是本节课的主题：
求方程的近似解.
设计意图：这个环节的任务是引导学生在回顾方程研究历史的基础上，明确自己在本节课所要解决的问题.
（二） 问题引导，探索新知
【活动一】
问题1：方程x+1x-2x-3=1
（1）有几个根？
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 E.4个
（2）每个根大致在什么范围内？
（3）你是如何得到上述结论的？
学生活动：问题1（1）为客观题，学生选择好答案之后提交至PAD.问题1（2）（3）为客观题，将结果呈现在纸上，拍照，上传至PAD.
预案：1.画出函数fx=x+1x-2x-3-1图象，转化为函数fx与轴交点个数的问题，即求函数fx零点的个数．
2.构造函数fx=x+1x-2x-3-1，经计算得：
x
-1
0
1
2
3
4
fx
-1
5
3
-1
-1
9
fx符号
-
+
+
-
-
+
由零点存在定理得，函数fx=x+1x-2x-3-1至少有三个零点，即原方程至少有三个根，结合三次函数的图像特点可知，函数fx有且仅有三个零点，分别在区间(-1,0)、(1,2)和(3,4)内.
3.易知 x=-1不是方程的根，x≠-1时，画出函数gx=x-2x-3与函数
hx=1x+1的图象，确定两函数图像交点的个数．
教师总结：引导学生回顾上节课内容，即将求方程x+1x-2x-3=1根的问题转化为求函数fx=x+1x-2x-3-1零点的问题．
设计意图：用函数的观点确定方程根的情况，体现以形研究数的思想,回顾函数零点的概念和零点存在性定理．
【活动二】
对比学生计算得到的零点所在不同区间，引导发现：虽然没有得到零点的精确值，但是零点所在区间可以缩小，因此可以利用缩小范围的方式找寻零点．继续提问：
问题2：以区间(1,2)为例，零点所在区间能否继续缩小？如何缩小？
学生活动：小组讨论，派代表展示思路.
预案：1.任取x0∈(1,2)，计算fx0，进而确定新的零点所在区间，再次任取．
2.取区间(1,2)中点1.5，计算得f1.5=0.875，判断零点在区间(1.5,2)内，
继续取区间中点，进行重复计算．
3.取区间(1,2)中点1.5，计算得f1.5=0.875，判断零点在区间(1.5,2)内，
根据f1.5的函数值大小，在区间(1.5,2)内取一个点，进行重复计算．

师生交流，比较区间缩小的方法，达成共识：
1.无论采用什么方法，都是将区间缩小，并保证零点还在取得的新区间里，依据为零点存在性定理．
2.开始时大家计算方法不同，但是当区间缩小到一定范围时，普遍采用取中点的方法即二分法．

教师总结：同学们最终都选择了二分法这样一种运算量较小、便于操作的方案.请同学们思考：
问题3：缩小区间的运算何时终止？如何保证方程的近似解与精确解的差的绝对值小于一个事先给定的数，比如0.01？
引导学生回答：
1.若fx0=0，则x0就是函数的零点．
2.提出精确度的概念：例如精确度为0.01时，若区间端点差的绝对值小于0.01,则区间内的任意一点就可以作为近似值，但由于端点值是可知的，所以我们通常将端点值就作为近似值．
设计意图：
1.通过比较方法，得到方法中的共性，并体会数学研究中的通常寻找解决问题的一般思路．
2.通过反思二分法的优势特点，分析此方法在解决问题时的优势并体会其中蕴含的优化思想．
3.在缩小零点所在区间后再提出精确度的概念，分化难点．

【活动三】
问题4：计算函数fx=x+1x-2x-3-1零点的近似值（精确度为0. 1）．
小组活动10分钟，并思考下面两个问题：
1.如何利用手中的数轴纸、表格纸和网格纸等材料，尽可能清晰的呈现小组的实施过程和计算结果？
2.实施过程经历了哪些步骤？
学生活动：小组讨论并实施方案，将过程和结果呈现在纸上，拍照，上传至PAD.派代表进行汇报和展示，其他同学补充.
预案：根据学生课上求得的零点所在区间取得零点近似值．如：零点所在区间(1.6875,1.75)，取零点近似值1.6875．
学生可能的呈现方式有：
1.表格形式：
学生合作探究，完成表格纸的填写：
次数n
区间左端点a
区间右端点b
区间中点c
区间左端点函数近似值fa
区间右端点函数近似值fb
区间中点函数近似值fc
区间长度
|b-a|

设计意图：教师引导学生，用二分法的思想不断地缩小零点所在的区间，然后让学生小组合作利用信息技术，进行实践，为总结出二分法的步骤奠定基础.

2.数轴形式：

设计意图：利用数轴引导学生直观感知逐步逼近零点的过程．

教师利用软件展示计算过程：

设计意图：利用多媒体辅助让学生感受用计算机计算方程的近似解的动态过程，体会程序化思想，为后面归纳求方程近似解的一般步骤做好铺垫．

（三）探究原理，概念生成
【活动四】
问题5：归纳二分法定义并填空：
二分法定义：对于在区间，上 且满足 的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
问题6：回顾用二分法求方程近似解的过程，用你的话说说在此过程中经历了哪些步骤？
引导学生用自然语言总结，再归纳为符号语言：
1.确定区间，验证，给定精确度；
2.求区间的中点c；
3.计算；
(1)若，则c 就是函数的零点；
(2)若，则令；
(3)若，则令；
4.判断：若，则得到零点近似值；否则重复2～4．

设计意图：从具体实例的求解到归纳总结得到一般结论，遵循了“从具体到抽象”的认知规律，蕴含了“从特殊到一般”的推理方法．

（四）应用新知，巩固提升
【活动五】
应用教师提供的课件，
1.通过表格的拖拽达到指定的精确度;
2.改变方程和初始区间，求符合精确度要求的近似解.

设计意图：
1.体会二分法可以求出方程满足任意精确度的近似解，具有方法的普遍性．
2.体会二分法是一个不断重复的过程,“精确度”使得重复的过程能在有限步内完成;同时,“精确度”是一个理论上可取任意正值的常量,这是用有限形式表示无限的一种做法,实现了“精确"到“近似”相互转化，蕴含了极限的思想.

（五）课堂小结，作业布置
课堂小结：
1.本节课的探究方程经历了哪些环节？
2.通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？
作业布置
1.书面作业：第92页习题3.1 A组1、4；
2.阅读作业：第91页阅读与思考“中外历史上的方程求解”．
3.拓展作业：除了本节课探究得到的各种方案，还有哪些求方程近似解的方法呢？搜集资料并整理成小论文，和大家一起探讨吧！
4.可选作业：利用Excel、程序设计或其他信息技术实现方程的一种或多种数值解法.
设计意图：作业分层设计，可以更好地适合不同学生的需求，以达到因材施教；阅读作业和拓展作业有利于拓宽学生的数学视野，了解数学文化，感受数学魅力.课后继续研究，将课堂延伸到课下.

学习效果评价设计
评价方式
本节课的教学评价，采取观察法、访谈法、作业与测验相结合，从学生间互评、教师评价、学生自评三方面进行；评价内容为课堂表现评价、学习效果评价（课堂学习效果评价+作业）、小组合作评价.
观察法：教师在课堂教学过程中，通过问题的提出，观察学生的反应；在学生小组合作、思考讨论时，观察每个小组成员的表现.
访谈法：在课后，以个别访谈方式进行，就不同层次的男、女同学，个别访谈，询问课堂听课效率，以及存在的问题，进行学生之间的互评.
作业和测验：通过课后作业的批改，测验的成绩，阶段性地检验学生的学习效果，找到存在的问题，共性问题一起解决，个性问题单独处理，重点问题分享处理.
评价量规
（1）是否能够用恰当的数学语言准确表达数学内容，能否归纳总结出数学知识的一般性结论，是否能够把握数学知识的结构；
（2）是否有独立思考的习惯、合作交流的意识、学好数学的自信心以及克服困难的毅力，是否能够勇于发表自己的观点、充分质疑，是否能够在学习中不断反思，改进学习方法．
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
在这节课的设计中，我主要思考了以下几个方面：
1. 在以项目式小组为单位开展探究，发挥每个学生的优势，让学生间的合作交流深入开展.
2. 以PAD教学为载体，增强师生互动和生生互动.
3. 利用GeoGebra软件的图形、表格、动态演示等功能，使内容得到更直观的呈现，帮助学生突破认知障碍.
4. 给学生比较充足的时间和空间开展学生活动.

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