八年级第一章导学案.doc

景泰四中数学导学案 编制人：余法宗 审核人：余法宗 批准人：陈岱 2013.8.26
编号：8s101 1.1.1 探索勾股定理 班级　　　　组号 姓名　　　　
学习目标：1.探索直角三角形的三边关系，进一步发展学生的说理合简单推理的意识合能力。
2.经历用测量合数格子的方法探索勾股定理的过程，进一步提高学生的合情推理意识，培养主动探究的思想。
3.培养数形结合的思想，体会数学与现实的紧密联系，感受其价值。
学习重点：掌握勾股定理并能利用它来解决实际问题。
学习难点：探索勾股定理。
预习指导：
1.先精读教材P2，用红色笔勾画知识点。再针对学案二次阅读教材，完成教材助读设置的问题，依据发现的问题，查阅资料，解决有关问题。
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，记录在预习学案上，准备课上讨论质疑。
3.预习目标：独立，限时完成预习自测，并把自己的疑惑写出来.
学习环节：
一.自学导航：
1.在纸上任意作出两个直角三角形，分别测量它们的三边长，且动笔算一下，三条边长的平方有什么样的关系，你能猜想一下吗？
2.观察课本第三页图1—2，思考在两个直角三角形ABC中，三边的平方分别是多少？你是怎样得到的？它们满足上面的结论吗？
3．在图1—3中的两个直角三角形中，是否仍满足这样的关系？若能，试说明你是如何求出正方形的面积？
4.通过以上的活动，你得到了什么结论？请你把结论写下来。
二．合作探究
1．总结勾股定理＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.在这个定理中我们应该注意些什么？
（1）勾股定理揭示的是直角三角形 的关系；
（2）勾股定理只适合于 三角形；
（3）在使用勾股定理时，先要弄清 边和 边。
３．例题：如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？

三．学以致用
1.求下图中字母所代表的正方形的面积。

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,求AB的长。
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=20,求△ABC的面积。
4.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为 。
（拔高训练）
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若c=8.5，b=7.5，则a= 。
6. 在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为（ ）
A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
7.一个直角三角形的三边长为12、5和a，
则以a为半径的圆的面积是 。
8.如图，点C是以AB为直径的半圆上一点，
∠ACB=90°，AC=3,BC=4,则图中阴影部分的
面积是 。
四．反思回顾：
五．检测反馈
1 9.直角三角形两直角边的比为3：4，面积是24，求这个三角形的周长
2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的
女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶
5000米处，则飞机的飞行速度是多少？

3.如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25㎞，C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15㎞，CB=10㎞.现在要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少㎞处？

编号：8s102 1.１.２ 探索勾股定理 班级　　组号 姓名　　　　
学习目标：1.经历运用拼图的方法说明勾股定理的过程，在数学活动中发展学生探究意识和合作交流的习惯。
2.掌握勾股定理和他的简单应用
教学重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理
教学难点：用面积法证勾股定理
预习指导：
1.先精读教材P８，用红色笔勾画知识点。再针对学案二次阅读教材，完成教材助读设置的问题，依据发现的问题，查阅资料，解决有关问题。
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，记录在预习学案上，准备课上讨论质疑。
3.预习目标：独立，限时完成预习自测，并把自己的疑惑写出来.
学习环节：
一.自学导航
１．利用拼图来验证勾股定理：
（1）准备四个全等的直角三角形（设两条直角边分别为a，b，斜边为c）；
（2）你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看，那么在你拼的正方形中是否含有以斜边c为边长的正方形？若有，请画出拼摆后的图形。
（3）你能否就你拼出的图说明？
①提示：大正方形的面积可以表示为 或 ，还可以表示为 或 。
②证明过程：
二．合作探究
1：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？

２.在得出勾股定理时，我们知道以直角三角形三边为边长得到三个正方形，三个正方形的面积之间存在；若推广为以直角三角形三边为直径的半圆的面积，是否仍存在类似的结论呢？

３.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB’C’D’的位置，连接CC’，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC’D’的面积证明勾股定理

三．学以致用
1.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速的建设成本是100万元∕千米，该沿江高速的造价是多少？

2.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？

3.一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为
4.直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是
5.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为
（拔高训练）

四．反思回顾：
五．检测反馈
1.以直角三角形的两直角边为边长向外作正方形，所作的正方形的面积分别为9和2，则直角三角形的斜边长为
2.有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将
ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，
求CD的长

编号：8s103 1.1.3 探索勾股定理 班级　　　　组号 姓名　　　　
学习目标：1.经历运用拼图的方法说明勾股定理的过程，在数学活动中发展学生探究意识和合作交流的习惯。
2.掌握勾股定理和他的简单应用
教学重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理
教学难点：用面积法证勾股定理
预习指导：
1.先精读教材P12，用红色笔勾画知识点。再针对学案二次阅读教材，完成教材助读设置的问题，依据发现的问题，查阅资料，解决有关问题。
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，记录在预习学案上，准备课上讨论质疑。
3.预习目标：独立，限时完成预习自测，并把自己的疑惑写出来.
学习环节：
一.自学导航
1、等腰三角形的，腰长为25，底边长14，则底边上的高是________，面积是_________。
2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。
3、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为_________。
4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是 （ ）
A、6厘米； B、 8厘米； C、 80/13厘米；D、 60/13厘米；
5、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且斜边为20cm，求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长
二．合作探究
（一）在经历了数格子与拼图之后，同学们对于勾股定理已清晰的理解了，并且也有了一些应用的能力。在我们几何学中补（即拼）与割是常用的作图方法。那么对于“割”在直角三角形的勾股定理中又如何体现呢？
（二）操作：把最小与最大的两个正方形分别绕着直角三角形的直角形与斜边对折，可得到图1—11，以勾为边的正方形假定为“朱方”，以股为边的正方形假定为“青方”，用移动的方法可以将朱、青二方并成弦方。依据它们的面积关系有：。这就是我国历史上有名的魏晋时期的刘徽的“青朱出入图”。
上面的方法是几何学中典型的割补作图法的割法作图，它只须移动几块图形就直观地证明了勾股定理，真是“无字证明”，伟大的证明。
三．学以致用
1、在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝ ．
2、在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶ b＝3∶4，则SRt△AB＝　　　．
3、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有 米。
4、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻俩棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为 m。（精确到0.1m，可能用到的数据，）。
5、在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要___________m．

13m
5m

[

6、如图，有一块土地的形状如图所示，∠B=∠D=900，AB=20米，
BC=15米，CD=7米，计算这块土地的面积。（15分）

四．反思回顾

五．检测反馈
1、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？

编号：8s104 1.2 能得到直角三角形吗 班级　　　　组号 姓名　　　　
学习目标：1.探索和应用直角三角形的判别条件.
2.经历勾股定理的逆向思维所推出的勾股逆定理的理解过程.
3.培养合作交流意识，形成良好的“数形结合的思维，体会勾股定理的应用价值.
教学重点：掌握勾股定理的逆定理.
教学难点：应用勾股定理的逆定理来解决问题.
预习指导：
1.先精读教材P17，用红色笔勾画知识点。再针对学案二次阅读教材，完成教材助读设置的问题，依据发现的问题，查阅资料，解决有关问题。
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，记录在预习学案上，准备课上讨论质疑。
3.预习目标：独立，限时完成预习自测，并把自己的疑惑写出来.
学习环节：
一.自学导航
1.以3、4、5为边长用尺规作出三角形，是什么三角形？你是怎么得到的？
以6、8、10为边长用尺规作出三角形，是什么三角形？你是怎么得到的？
以15、36、39为边长用尺规作出三角形，是什么三角形？你是怎么得到的？
以10、24、26为边长用尺规作出三角形，是什么三角形？你是怎么得到的？
问题一：从上面做图中你会得到什么，用文字试着加以总结________________。
问题二：什么是勾股数？应注意什么？
二．合作探究
1.如图，有一零件是等腰三角形ABC，AB=AC，底边BC=20，
D是AB上的一点，且CD=16，BD=12问⊿ACD的形状，
并说明理由。

2.若⊿A BC三边长分别为a,b,c,且满足条a+b+c+338=10a+24b+26c,试判断⊿ABC的形状，并证明为什么。

三．学以致用
1.以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的有（ ）
A. 3.5 4.5 5.5 B.12 16 20
C.5 12 13 D.9 40 41
2.三角形的三边长a, b, c满足等式（a+b）-c=2ab,则此三角形的是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
3.将直角三角形的三边都扩大2倍，得到的三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
4.一个三角形的三边之长分别为15，20，25，则这个三角形最长边上的高为（ ）
A. 6 B 7.5 C. 12 D. 15
5.如图，正方形的面积是 .，
其中AB=3，BC=4，∠B=90度。

6.下列说法中，正确的有（ ）
（1）如果∠A+∠B=∠C，那么⊿ABC是直角三角形。
（2）如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，那么⊿ABC是直角三角形。
（3）如果三角形的三边分别为3k,4k,5k (k>0),那么⊿ABC是直角三角形。
（4）如果三角形的三边分别为n-1,2n,n+1(n>1),那么⊿ABC是直角三角形
A. 1个 B 2 个 C. 3 个 D. 4个
7.如图，在平行四边形ABCD中，CA⊥AB，若AB=3，BC=5，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A. 6 B 7.5 C. 12 D. 15

四．反思回顾：
五. 当堂检测
1.当m= 时，以m+1，m+2，m+3的长为
边的三角形是直角三角形。
2.小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是
A.48 cm B.4.8 cm
C.0.48 cm D.5 cm
A.5，6，7 B.1，4，9
C.5，12，13 D.5，11，12
3.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是
A.42 B.52
C.7 D.52或7

编号：8s105 1. 2 蚂蚁怎样走最近 班级　　　　组号 姓名　　　　
学习目标：1.经历运用勾股定理及其逆定理解决实际问题的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2.掌握勾股定理及其逆定理和他的简单应用
教学重点：能熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题
教学难点：熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题
预习指导：
1.先精读教材P22，用红色笔勾画知识点。再针对学案二次阅读教材，完成教材助读设置的问题，依据发现的问题，查阅资料，解决有关问题。
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，记录在预习学案上，准备课上讨论质疑。
B
3.预习目标：独立，限时完成预习自测，并把自己的疑惑写出来.
学习环节：
一.自学导航
1.如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半
AA
径等于3厘米．在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它
想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱
侧面爬行的最短路程是多少？（n的值取3）
（l）自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
（2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
二．合作探究
1.李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但池随身只带了卷尺．
（l）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得 AD长是 30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米． AD边垂直于AB边吗？
CA
DA
BA
AA
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直干AB边吗？ BC边与AB边呢？

2．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险．某日里晏 8：00甲先出发，他以6千米”时的速度向东行走．1时后乙出发．他以5千米/时的速度向北行进．上午 10：00，甲、乙二人相距多远！
三．学以致用
判断直角三角形
例1、如图己知求四边形ABCD的面积。

题型2、求最短距离
如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆 B
柱的高为8cm，圆柱的底面半径为cm，那么最短
的路线长是（ ）
A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10cm A
四．反思回顾：
五．检测反馈．
1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少？

2.如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

编号：8s106 第一章复习 班级　　　　组号 姓名　　　　
知识点
1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2=c2）
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
3、满足的三个正整数，称为勾股数。
二、典型题型
题型1、求线段的长度
例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90º， CD⊥AB，D为垂足，AC=6cm,BC=8cm.
求① △ABC的面积； ②斜边AB的长；③斜边AB上的高CD的长。

练习
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（  ）
    A．2，3，4     B．3，4，6     C．5，12，13     D．4，6，7
2. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2
C．a2=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12
3. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.
4、已知：如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。

三、主要数学思想
1、方程思想
例题3、如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

例题4、已知：如图，在△ABC中，AB ＝15，BC ＝14，AC＝13．求△ABC的面积．

练习
1、如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落在C’处，折痕EF与BD交于点O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的长。

2、已知：如图，△ABC中，∠C＝90º，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长．

2、分类讨论思想（易错题）
例题1、 在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为

例题2、已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，则△ABC的周长为 ．

练习
1、在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为
2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。

四、巩固练习
1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）
A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25
C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10
2．直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ）
A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm
3．若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是 ( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）
A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能
5．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ 　　）cm2
A 6 B 8 C 10 D 12
A
B
E
F
D
C
第5题

6．如图小方格都是边长为1的正方形,图中四边形的面积为（ ）
A. 25 B. 12.5　　 C. 9 D. 8.5
7．直角三角形中，如果有两条边长分别为3，4，且第三条边长为整数，那么第三条边长应该是（ ） A. 5 B. 2 C. 6 D. 非上述答案
8．已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　）
A、5 B、25 C、7 D、15
9． 在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；
（2）b=8，c=17 ，则=
10. 等边三角形的边长为6，则它的高是________
11．已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为                 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
12. 在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________
13．等腰三角形的周长是20cm,底边长是6cm,则底边上的高是____________
14． 已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是高，且AB>AC,
B
A
C
E
D
(1). 若ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１０，ＡＣ＝８　求ＤＥ
(2). 求证：

15．如图，已知：等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12
求(1) △ABC的周长 (2) △ABC的面积

的两直角边（x＞y），下列四个说法：
①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的结论有 （填序号）
三、解答题：（共64分）
1、（15分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：
（1）使三角形的三边长分别为2，3，（在图①中画出一个既可）；
（2）使三角形为钝角三角形且面积为4（在图②中画出一个既可），并计算出所画三角形三边的长。

图① 图②

七年级数学组 - 14 -