高等数学知识点归纳.pdf

第一讲：极限与连续一.数列函数:1.类型：数列：*a*lim/(x)(含x f o o);x-oo/()；*3+1=3)(2)初等函数:(3)分段函数:*R(x)=IN)X XX0.5 0*(/(X)*E(x)=aX W X 0*5X=X。(4)复合(含/)函数：y=/(w),u=(p(x)(5)隐式(方程)：F(x,y)=0,f X=x(/)(6)参式(数一，二)：y=f (x)极限性质:1类型：*lim an；f 00*lim/(x)(含 x f 士)234无穷小与无穷大(注：无穷量)：未定型：一，1”,008,0-00,0 ,00 0 00性质：*有界性，*保号性，*归并性常用结论：_fl,(a_l_ nc T m a x 4 b,-(a 0)-0n!b+X1 i m-=,1一(x 0)o c,xlim x=1,XT 0+In x lim-=0,V-4-00 xX-0X 1 i mx f nr=,XT o+0000+00X-1四.必备公式：1.等价无穷小：当(x)f 0时，1s i XII 4工.、；t a n(x)口一；1-c o 谣 M 口.；2e()-1 口；ln(l+(x)口.z；(1+u(x J)-口一.；a r c s i/n x P 7.a r c t a/n x P z.2.泰勒公式：(1)e=l+x+x2+o(x2)；2!1 2 2(2)ln(l+x)=x-x+o(x)；2、.3/4、j)s in x=x-x+o(x)；3!/a 1 I 2 I 4/5、(4)c o s x=I-x+x+o(x),2!4!“a(a-?9(5)(1+x)=l+a x+-x+o(x).2!五.常规方法：前提：(1)准确判断(其它如：8 一8,0.8,0。，8。)；(2)变量代换(如:L=f)0 o o x1.抓大弃小(一)，002.无穷小与有界量乘积(a-M)(注s in 00)：1 1(1)(x-0)；(2)e(xfo o)；e*(x-0；(3)分段函数：|x|,x,ma x/(x)X5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注：非零因子)6.洛必达法则(1)先“处理“，后法顺2最后方法);(注意对比：lim与lim 土叱)0 Xf 1 1-X。1-X1 1 1 1 1(2)基指型处理：“(x)心)=e C(如：e777-6=/(e777二一 1)(3)含变限积分；(4)不能用与不便用7.泰勒公式(皮亚诺余项)：处理和式中的无穷小8.极限函数：/(x)=lim E(x,“)(今分段函数)2六.非常手段1.收敛准则：(l)a“=f(n)=lim f(x)XT+8(2)双边夹：*6 ,?*|a|0?2.导数定义(洛必达?)：Ji=f11 2 i3.积分和：lim-/r+)/-(+,-；.，=)/x,t0 n n n n 04.中值定理：lim f(x+a)-f(x)=a lim/)XT+00 XT+005.级数和(数一三)：00 C t CO2 n!Z an 收敛n lim a =o,(如 lim)(2)lim(ax+a2+，一8/?-00 m W-COn=1 =100(3)a J 与 Z 同敛散n=1七.常见应用：1.无穷小比较(等价，阶)：/(%).，、一 0)?*(1)/(0)=f(0)=J(0)=0,/(，)(0)=a f(x)=-x+a(x)口-n!n!(2)1/(t)df 口 J。”2.渐近线(含斜)：f(x)n(1)(7=lim-,h-im f(x)-ax=/(x).-.ax 00 X x co1、(2)f(x)=ax+b+a,(0)x3.连续性：(1)间断点判别(个数)；(2)分段函数连续性(附:极限函数，广(x)连续性)八.a,6上连续函数性质1.连通性:f(a,b)=m,M(注:V O A 1 平均”值:九/(a)+(1-2)/(6)=/(x0)2.介值定理:(附：达布定理)(1)零点存在定理：f(a)f(b)(J f(x)dx),=0.3第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一.基本概念：1*7 匕巳 JUfr j-IZ、,.17(X+口 j v./(X)-/(x。)1.差商与导数：/(x)=lim-；f(%.)=lim-D-。x-x0fix)-/(0)、/(x)一.(1)/(0)=lim-:-(汪：lim*-=/(/连续)n/(0)=0,广(0)=/)x-0%x T 0(2)左右导:/_(x0),/+(x0)；(3)可导与连续；(在x=o处，卜|连续不可导；xm可导)2.微分与导数：口,、一，、一/口一.一、口,、x)dx(1)可微O可导；(2)比较/,4/与0的大小比较(图示)；二.求导准备：1.基本初等函数求导公式；(注：(|/(x)|)，)d x 12.法则：(1)四则运算；(2)复合法则；(3)反函数一=一 dy y三.各类求导(方法步骤)：1.定义导：广与广(x)|；(2)分段函数左右导；lim W)二二 X=a hTO 卜Fix 工工工八(注 x)=，求:广(x。)，广(x)及广(x)的连续性)a X=2.初等导(公式加法则)：(1)“=g(x),求:。0)(图形题)；x x b b(2)尸(x)=f/)必，求:(x)(注(f(f(f f(t)dt),)*a*a*a*a(f(X X(3)y=”，。，求(x。)，/：(x。)及广(x。)(待定系数)/(x)X N X。2”小3 a dy dy3.隐式(/(x,y)=0)导：dx dx(1)存在定理；(2)微分法(一阶微分的形式不变性).(3)对数求导法.4.参式导(数一，二)：1)，求:y=y(/)dx dx45.高阶导/”(x)公式:(a-bx)，1+ln 71-a cos(qx+x)2尸)(0)n a=-a-bx(s in ax)=a s in(a x+-x n)；(c o s2(w v)=u v 4-C nu v+C“v+注：/(，)(0)与泰勒展式：f(x)=aQ+axx+a2x2+)四.各类应用：1.斜率与切线(法线)；(区别：y=/(X)上点。和过点“。的切线)2.物理:(相对)变化率-速度；3.曲率(数一二)：p=(曲率半径,曲率中心，曲率圆)(J1+广()34.边际与弹性(数三)：(附：需求，收益，成本，利润)五.单调性与极值(必求导)1.判别(驻点(%)=0)：(1)/(x)0=/(x)D；广(x)0n/(x)口；(2)分段函数的单调性(3)广(x)0n零点唯一;/(x)0=驻点唯一(必为极值，最值).2.极值点：f Y Y1 f 7 X)f u(X)(1)表格(广(x)变号);(由 lim-一手 0,lim o,lim-0=x=0 的特点)XT%X XTX。X XTX。(2)二阶导(/，(x0)=0)注(1)./与/:/的匹配(.广图形中包含的信息)；(2)实例：由 fx)+2(x)/(x)=g(x)确定点“x=x0”的特点.(3田域上最值(应用例：与定积分几何应用相结合，求最优)3.不等式证明(/(x)2 0)(1)区别：*单变量与双变量？*x e a与x a,+8),x g(-oo,+o o)?(2)类型：*/0,/()0；*/05*/Y O,f(a),f(b)0；*/(%)0/(x0)=O,/(xo)0(3)注意：单调性端点值极值凹凸性.(如：/(x)M=/max(%)=M)4.函数的零点个数：单调介值六.凹凸与拐点(必求导!)：1.表格;(/(x0)=0)2.应用：泰勒估计；广单调；(3)凹凸.七.罗尔定理与辅助函数：(注：最值点必为驻点)1.结论：F(b)=尸(a)n F()=/(J)=02.辅助函数构造实例：X(1)/(力=F(x)=J/(f)(2)广出)g(g)+f(Qg a)=0 n F(x)=f(x)g(x)f(x)(3)/(J)g(。)-/4)g 4)=0 n R(x)=-g(x)f A(x)/x(4)/)+X(J)/(J)=0n F(x)=e f(x)；3.尸)=0=/(x)有+1个零点=/(z)(x)有2个零点4.特例：证明/()(4)=a的常规方法:令尸(x)=/(x)-P“(x)有+1个零点(P“(x)待定)5.注：含小2时,分家!(柯西定理)6.附(达布定理)：/(x)在。，6可导,V c e 广(a),广(6),e,6,使:广(J)=c八.拉格朗日中值定理1.结论：/的)一/(a)=方一 a)；(。(。)0)2.估计：口,，、n,口-九.泰勒公式(连接厂，之间的桥梁)L 结论：/(X)=/(Xo)+/(x0)(x-Xo)+一/(Xo)(x-x0)2+f()(x-x0)3；2!3!2.应用：在已知/(a)或/)值时进行积分估计十.积分中值定理(附:广义)：注:有定积分(不含变限)条件时使用6第三讲：一元积分学一.基本概念：1.原函数尸(X)：(l)F(x)=/(x)；(2)/(x)Jx=dF(x)；(3)j f(x)dx=F(x)+c注E(x)=J(连续不一定可导)；(2)(x/(x)(x)连续)2.不定积分性质：(1)(j f(x)dx)=/(x)；d(|f(x)dx)=f(x)dx(2)J 广(x)dx=/(x)+c；|t/(x)=/(同二.不定积分常规方法1.熟悉基本积分公式2.基本方法：拆(线性性)J(勺/(X*4 g(x)乐x J A P 附 J k(3.凑微法(基础)：要求巧，简，活(1=s id x+c o s2 x),1 1 2 dx dx r如：dx=-d(a x+b),xdx=-dx,-=J In x,j=2d yjxa 2 x 7 xz-d x=+x,(1+InxX 井 d(x IV iZx74.变量代换：(1)常用(三角代换，根式代换，倒代换)：x=s in t,Jax+b=t,=t,Je+=t X(2)作用与弓|伸(化简)：V x2l-X=t5.分部积分(巧用)：(1)含需求导的被积函数(如In x,a rc t a n x,j f(t)dt)；(2)“反对惠三指：j xe dx,J x In xdx,(3)特别：J xf(x)dx(*已知/(x)的原函数为尸(x)；*已知广(x)=F(x)6.特例：(1)f sE CS Xdx；(2)j p(x)e1 dx,J p(x)s in axdx 快速法;(3)J dxa s in x+6 c o s x u(x)7三.定积分:1.概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界，充分条件:连续)(2)几何意义(面积，对称性,周期性，积分中值)*f J ax-x?dxa 0)=a 2Jo 8b a+b*f(x-)dx=0ia 2b(3)附：j f(x)dx 连续，f连续n可导(2)(1/(/皿”=/(X)；(3)由函数尸(x)=/(/)办参与的求导，极限，极值，积分(方程)问题J ab3.N-L 公式：J/(x)dx=少(6)-尸(a)(E(x)在a,b上必须连续!)注:(1)分段积分，对称性(奇偶)，周期性(2)有理式，三角式，根式 b(3)含J 的方程.b P4.变量代换：f f x n,(；*a*a(1)J f(x)dx=J f(a-x)dx(x=a-t)9(2)f f(x)dx=f f(-x)dx(x=-/)=f J a*a J(巴 1/(X)+/(-X)dx(如-dx)1+s in x4TC=Jj s inn-xdx=-1n_2,n7C(4)J 2 f(s in x)dx=J 2/(c o s x)dx；n-f(s in x)dx=2 f 2/(s in x)dx,0 J 0=(x-)/(x)J an 71n(5)f xf(s in x)dx=f f(s in x)dx,J o 2105.分部积分(1)准备时“凑常数”x b(2)已知广(x)或/(x)=f 时，求 f f(x)dxJ a J a86.附：三角函数系的正交性:2 k 2 n 2 ns invxd 井 f c o s/7 x xf s inxc o sm=xo J 0 J 0 2”2 ns in nx s in m xdx=c o s nx c o s mxdxn*m)=02.?dx)+(dy)0 J 02 Ttf s in 2 nxdx=fJ o J o四.反常积分：2 n2 COSnxdx-7t1.类型:(1)J f(x)dx,a 4-ooJ f(x)dx,Jf(x)dx(x)连续)b(2)J f(x)dx：(/(x)在 x=a,x-b,x-c(a c b)处为无穷间断)2.敛散;3.计算:积分法N-L公式极限（可换元与分部）4.特例:+00 1dx;五.应用：（柱体侧面积除外）1.面积，b(l)*=(x)-g(x)dx;J a(2)S=J f(y)dy；1 p,(3)s=-f r2 Ja2.体积：(4)侧面积:S=/2%/(x)Jl+广 2(x)dxh(1)KX=7T I-g(x)dx；d b(2)Vv=n f/dy=f xf(x)dx J c J a3.弧长：ds(l)y=/(x),X e 47,6/c、f X=xQ)(2)V(如伯努利方程)3.建立方程(应用题)的能力二.一阶方程：1.形式：(l)y=/(x,y)；(2)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0；(3)y(a)=b2.变量分离型：y=/(x)g(y)(1)解法：:=f(x)dx=G(y)=F(x)+C J g(y)(2)“偏”微分方程:=f(x,y)；dx3.一阶线性(重点)：尸+p(x)y=q(x)f p(x)dx 1 x(1)解法(积分因子法)：M(x)=e=y=-f M(x)q(x)dx+几M(x)J。(2)变化：x+p(y)x=q(y);(3)推广：伯努利(数一)y+p(x)y=q(x)ya4.齐次方程：y，=(巴)x一、r y“du dx(1)解法：u=w+xw*=O(w),f-=f-x(2)特例：也=.痴+|dx a2x+b2y c2人八，八、一r w,SN dM5.全微分方程(数一)：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 且-=-dx dyd U=M d 夫 N d=y 均 0 y cd X6.一阶差分方程(数三)：匕+叽=x n：,x y=D(D-)y,xy -Dy五.应用(注意初始条件)：1.几何应用(斜率，弧长，曲率，面积，体积)；注：切线和法线的截距2.积分等式变方程(含变限积分)；可设/(x)dx=R(x)/(a)=0 J a3.导数定义立方程：含双变量条件/(x+#=的方程4.变化率(速度)dv d2 x5.F=m a=-=-dt dt26.路径无关得方程(数一):二义=-dx dy7.级数与方程：(1)幕级数求和；(2)方程的基级数解法：y=%+a/+4工2+，-0,(0),%=尸(0)8.弹性问题(数三)11第五讲：多元微分与二重积分一.二元微分学概念1.极限，连续，单变量连续，偏导，全微分，偏导连续(必要条件与充分条件),=fix 口 口 口x O 7 Q/八 x J)一0，7 0 7,yJ-/一0，*/0，/(2)hm A/,fx=hm-;,fv=hm-Ax by了,口-一。口-/(判别可微性)一口.、口“注：(0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义:/(八0)-0,0)X人(0,0)=lim-0/(0,)-/(0,0)y2.特例：xyI-丰(0,0)(l)/(x,y)=/+/:(o,o)点处可导不连续；0,=(0,0)xyI)丰(0,0)(2)f(x,y)=ylx2+y2:(0,0)点处连续可导不可微;0,=(0,0)二.偏导数与全微分的计算：1.显函数一，二阶偏导：Z=f(x,y)注X型；(2)Z I;(3)含变限积分X 1(%,To)2.复合函数的一，二阶偏导(重点)：z=v(x,y)熟练掌握记号/1；,小；的准确使用3.隐函数(由方程或方程组确定)：t f F(x,y,z)=O._,、(1)形式：*F(x,j,z)=0；*(存在定理)G(x,y,z)=。(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性)：F dx+Fydy+F dz=0(要求：二阶导)(3)注：。，人)与z0的及时代入(4)会变换方程.12三.二元极值(定义?)；1.二元极值(显式或隐式)：(1)必要条件(驻点)；(2)充分条件(判别)2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注：应用)(1)目标函数与约束条件：z=/(x,y)e(x,y)=o,(或 多条件)(2)求解步骤：L(x,y,A)=f(x,y)+A(p(x,y),求驻点即可.3.有界闭域上最值(重点).(l)z=/(x,y)M e D=(x,y)(p(x,y)0(2)实例：距离问题四.二重积分计算：1.概念与性质(“积”前工作)：心，D(2)对称性(熟练掌握)：域轴对称；*/奇偶对称；*字母轮换对称；*重心坐标；(3)“分块”积分：*Q=qU-；*/(x,y)分片定义；*/(x,y)奇偶2.计算(化二次积分)：(1)直角坐标与极坐标选择(转换)：以为主；(2)交换积分次序(熟练掌握).3.极坐标使用(转换)：/(1+/)2 2附：D:(x-a)2+(y-b2 R2；D:-+:7 1；a b双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)D:|x|+|y|0 n 52n+|-s=s”t s；二.正项级数1.正项级数：(1)定义：0;(2)特征：S,口;2.标准级数：(1)Z(2)工也?，n n3.审敛方法：(注：2a b a2+b2 9anb=bna)(3)收敛。S“00n三.交错级数（含一般项）：Z（-1）匕（。“0）1.“审”前考察：（1）。“0?-0?；（3）绝对（条件）收敛？*注：若lim=/?1,则Z 发散 n oo 口 n2.标准级数：（1）2（-1广；（2）Z（-（3）Z（T）”一一3.莱布尼兹审敛法（收敛?）（1）前提：ZLI发散；条件：口,.0;（3）结论：Z（T）”条件收敛4.补充方法：（1）加括号后发散，则原级数必发散；（2）$2.-s,f 0=$2“+1 f s n sf s.5.注意事项：对比Z 小 Z（-1）Z.；ZLI；Z之间的敛散关系14四.四级数:1.常见形式:(1)E a，Z，,(x x。)，Z j(x x。)?2.阿贝尔定理：(1)结论：x=x 敛 n 7?|x-x01；x=x 散 n 7?S(x)的微分方程应用:Z a“=Z ax=S(x)n Z a=S.6.方程的辱级数解法7.经济应用(数三)：复利：A(+p)n；(2)现值:A(1+p)n五.傅里叶级数(数一)：(T=2万)001.傅氏级数(三角级数)：s(x)=+y an c o s wx+bn s in nx 2 2.入e f充分条件(收敛定理)：由/(x)n S(x)(和函数)(2)S(x)=-/(%-)+/(%+)21”an-f/(x)c o s nxdx1 n TT J 一 开3.系数公式：t z0=一f f(x)dx,”=1,2,3,兀 J I 1 nb“=F f(x)s in nxdx4.题型:(注：f(x)=S(x),x e?)(1)7=27t 且/(x)=、7,乃(分段表示)(2)x e(一万，乃或xe 0,27(3)x e 0,万正弦或余弦*(4)x e 0,(7=)*5.T=21006.附产品：/(X)=S(x)=2-+V a cos nx+b s in nx2 土a 0 00 1nS(x0)=+工，c o/79r o+b 而四产+/(Xo+)16第七讲：向量，偏导应用与方向导（数一）一.向量基本运算1.ka+k2h；（平行=b=Aa）2.|;（单位向量（方向余弦）,c/i)s/c)3.a b；(投影：(6)-一 厂 ；垂直:a-L b o a-h=0 夹角:口、一 i 广 i)H HH4.a x b(法向:=a x 6 _ L a,6；面积:SD-x/)|)二.平面与直线1.平面n(1)特征(基本量)：M o(Xo,孔，z 0)n=(A,B,C)(2)方程(点法式)：7i:A(x-擀)+B(y oy)+C(0 z)=0=A*G-z（3）其它：*截距式上+二+三=1;*三点式 a b c2.直线L(1)特征(基本量)：M()(XO,y0,Zo)s=(?，p)（2）方程（点向式）：匚l=二=三二 m n p人 y t f A.x+B,y+C,z+2=0(3)一般方程(交面式)：1 1A2x+B2y+C2z+4=0fx=a1+(a2-aJ)Z(4)其它：*二点式；*参数式;(附：线段25的参数表示:1 y=4+(%-Z=J+-Cjt3.实用方法：(1)平面束方程：71:Ax+By+C+D1+A(A2x+B2y+C2z+D2)=0(2)距离公式：如点Mo(x。，几)到平面的距离d=I。：“。+。二。+。1-J A2+B2+C2(3)对称问题；（4）投影问题.17三.曲面与空间曲线(准备)1.曲面(1)形式 Z：E(x,y,z)=0 或 z=/(x,y)；(注柱面/(x,y)=0)(2)法向=(Fx,Fy,F：)=(c o s a,c o s c o s/)(或=(一 z,-z,1)2.曲线 x-x(Z)八、s t t f F(x,y,z)=0(1)形式:y=y(t),或；G(x,y,z)=0z=z(/)(2)切向：S=x f),V(f),Z n=(fx,fy-1)(2)切平面与法线:2.曲线(1)切向：x=x(t),y=y(t),z=z(Z)s=(x z)(2)切线与法平面f F=0-3.综合：r：=/k y,2G=gradz=/fy,；(b)u=/(x,y,8 g r a=d w(y,u z(2)结论(6)取/=G为最大变化率方向;(c),(河0)1为最大方向导数值.19第八讲：三重积分与线面积分(数一)一.三重积分)1.Q域的特征(不涉及复杂空间域)：(1)对称性(重点)：含：关于坐标面；关于变量；关于重心(2)投影法：D xy=(x,y)|x2+y2 火)z,(x,j)z z2(x,y)(3)截面法：D(z)=(x,)|x2+j；2 rXz)a W z b(4)其它：长方体，四面体，椭球2.7的特征：单变量/(Z),(2)/(，+/),(3)/(x2+/+Z?),(4)f=ax+by+cz+d3.选择最适合方法：(1)“积前：*JJJ dv；*利用对称性(重点)nb(2)截面法(旋转体)：I=J dz JJ/X办(细腰或中空，Z),/(/+/)D(z)(3)投影法(直柱体)：I=ff dxdy fdz J J J Z(x,y)o”2n a R(4)球坐标(球或锥体)：I=f d 0 f s in(pd(p f f()P d P,J 0 Jo J 0重心法(/=ax+by+cz+d)：I=ax+hy+cz+d)%4.应用问题：(1)同第一类积分：质量，质心，转动惯量，引力2G auss 公式二.第一类线积分(Js)L1.“积”前准备：(1)J ds=L；对称性；(3)代入“表达式Lfx=x(r)b I；2.计算公式：f fds=f f x 1U=；ia3.补充说明：(1)重心法：j ax+by+c)ds=(a x+h y+c)L；L(2)与第二类互换：A-rds=fA rL204.应用范围(1)第一类积分(2)柱体侧面积Jz(x,y)dsL三.第一类面积分(JJ/S)1.“积”前工作(重点)：(l)JJdS=S；(代入:E(x,y,z)=0)(2)对称性(如：字母轮换，重心)(3)分片2.计算公式：(l)z =z(x,y),(x,y)e Dxy=I=|J/(x,y,z(x,y)Jl+z j+z dxdy d,，(2)与第二类互换：JJZ.dS=JJZSS四：第二类曲线积分(1)：j P(x,y)dx+0(x,y)打(其中L有向)L.-I 3 1X=x(t)，21.直接计算：/2n/=f Px(t)+Qyt)dtU=y(t)J，1常见(1)水平线与垂直线；(2)2+y 2=12.Gre e n 公式：口 ff-)dxdy；1 O ex dy.dP dQ mg/丁 3P dQ hl”P(2)f:-=-=换路径；-w-=围路径*(3)口(0”P,但。内有奇点)口 口(变形)W J JL L L*3.推广(路径无关性):=dy dy(l)Pdx+Qdy=du(微分方程)=J=u(道路变形原理)B)(2)J P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径无关(f待定)：微分方程.L4.应用功(环流量):/=F-d r(T 有向 t,尸=(P,Q,R),dr=tds=(dx,dy,dz)r21dz内无奇点dx+Rdxdy=JJJ div Advc；*封闭曲面变形口 (含奇点)五.第二类曲面积分：1.定乂：Pdydz+Qdzdx 4-Rdxdy,或 JJ 7?(x,y,z)dxdy(其中 E 含侧)S 2.计算：(1)定向投影(单项)：Jj 7?(x,y,z)dxdy，其中E：z=z(x,y)(特别:水平面)；z注：垂直侧面，双层分隔(2)合一投影(多项，单层)：n=(zx-zy,1=JJ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ p(-zx Q(zr+)R dxV y(3)化第一类(Z 不投影)：n=(c o s a,c o s/7,c o s/)n P d y d-z Q d 去 d x y c o a 铲 c 中 c o 长E E3.Gauss公式及其应用：(1)散度计算：div A-+-+-dx dy(2)6 auss 公式：S封闭外侧，Q E(3)注：*补充“盖”平面:JJ+JJ Z。4.通量与积分：二。4/5(2有向，4=(尸，,尺)5=45=(dydz,dzdx,dxdy)z六：第二类曲线积分(2)：J P(x9 y9 z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y9 z)dz r1.参数式曲空r：直接计算(代入)注(1)当=0时一，可任选路径；(2)功(环流量)r2.St o ke s公式：(要求：为交面式(有向)，所张曲面E含侧)/、虫 打、石一 u a e(1)旋度计算：R=又 A=(,)x(P,Q,R)dx dy dzf F=0-(2)交面式(一般含平面)封闭曲线：=同侧法向=匕，尸，,，尸，或G,G,G_；G=0(3)St o ke s 公式(选择)：x A)-ndSr E(a)化为 JJ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy；(b)化为 JJ R(x9 y,zydxdy；(c)化为 j j fdS Z Eg22