《角的平分线的性质》第二课时参考教案.doc

§12．3 角的平分线的性质（二）
教学目标
（一）教学知识点：角的平分线的性质
（二）能力训练要求
1．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
（三）情感与价值观要求
通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．
教学重点：角平分线的性质及其应用．
教学难点：灵活应用两个性质解决问题．
教学方法：探索、归纳的方法．
教学过程
一．创设情境，引入新课
[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
二．导入新课
角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．
操作：
1．折出如图所示的折痕PD、PE．

2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．
画一画：
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？
拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．

问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？
问题2：（出示投影片）
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：

学生通过讨论作出下列概括：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．
由已知事项推出的事项：PD=PE．
【师】如何证明？请同学们试一试。
证明： 略（详见课本P49页）。
于是我们得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
[师]那么，在角的内部到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

于是，我们得到角平分线的性质的逆定理：
【师】在角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
【师】你能证明吗？请同学们试一试。

下面请同学们思考一个问题．
思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？

分析： 1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
2．比例尺为1：20000是什么意思？
讨论结果展示：
1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思．作图如下：
作法：第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．
第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．

[例]如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
所以PD=PE．
同理PE=PF．
所以PD=PE=PF．
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
三．随堂练习
1．课本P50页 练习．第1、2题 。
2．课本P51页 习题12.3 第4题 。
在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．
四．课时小结
今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，可以看出，随着研究的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．
五．课后作业：课本P51页 习题12.3 第2、3、5题．
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