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机械零件的接触应力计算
   摘要：传递动力的高副机构，如摩擦轮、凸轮齿轮、链轮传动、滚动轴承、滚动螺旋等，都有接触强度问题，自然也涉及到接触应力。在此对接触应力计算作较为全面的讨论。
   关键词：接触应力　赫兹应力公式　高副
　　两曲面的弹性体在压力作用下，相互接触时，都会产生接触应力，传递动力的高副机构在工作中往往出现的是交变应力，受交变接触应力的机器零件在一定的条件下会出现疲劳点蚀的现象，点蚀扩散到一定程度，零件就不能再用了，也就是说失效了，这样失效的形式称之为疲劳点蚀破坏，在ISO标准中是以赫兹应力公式为基础的。本文较为集中地讨论了几种常见曲面的赫兹应力公式及常用机械零件的接触应力计算方法，便于此类零件的设计及强度验算。
1　任意两曲面体的接触应力
   1.1　坐标系
　　图1所示为一曲面体的一部分，它在E点与另外一曲面体相接触，E点称为初始接触点。取曲面在E点的法线为z轴，包括z轴可以有无限多个剖切平面，每个剖切平面与曲面相交，其交线为一条平面曲线，每条平面曲线在E点有一个曲率半径。不同的剖切平面上的平面曲线在E点的曲率半径一般是不相等的。这些曲率半径中，有一个最大和最小的曲率半径，称之为主曲率半径，分别用R′和R表示，这两个曲率半径所在的方向，数学上可以证明是相互垂直的。平面曲线AEB所在的平面为yz平面，由此得出坐标轴x和y的位置。任何相接触的曲面都可以用这种方法来确定坐标系。由于z轴是法线方向，所以两曲面在E点接触时，z轴是相互重合的，而x1和x2之间、y1和y2之间的夹角用Φ表示(图2所示)。

图1　曲面体的坐标

图2　坐标关系及接触椭圆
   1.2　接触应力
　　两曲面接触并压紧，压力P沿z轴作用，在初始接触点的附近，材料发生局部的变形，靠接触点形成一个小的椭圆形平面，椭圆的长半轴a在x轴上，短半轴b在y轴上。椭圆形接触面上各点的单位压力大小与材料的变形量有关，z轴上的变形量大，沿z轴将产生最大单位压力P0。其余各点的单位压力P是按椭圆球规律分布的。
其方程为　　
单位压力　　
总压力　　P总＝∫PdF
　　∫dF从几何意义上讲等于半椭球的体积，故

　　接触面上的最大单位压力P0称为接触应力σH
　　　（1）
　　a、b的大小与二接触面的材料和几何形状有关。
2　两球体的接触应力
　　半径为R1、R2的两球体相互接触时，在压力P的作用下，形成一个半径为a的圆形接触面积即a＝b(图4)，由赫兹公式得

式中：E1、E2为两球体材料的弹性模量；μ1、μ2为两球体材料的泊松。

图4　两球体外接触　
　　取综合曲率半径为R，则

　　若两球体的材料均为钢时，E1＝E2＝E，μ1＝μ2＝μ＝0．3，则
　　　（2）
　　如果是两球体内接触(图5)，综合曲率半径为，代入式(2)计算即可求出接触应力σH。如果是球体与平面接触，即R2＝∞，则R＝R1代入式(2)计算即可。

图5　两球体内接触
3　轴线平行的两圆柱体相接触时的接触应力
　　轴线平行的两圆柱体接触时，变形前二者沿一条直线接触，压受力P后，接触处发生了弹性变形，接触线变成宽度为2b的矩形面(图6)，接触面上的单位压力按椭圆柱规律分布。变形最大的x轴上压力最大，以P0表示，接触面上其余各点的压力按半椭圆规律分布，如图7，
半椭圆柱的体积等于总压力P，故

图6　两圆柱体接触

图7　轴线平行的两圆柱体相接触的压力分布
　　最大单位压力
　（3）
　　由赫兹公式知

代入式(3)，得

　　若两圆柱体均为钢时，E1＝E2＝E，μ1＝μ2＝0．3，取则接触应力为

　　若为两圆柱体内接触(图8)，则以代入式(4)计算。若是圆柱体与平面接触，则R2＝∞，R＝R1代入式(4)计算。
4　机械零件的接触应力计算
   4.1　摩擦轮传动
　　金属摩擦轮传动失效的主要形式是滚动体表面的疲劳点蚀，常按接触疲劳强度设计，来验算滚动体接触表面上的接触应力。对于圆盘与摩擦轮的传动(图9)，将滚动体的压紧力代入赫兹应力公式，可得

图8　两圆柱体内接触

图9　圆盘与摩擦轮接触

　　式中：T为摩擦轮轴上转矩；f为摩擦系数；b为接触长度；S为摩擦力裕度，在动力传动中取1.25～1.5，在仪器传动中取不大于3。
4.2　齿轮传动
　　一对齿轮在节点外接触，相当于半径为ρ1、ρ2的两个圆柱体相接触(图10)，因此也用式(4)来求接触应力

图10　一对齿轮在节点处接触的接触应力
　　代入式(4)，便可得出轮齿表面的接触应力公式，进而导出齿轮传动接触强度的设计计算式。
    4.3　凸轮机构
　　凸轮机械中滚子与凸轮工作面也存在着接触应力，也可以用式(4)进行校核

    式中：q＝P／L，P为凸轮与推杆间在所校核的接触处的法向压力，常见的直动滚子推杆盘形凸轮机构法向压力如图11所示。

    式中：Q为推杆上的载荷；α为压力角；f为导槽与推杆间摩擦系数；La为推杆上滚子中心伸出导槽的长度。
   4.4　滚柱式离合器(图12)
　　当离合器进入接合状态时，滚柱被楔紧在星轮和套筒间，靠套筒随星轮一同回转。

图11　凸轮机构的受力

　图12　滚柱式定向离合器简图
　　星轮工作面的坐标为作用在滚柱的力对离合器轴心的力臂为
若传递的传矩为Mk时，作用在滚柱上的力为

　　滚柱和星轮的接触是圆柱体和平面相接触，所以综合曲率半径单位长度的载荷q＝Q／L，代入式(4)即可得出滚柱和星轮间的接触应力公式

     式中：L为滚柱长度；d为滚柱直径。
    4.5　滚动轴承的滚动体与滚道间的接触应力
　　滚子轴承的滚子与内环的接触相当于两圆柱体外接触(图13)，综合曲率半径单位长度上的载荷代入式(4)，便可得出受力最大的滚子与内环接触处的接触应力

式中：P为受力最大的滚子所承受的力；L为滚子工作长度。

图13
5　结语
　　(1)通过对曲面间高副接触应力的分析，对赫兹公式进一步作了改进，得到了4个接触应力计算公式。
　　(2)有些机械零件，如上述讨论的齿轮，摩擦轮、滚动轴承等都是工作在高的接触压力作用下，经过多次接触应力循环下，局部表面将发生小片或小块金属剥落，形成麻点或凹坑，使零件工作时噪音增大，振动加剧。本文对以上这类零件的接触应力都给出了具体的计算公式。