经济数学微积分函数的极限.pdf

第二节函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质三、小结思考题经济数学微积分一、函数极限的定义在自变量的某个变化过程中，如果对应的函 数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定 的数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。下面，我们将主要研究以下两种情形：（1）自变量 X任意接近于有限值 X。（X fX。），对应的函数值/（X）的变化情形；（2）自变量 x的绝对值 卜|无限增大（x f8）,对应的函数值/（M）的变化情形；1.自变量趋于有限值时函数的极限问题：函数y=/(x)在x f X。的过程中，对应 函数值/(%)无限趋近于确定值4./(x)-A 表示/(x)-A任意小；0 x-x0 XoI 定叉 Vg。打6 0、使当 0|x乙|3 时，I 恒有 f(x)-A s.经济数学一微积分、,g.d1 注意：1.函数极限与 f(x)t1 2.B与任意给定的正数1 几何解释：1)当在的去心 3邻 4 4卢三点*0是否有定义无关；1有关.1V=/(X)1_z 11 o域时，函数y=/(x)A广 1/1囹形兀生洛仕以旦 A-1 线y=4为中心线,7:3:1 宽为2的带形区域内.71显然，3并不唯一，也不需要、0-5%。x0+3%取到最大的 5.1经济数学微积分例2证明lim C=C,（C为常数）.Xf Xo证任给8 05任取5 0,当0 卜-3时，/(x)-=C-C=0 0,取 3=e,当 0 x-xQ b=g 时，/(X)-AX *0 Xo经济数学微积分%1例4 证明Um-=2.”-1 JC 1证 函数在点x=l处没有定义.X 2 _ /(x)a=-2=k _ 11 任给 8 0,X-1要使/(x)-A E,只要取 5=8,当0 x-Xo b时，就有V 2 X 1-2x-1 1 jc X经济数学微积分例5 证明：当人0时im a/T=X-Xo任给 s 0,要使/(x)-A e9只要 x-x0 0s 且不取负值.取 8=min x 0,),当 0 x-x0 3 时，就有 yx-8,Xo经济数学微积分3.单侧极 限(one-sided limit)Z例如，1-x,x 0设/(x)=0证明 lim/(x)=1.x-0分工 0和x 0两种情况分别讨论x从左侧无限趋近 x0,记作x f X。；X从右侧无限趋近 A：。，记作x f xQ+;经济数学微积分左极限 Ve0,m30,使当 0-5%X0 时,恒有|/(x)-a 0,3 0,使当 不。%。+5时,恒有/(x)-A s.(right-hand limit)记作 lim/(x)=A 或 f(x)=A.+U:x 0 x-X 5=x 0 x-x0 8Ux-8 x-x0 0X Xlim 一=lim 一=lim 1=1x-0+X Xf。+X 0+1左右极限存在但不相等Hm/(x)不存在x 0经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分问题：函数歹=/(X)在X f 00的过程中，对应I 函数值/(X)无限趋近于确定值A.I 通过上面演示实验的观察：sin x当x无限增大时，/(*)=-无限接近于 0.xI 问题：如何用数学语言刻划函数“无限接近”.I f(x)-A X表示x f oo的过程.经济数学一微积分2.另两种情形：1 .x +oc 情形：lim/(X)=4 o X-+00Vo,mxo,使当 xX时，恒有|/(x)a 053X 0,使当 x X时，恒有|/(x)a 00 X-+8 X-)8经济数学微积分3.几何解释:经济数学微积分二、函数极限的性质定理1（函数极限的惟一性）如果lim/（x）存在，则这个极限唯一.X-Xo定理2（函数极限的局部有界性）如果lim/O）存在，那么存在常数 x-XoV 0和5 0,使得当0 k%o I 5时，有|/（x）|0（或）0,x-Xo使得当 0 k-、o|0（或 f（x）.0 2推论 若 lim/（x）=Z,且 0,当 xe U（x0）时，Xo/（X）0（或/（、）V 0）,贝Ijz 2 0（或 Z 0）.经济数学一微积分，例7 证明lim sin 一不存在Xf X证取xn=1n 7i9lim9=，且乙工n T 8y取114 n+1712lim x：=0,且 x，w 0;n n 7oo经济数学微积分而 lim sin n-oo*1而 lim sin 00 v二者不相等=lim sin n tc-0,M 004 n+1=lim sin-兀 oo 2=lim 1=1,001故lim sin 一不存在X f 0 V*经济数学微积分入小结思考题函数极限的统一定义lim f(n)=A;lim/(x)=A;Hm f(x)=A;lim f(x)=AXfOO Xf+8 Xf-oolim/(x)=A;lim/(x)=A;lim/(x)=A.K-X Q XfX。Xf X。lim/(x)=力=V 0,3时亥I，从此时刻以后,恒有/(x)-4 00X T+00X f-00时亥1N从此时刻以后n Nx Nx Nx -N/（X）/(x)-A 过程X f*0+x X。X f*0时亥If5从此时刻以后0 x-x0 50 x-x0 8-8x-x00，（x）/(x)-A 0X=0在x=0处25+x,x 0 x 0.1 lim/(x)=lim x sin 一=A+A+x-0 x-0 xlim/(x)w lim/(x)+xf 0 x 05,左极限存在，0,右极限存在，lim/(x)不存在x f 0经济数学微积分练习题一、填空题：1.当x-2时，y=x-4,问当 b取 时，只要 0 卜2 3,必有 y-4 QO 时，V=；-1，问当 N 取2 c-x+3时，只要 x z,必有 j-1 00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分将（*）减去（*）得科伊克变换模型:Yt-=(I 2)。+Bx,+5 一整理得科伊克模型的一般形式:Y=a+bX f+cY t +v,t t r-1 t其中：（1 一 7）a,6 二夕0,c 二;I,匕=（一 一经济数学微积分科伊克模型的特点:(1)以一个滞后因变量Y自代替了大量的滞后 解释变量X国最大限度地节省了自由度，解决 了滞后期长度s难以确定的问题；(2)由于滞后一期的因变量丫自与Xf的线性相关 程度可以肯定小于X的各期滞后值之间的相关程 度，从而缓解了多重共线性。但科伊克变换也同时产生了两个新问题:(1)模型存在随机项和Vt的一阶自相关性；(2)滞后被解释变量Yt-1与随机项vt不独立。这些新问题需要进一步解决。经济数学微积分三、自回归模型的参数估计1.自回归模型的构造 一个无限期分布滞后模型可以通过科伊克变换 转化为自回归模型。事实上，许多滞后变量模型都可以转化为自回 归模型，自回归模型是经济生活中更常见的模 型。以适应预期模型以及局部调整模型为例进行说 明。经济数学微积分(1)自适应预期(Adaptive expectation)模型在某些实际问题中，因变量Yt并不取决于 解释变量的当前实际值Xt，而取决于Xt的“预 期水平”或“长期均衡水平”Xt%例如，家庭本期消费水平，取决于本期收 入的预期值；市场上某种商品供求量，决定于本期该商 品价格的均衡值。经济数学一微积分因此，自适应预期模型最初表现形式是：匕=2。+BX：+(由于预期变量是不可实际观测的，往往作如 下自适应预期假定：其中：r 为预期系数(coefficient of expectation),0r 1 o经济数学微积分该式的经济含义为：“经济行为者将根据过 去的经验修改他们的预期”，即本期预期值的形成 是一个逐步调整过程，本期预期值的增量是本期实 际值与前一期预期值之差的一部分，其比例为r。这个假定还可写成:将X，Xe=rX+(1-r)X e,t t v 7 t-1=吟+(1 r)X.代入I /I-1工得：匕=。+/，+(*)将(*)式滞后一期并乘以(1-r),得:(1-r)h=。(1-+)+凡(1-r)X+(1-r)一()以(*)减去(*),整理得：%=B。B、rX,+(1-r)Yt_+匕其中 匕=,_(1 一尸)一可见自适应预期模型转化为自回归模型。经济数学微积分(2)局部调整(Partial Adjustment)模型 局部调整模型主要是用来研究物资储备问题的。例如，企业为了保证生产和销售，必须保持一 定的原材料储备。对应于一定的产量或销售量 Xt,存在着预期的最佳库存Y/。局部调整模型的最初形式为：匕=。+3+不可观测。由于生产条件的波动，生产管理 方面的原因，库存储备Yt的实际变化量只是预 期变化的一部分。储备按预定水平逐步进行调整，故有如下局 部调整假设：z-1=W*)或：blYt SY；+SyYt_1*)其中，b为调整系数，0V 8 1将(*)式代入Y”那 0+印/+(1)丫一+加，可见，局部调整模型转化为自回归模型丫：f L经济数学微积分2.自回归模型的参数估计对于自回归模型:Yqa.+a X+o 1 t/j i t-1 r ti=1估计时的主要问题：滞后被解释变量的存 在可能导致它与随机扰动项相关，以及随机扰 动项出现序列相关性。考伊克模型:1(1 _ A)a+B0Xt+一+匕自适应预期模型：匕=B/+Arx，+（）*+匕匕=一（1 一经济数学微积分显然存在：cov（y,T，v,）#COV（匕，匕 t）LO局部调整模型：Y t=X t+（1-S）Y-+私，存在：滞后被解释变量丫向与随机扰动项3人的 异期相关性。因此，对自回归模型的估计主要需视滞后被 解释变量与随机扰动项的不同关系进行估计。以一阶自回归模型为例说明：经济数学微积分(1)工具变量法对于一阶自回归模型:匕=0+。1/+02匕-1+tI 若丫口与民同期相关，则OLS估计是有偏的，I并且不是一致估计。I 因此，对上述模型，通常采用工具变量法，I即寻找一个新的经济变量4，用来代替Y-。I 参数估计量具有一致性。经济数学一微积分、。d在实际估计中，一般用X的若干滞后的线性 组合作为Yg的工具变量：匕一1=a o+a 2X t 2+a sX t s由于原模型已假设随机扰动项内与解释变量 X及其滞后项不存在相关性，因此上述工具变量 与也不再线性相关。一个更简单的情形是直接用Xt_i作为丫向的工 具变量。经济数学一微积分、G (2)普通最小二乘法若滞后被解释变量Yi与随机扰动项内同期 无关(如局部调整模型)，可直接使用OLS法进 行估计，得到一致估计量。注意：上述工具变量法只解决了解释变量与民相关 对参数估计所造成的影响，但没有解决内的自相 关问题。经济数学微积分事实上，对于自回归模型，pit项的自相关 I 问题始终存在，对于此问题，至今没有完全有I 效的解决方法。唯一可做的，就是尽可能地建I 立“正确”的模型，以使序列相关性的程度减I 转I 悯5.2.3建立中国长期货币流通量需求模型I 经验表明：中国改革开放以来，对货币需求量(Y)的影响因素，主要有资金运用中的贷款 额(X)以及反映价格变化的居民消费者价格指数(P)o经济数学一微积分长期货币流通量模型可设定为：1=/。+BX t+B 2Pt+/（*）由于长期货币流通需求量不可观测，作局部调整:匕一）（*）将（*）式代入（*）得短期货币流通量需求模型：匕=郊。+印 X t+印 R+（-前，经济数学微积分、G.r表 5.2.2中国货币流通量、贷款额、居民消费价格指数历史数据单位：亿元，上年二100年度贷币流通量 民民消费贷款额年度贷币流通量民民消费贷款额Y 价格指数XY价格指数XPP1978212.0100.7185019902644.4101.317680.71979267.7101.92039.619913177.8105.121337.81980346.2107.52414.319924336.0108.626322.91981396.3102.52860.219935864.7116.132943.11982439.11023180.619947288.6125399761983529.81023589.919957885.3116.850544.11984792.1102.74766.119968802.0108.861156.61985987.8111.95905.6199710177.6103.174914.119861218.41077590.819981 1 204.299.486524.119871454.5108.89032.5199913455.598.793734.319882134.0120.710551.3200014652.7100.899371.119892344.0116.31 4360.1经济数学微积分对局部调整模型:匕=阴0+,+阴2尸，+(1-b)y一+私，运用OLS法估计结果如下：%=-3700.4+0.0714 X,+36.10 P+0.5638*(-2.93)(2.86)(3.10)(2.87)R2=0.9959 费=().9953 F=1 167.96，D.W.=1.733经济数学微积分最后得到长期货币流通需求模型的估计式：X/=-8483.3+0,1637 X,+82.75 Pt注意：由(1-5)=0.5638.#8=0.4362 尽管D.W.=1.733,但不能据此判断自回归模型 不存在自相关(Why?)。但LM=0.7855,a=5%下，临界值为2(1尸3.84,判断：模型已不存在一阶自相关。如果直接对下式作OLS回归匕=+%X,+凡尸,+，得，匕=-5611.66+0.1427 不+54.19/(-4.81)(58.79)(5.05)R2=0.9913 9937 F=1735.36,D.W.=1.20 I可见该模型随机扰动项具有序列相关性,经济数学微积分四、格兰杰因果关系检验自回归分布滞后模型旨在揭示：某变量的变化 受其自身及其他变量过去行为的影响。然而，许多经济变量有着相互的影响关系GDP问题：当两个变量在时间上有先导滞后关系 时，能否从统计上考察这种关系是单向的还是双 向的？即:主要是一个变量过去的行为在影响另一个变 量的当前行为呢？还是双方的过去行为在相互影 响着对方的当前行为？经济数学微积分格兰杰因果关系检验(Granger test of causality)对两变量Y与X,格兰杰因果关系检验要求估计:m m匕=Z aixt-i+E 九丫一+(*)i=1 i=1m mx=y A.Yt.+y ax,.+/(*)t/j i t i/j i t-i r 21 /i=i=经济数学微积分可能存在有四种检验结果:(1)X对Y有单向影响，表现为(*)式X各滞后 项前的参数整体为零，而Y各滞后项前的参数整I体不为零；(2)Y对X有单向影响，表现为(*)式Y各滞 后项前的参数整体为零，而X各滞后项前的参数 整体不为零；(3)Y与X间存在双向影响，表现为Y与X各滞后 项前的参数整体不为零；经济数学一微积分(4)Y与X间不存在影响，表现为Y与X各滞后 项前的参数整体为零。格兰杰检验是通过受约束的F检验完成的。如:针对m mz=1 z=1中X滞后项前的参数整体为零的假设(X不是Y的格 兰杰原因)。分别做包含与不包含X滞后项的回归，记前 者与后者的残差平方和分别为RSSu、RSSr；再计 算F统计量：(RSS.-RSS )/mF=-RSS u/(左)k为无约束回归模型的待估参数的个数。如果：FFa(m,n-k),则拒绝原假设，认为X 是Y的格兰杰原因。经济数学微积分注意：格兰杰因果关系检验对于滞后期长度的选 择有时很敏感。不同的滞后期可能会得到完全 不同的检验结果。因此，一般而言，常进行不同滞后期长度 的检验，以检验模型中随机误差项不存在序列 相关的滞后期长度来选取滞后期。经济数学一微积分 G 例5.2.4检验19782000年间中国当年价GDP与 居民消费CONS的因果关系。表5.2.3 中国GDP与消费支出（亿元）年份人均居民消费CONSP人均GDPGDPP年份人均居民消费CONSP人均GDPGDPP19781 759.13605.619909113.218319.519792005.44074.0199 110315.921280.419802317.14551.3199212459.825863.719812604.14901.4199315682.434500.719822867.95489.2199420809.846690.719833182.56076.3199526944.558510.519843674.57164.4199632152.368330.4198545898792.1199734854.674894.21986517510132.819983692 1.179003.319875961.211784.7199939334.482673.119887633.114704.0200042911.989112.519898523.516466.0经济数学一微积分,取两阶滞后?Eviews给出的估计结果为:Pairwise G ranger Causality TestsSam pie:1 978 2000Lags:2N uII H ypothesis:0 bsF-StatisticP roba bilityGDP does not G ranger Cause CONSCONS does not G ranger Cause GDP214.297491.823250.032080.1 9350经济数学微积分判断：a=5%，临界值Foo5(247尸3.59拒绝GDP不是CONS的格兰杰原因”的假设，不 拒绝CONS不是GDP的格兰杰原因”的假设。因此，从2阶滞后的情况看，GDP的增长是居 民消费增长的原因，而不是相反。但在2阶滞后时，检验的模型存在1阶自相关性。表5.2.4 格兰杰因果关系检验滞后长度 格兰杰因果性 F值 P值 LM值 AIC值 结论2 x 4.297 0.032 0.009 1 6.08 拒绝GDP-CONSx 1.823 0.1 94 0.008 1 7.86 不拒绝CONS GDP3 x 1 0.2 1 9 0.00 1 0.0 1 0 1 5.14 拒绝GDP CON SX 4.096 0.69 1 0.1 9 1 1 7.14 不拒绝CONS GDP4 x 19.643 10E-04 0.1 10 14.70 拒绝GDP CONSx 5.247 0.0 1 5 0.027 1 6.42 拒绝CONS GDP5 Z 10.32 1 0.004 0.464 14.72 拒绝GDP CONSx.5.085 0.028 0.874 1 6.30 拒绝CONS GDP6 x.4.705 0.078 0.022 1 4.99 不拒绝GDP CONS7.773 0.034 1.000 1 6.05 拒绝CONS GDP经济数学一微积分、彳分析：随着滞后阶数的增加，拒绝“GDP是居民消 费CONS的原因”的概率变大，而拒绝“居民消费 CONS是GDP的原因”的概率变小。如果同时考虑检验模型的序列相关性以及赤 池信息准则，发现：滞后4阶或5阶的检验模型不 具有1阶自相关性，而且也拥有较小的AIC值，这 时判断结果是:GDP与CONS有双向的格兰杰因果 关系，即相互影响。5.3模型设定偏误问题一、模型设定偏误的类型 二、模型设定偏误的后果 三、模型设定偏误的检验经济数学微积分一、模型设定偏误的类型模型设定偏误主要有两大类：(1)关于解释变量选取的偏误，主要包括漏选 相关变量和多选无关变量，(2)关于模型函数形式选取的偏误。1.相关变量的遗漏(omitting relevant variables)例如，如果“正确”的模型为：y=#。+而我们将模型设定为：Y=10+%占+v即设定模型时漏掉了 一个相关的解释变量O 这类错误称为遗漏相关变量。经济数学微积分2.无关 变量的误选(including irrevelant variables)例如,如果Y 邛 o+piXi+aXz+pi仍为“真”，但我们将模型设定为:Y=a0+04X1+a2X2+a3X3+jll即设定模型时，多选了一个无关解释变量。经济数学微积分3.错误的函数形式(wrong functional form)例如，如果“真实”的回归函数为：Y=AX X?e但却将模型设定为：Y=J30+/32X2+v经济数学微积分 4 ，二、模型设定偏误的后果当模型设定出现偏误时，模型估计结果也 会与“实际”有偏差。这种偏差的性质及 程度与模型设定偏误的类型密切相关。1.遗漏相关变量偏误采用遗漏相关变量的模型进行估计而带来的 偏误称为遗漏相关变量偏误(omitting relevant variable bias)。设正确的模型为：Y 邛 0+B1X1+B2X2+N却对Y=a0+oqXi+v进行回归，得：/X%2 V经济数学微积分将正确模型Y邛0+B1X1+B2X2+N的离差形式:匕=0晨+B?X 2i+%N代入八 E,%=ET 得:八%E E 壬，（/1，+凡,+）IX、i=%+%E E/，（，一）-+-I、iI x：如果漏掉的X2与X1相关，则上式中的第二项 在小样本下求期望与大样本下求概率极限都不 会为零，从而使得OLS估计量在小样本下有偏,在大样本下非一致。(2)如果X2与X1不相关，则内的估计满足无偏性 与一致性；但这时为的估计却是有偏的。(3)随机扰动项口的方差估计浇也是有偏的。(4)5的方一差是真实估计量的方差的有偏估计o由 Y=a0+otiXi+v 得：由 Y邛0+P1X1+B2X2+N 得:2CT及（/1）=-72 2 2 E%,Var1”0-二-Z、阳，一（2/屋）2 Z如果X2与X1相关，显然有如果X2与X1不相关，也有Var（d）w Var（/1）人 Why?Var（氏）w Var（友）