二次函数知识点.doc

如皋市外国语学校八年级下数学期末复习 制卷人：冯海云 审核人：佘明秀
二次函数知识点
班级_________姓名_____________
1、二次函数的概念
一般地，如果特，特别注意a不为零。那么y叫做x 的二次函数。叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
4、求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.
（2）配方法：用配方法，将抛物线化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 若抛物线上有两点A（m,n）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x=
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
5、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0

y

0 x

y

0 x
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，
2、二次函数中，的含义：
（1）决定开口方向及开口大小：>0时，抛物线开口向上； <0时，抛物线开口向下。越小，开口越大
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧. 口诀 --- 同左 异右
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴； ③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
3、二次函数图象的平移

平移规律：左加右减 上加下减 (必须理解记忆)
4、二次函数的解析式
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）交点式：
5、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此用一元二次方程中的来判断二次函数图像与x轴的交点情况。
当>0时，图像与x轴有两个交点；若图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．则两点间的距离
当=0时，图像与x轴有一个交点；
当<0时，图像与x轴没有交点。
6、两点间距离公式：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为
7、设两条直线分别为，： ： 若且。 若
8、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。
9、对称点坐标:
关于轴对称：
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称：
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于原点对称：
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

二次函数期末复习（基础题）
班级____________学号______________姓名___________________
二次函数的定义
1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1； ②y=2x2； ③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1； ⑥y=mx2+nx+p； ⑦y =错误！未定义书签。； ⑧y=－5x。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。
4、若函数y=(m－2)xm －2+5x+1是关于的二次函数，则m的值为 。
5、已知函数y=(m－1)xm2 +1+5x－3是二次函数，求m的值为 。
二次函数的对称轴、顶点、最值
1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为 。
2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝ ，c＝ .
3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A. B. C. D.
5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( )
A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴
C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴
6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－的顶点的横坐标是2，则m的值是_ .
7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是 ，顶点坐标_________________.
8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝ 。
9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
10．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0.
11．已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝ ______ 。
12．已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m＝ 。
13．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。
二次函数的增减性
1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而 ；当x<1时，y随x的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。
2.已知函数y=4x2－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为 。
3.已知二次函数y=x2－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .
4.已知二次函数y=－x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3<x1<x2<x3，则y1,y2,y3的大小关系为 .
二次函数的平移
1.抛物线y= 2x2 ________________________ ，可以得到y=2(x+4)2－3。
2.将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
3.如果将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
4.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝ .
5.将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.
函数的的对称
1．+3x-2 关于y轴对称的抛物线解析式为： ．
关于x轴对称的抛物线解析式为： ．
关于原点对称的抛物线解析式为： ．
2．已知函数图像上有三点A（-1，m） B（，n） C （2，k）；则 m、n、k用“<”号连接为： ．
3．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
−6
-4
−2
-2
−2
…

根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y= ___________．
4．如图，抛物线的顶点为P（-2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，-2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ___________．
5.如图，□ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A，B．（1）求点A，B，C的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好过点D，求平移后抛物线的解析式．

函数的图象特征与a、b、c的关系
1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（　　　）
A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0
2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b+c> 0 B．b> -2a C．a-b+c> 0 D．c< 0
3.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有以下结论：①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤
4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ）

5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( )

6.正比例函数y=kx的图象在二、四象限，则二次函数y＝kx2-k2x+1的图象大致为图中的（ ）

A B C D
7.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a，b同号； ②当x＝1和x＝3时，函数值相同； ③4a＋b＝0; ④当y＝－2时，x的值只能取0； 其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y＝ax＋bc不经过（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）
1. 如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝ （写一个即可）
2. 二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 _____________　
3. 抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( )
A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点
4. 如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 则△ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1
5. 已知抛物线y＝5x2＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为 ，则m的值为( ) A.－2 B.12 C.24 D.48
6. 若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是
7. 已知抛物线y＝x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

函数的交点
1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。
2.直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有 个交点。
函数解析式的求法
1．已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式 。
2．抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式 。
3．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式 。
4．抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝ ，c＝ .
5．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式 。
6．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

7．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

8．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。

9．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

10.当x=3时，y最小值=－1，且图象过（0，7）

11.图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=

12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

13．y= －x2+2(k－1)x+2k－k2，它的图象经过原点，求①解析式 ②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。

14．抛物线y= (k2－2)x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － x+2上，求函数解析式。

二次函数应用
1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.
(1)试求y与x的之间的关系式.(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。
（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

．

3.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
求（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；
O
x
y
A
B
C
（2） 有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？

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