平行四边形的复习.doc

§第四章平行四边形的复习教案
教学目标：
1. 了解并掌握平行四边形的概念。
2. 熟练掌握平行四边形的性质。
3. 熟练掌握平行四边形的判定。
4. 掌握三角形的中位线定理。
应该达到的能力要求：
能够融会贯通的运用平行四边形知识解决几何问题。
知识梳理：
关于平行四边形的知识结构
一．平行四边形的性质
1.平行四边形的对边相等；
2.平行四边形的对边平行；
3.平行四边形的对角相等；
4.平行四边形邻角互补；
5.平行四边形的对角线互相平分；
6.平行四边形是中心对称图形．
两个推论：
1.夹在两条平行线间的平行线段相等；
2.夹在两条平行线间的垂线段相等．

平行四边形的判定方法
1、判定定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
2、判定定理１：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3、判定定理２：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4、判定定理３：对角线分别平分的四边形是平行四边形；
5、判定定理４：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
熟悉平行四边形的性质与判定是关键．解平行四边形的相关问题时，对角线是解决问题的常用线段，要用到全等三角形的证明，特殊三角形的性质等．

二、平行四边形知识应用比较广泛
1、直接运用平行四边形性质解决某些问题，例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等；
2、判定一个四边形为平行四边形，从而判定直线平行；
3、先判定一个四边形为平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题。
三、平行四边形的作图：
1、常见的平行四边形的作图：（1）已知两邻边和夹角作平行四边形；（2）已知一边，一条对角线及它们夹角作平行四边形；（3）已知一边和两条对角线求作平行四边形；（4）已知两邻边和一条对角线作平行四边形；（5）已知一边和一个内角以及过这个角顶点的一条对角线。
2、完成作图的关键步骤：
（1）先由条件作出它们能确定的三角形；（2）然后再将三角形补成平行四边形；
关于平行四边形判定复习的重点难点分析：

重点分析：
平行四边形的判定方法涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平行四边形的性质联系，判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四边形性质解决其他问题的基础，所以平行四边形的判定定理是重点。

难点：
灵活运用判定定理证明平行四边形。难点分析：平行四边形的判定方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是难点。

典型例题分析：
类型之一　有关多边形的计算
1.把多边形化成三角形或四边形来研究是数学中常用的方法，它可以把复杂问题化为简单问题，化未知为已知．

2．多边形的内角和公式
n边形的内角和为(n－2)×180°(n≥3)

例1.(2015·梧州一模)一个多边形的内角和与外角和之比为11∶2，则这个多边形的边数是 (　 　)
A．13 B．12 C．11 D．10

变式跟进：
如图4－1，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．

　解：∵∠A＋∠C＋∠E＝180°，
∠B＋∠D＋∠F＋∠G＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°.

例2　如图4－2，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.
　(1)求证：△ABC≌△EAD；
(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．

【解析】 观察图形可得，图由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和．

类型之二　 平行四边形的性质
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对角相等；
平行四边形邻角互补；
平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形是中心对称图形．
两个推论：
夹在两条平行线间的平行线段相等；
夹在两条平行线间的垂线段相等．
熟悉平行四边形的性质与判定是关键．解平行四边形的相关问题时，对角线是解决问题的常用线段，要用到全等三角形的证明，特殊三角形的性质等．

例2 如图4－2，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.

(1)求证：△ABC≌△EAD；
(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．

【解析】 (1)△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B＝∠DAE；
(2)根据全等三角形的性质，利用平行四边形的性质求解．

变式跟进1　如图4－3，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 ：

A．10 B．16 C．18 D．20

【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
又∵OE⊥BD，∴BE＝DE.
∵△CDE的周长为10，即CD＋DE＋EC＝CD＋BE＋EC＝CD＋BC＝10，
∴平行四边形ABCD的周长为2(BC＋CD)＝2×10＝20.

变式跟进2　已知：如图4－4，在▱ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH.
求证：△AEH≌△CGF.

证明：在▱ABCD中，BC＝DA，∠A＝∠C.
∵BF＝DH，∴FC＝HA.
∵AE＝CG，∠A＝∠C，
∴△AEH≌△CGF.

类型之三　 平行四边形的判定

平行四边形的判定方法有：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
在证明平行四边形时，常常需要运用平行四边形的性质．
例3　如图4－6，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BG⊥AC于G，DH⊥AC于H.求证：四边形GEHF是平行四边形．

【解析】 首先根据平行四边形的性质可知BO＝DO，AO＝CO，再证明△ABE≌△CDF，△ABG≌△CDH，则BE＝DF，AG＝CH，从而得到GO＝HO，EO＝FO，再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可证出四边形GEHF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AO＝CO，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB.
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
【点悟】平行四边形的性质可以得到边、角相等或边平行或对角线互相平分，把这些条件转化为全等三角形的判定条件．

变式跟进1　如图4－7，在平行四边形ABCD中，点E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F.求证：四边形ABDF是平行四边形．

变式跟进2　

已知：如图4－8，四边形ABCD是平行四边形，DE∥AC交BC的延长线于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F.求证：
(1)四边形ACED是平行四边形；
(2)AD＝CF.

证明：
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，
又∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴AD＝BC，AD＝CE，
∴BC＝CE，
∴在Rt△BEF中，FC为其中线，
∴FC＝BC，即AD＝CF.

类型之四　中心对称
中心对称图形是指把一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形和原来图形互相重合的图形．
例4　(2015·武汉)如图4－9，已知点A(－4，2)，B(－1，－2)，▱ABCD的对角线交于坐标原点O.

(1)请直接写出点C，D的坐标；
(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程；
(3)直接写出▱ABCD的面积．
解：(1)C(4，－2)，D(1，2)；
(2)由(1)知AB与CD关于原点中心对称，所以把AB绕原点旋转180°得到CD；
(3)▱ABCD的底边BC＝4－(－1)＝5，
高＝2－(－2)＝4，
∴S▱ABCD＝5×4＝20.

【点悟】
(1)平行四边形是以对角线交点为对称中心的中心对称图形；(2)关于原点对称的点的坐标特点是：点P(x，y)关于原点O的对称点是P′(－x，－y)．

变式跟进1　(2015·哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　 　)
A　　　　 　B　　　　 　C　　　　　D

类型之五　三角形的中位线
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
有中点，常作中位线；证明倍分问题常用到中位线的性质．
例5 如图4－11，点E，F，G，H分别是线段AC，BD，BC，AD的中点．求证：四边形EGFH是平行四边形

解析】 连结AB，CD后，根据三角形的中位线定理，可证明EGFH的对边平行，从而可证明四边形EGFH是平行四边形．
证明：如答图，连结AB，CD.
∵点E，F，G，H分别是线段AC，BD，BC，AD的中点，
∴EG∥AB，HF∥AB，GF∥DC，EH∥DC，
∴EG∥HF，GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形．

变式跟进1　如图4－12，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是两条对角线BD，AC的中点．

变式跟进2　(2015·高密月考)如图4－13，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．

最后小结：学好平行四边形这课内容是学好第五章特殊四边形的关键；也是八年级数学的重点内容。学好本章的关键是牢牢掌握平行四边形的概念，性质和判定。