高等数学(下)课后习题答案.pdf
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1、高等数学(下)习题七1.在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置:A(l,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4);D(3,4,0);E(0,4,3);F(3,0,0).解:点A在第I卦限;点B在第II卦限;点c在第vm卦限;点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上.2.xOy坐标面上的点的坐标有什么特点?yOz面上的呢?zOx面上的呢?答:在xOy面上的点,z=0;在yOz面上的点,x=0;在zOx面上的点,y=0.3.x轴上的点的坐标有什么特点?y轴上的点呢?z轴上的点呢?答:x轴上的点,y=z=0;y轴上的点,x=z=0;z轴上的点,x=y=0.4.求下列各对点之间的距离
2、:(1)(0,0,0),(2,3,4);(2)(0,0,0),(2,-3,-4);(3)(-2,3,-4),(1,0,3);(4)(4,-2,3),(-2,1,3).解:s=,22+32+42=5/29(2)s=(二3)2+(4);二牺(3)s=J(l+2)2+(0 3)2+(3+4)2=屈 s=J(-2-4)2+(1+2)2+(3-3)2=3小.5.求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离.解:点(4,-3,5)到 x 轴,y 轴,z 轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5).故 1=a2+(3)2+52=5 及S=4-4)2+(3-0)2+(5 _ 0);=庖
3、s=.42+(13,3)2+52=旧S +2c)3(u+3b c)=2a-2b+4c+3a-9b+3c=5a-ilb+lc10.把AABC的BC边分成五等份,设分点依次为Dj D2,D?D“再把各分点与A连接,试以AB=c,=o表示向量q A,q A,Q3A和Q/.解:D A=BA BD=c a i i 5 1 2D A=BA-BD=-c-a 2 2 5-*-*3D A=BA BD=c a 3 3 5-*/DA.BA,BD c u.4 4 511.设向量0M的模是4,它与投影轴的夹角是60,求这向量在该轴上的投影.解:谈世的投影为反,则Pr j OM=|OM|c o s60o=4x l=2.1
4、2.一向量的终点为点B(2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次是4,-4和7,求这向量 精品的起点精品A的坐标.解:设此向量的起点A的坐标A(x,y,z),则AB=4,-4,7=2-x,-l-y,7-z解得 x=-2,y=3,z=0故A的坐标为A(-2,3,0).田一向量的起点是Pi(4,0,5),翼在各坐标轴上的投影;终点是P2 0,1,3),试求:华的模;pp的方向余弦;1 2(4)方向的单位向量.解:a=XPr i PP=3,x 1 2q=Pr j PP=1,y y 1 2a=Pr j PP=-2.z z 1 2(2)|华卜(7-4)2+(1-0)7+73-5)2=ac o sa=-_
5、:pp1 2aCOS P=1_;ppTTa c o sy=-2PP(3 1旷臣r声.1.2”元一1 w14.三个力耳二(1,2,3),耳二(一2,3,-4),y二(3,-4,5)同时作用于一点.求合力R的大小和方向余弦.解:R二(T2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)IR=522+12+42=向二,c o s V2T 84 c o sy=815.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模,并分别用单位向量e,e,e来表达向 a b c量 a,b,c.解:I O 1=J12+12+12=y/3I 加二,22+(-3)2+52=V38精品l c l=J(-2
6、)2+(-1)2+22=3a=yf3e,b=/38 p,c=3e.a b c16.设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分 向量.解:a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=l 3i+7j+l 5k在x轴上的投影a13,在y轴上分向量为7j.17.向量r与三坐标轴交成相等的锐角,求这向量的单位向量e.rR J3解:因 a=p,故3c o s2a=1,c o sa=-,c o sa-(舍去)则 e=c o sa,c o s p,c o s y=V3 V3 V33 3 3a+j+无).18.
7、已知两点 M(2,5,-3),M 1 2求向径OM的坐标.解:设向径=x,y,zMAT=x-2,y-5,z+31MM m13x,_2_y,5 _ z2因为,.M M=3MM 1 2x 2 3(3-x)所以,z=6,z 7 1 257049精品2-n7r X又c o sa=+y2+Z2x=2,1190 49x2-n y=3,y 7 i 2COS P=-+y2+2285 国故点P的坐标为P(2,3,6)或P.49 49 492兀20.已知a,b的夹角p=7,且同=3,例=4,计算:(1)a-b;(2)(3a-2b)-(a+2b).2兀 1解:(1)a-b=c o s(p-I a I-I 1=c o
8、 s x 3x 4=-x 3x 4=-6(2)(3a-2by(a+2b)=3aa+6ab-2ba-4bb=3a2+4a-b-4b2=3x 32+4x(6)4x16=-61.21.已知 a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),计算:(1)a b;(2)(2a-3b)(a+b);(3)a-b2解:a-b=4x6+(-2)x(-3)+4x2=38(2)(2a-3b)(a+b)=2a a+2a b-3a b-3b b=2a2-a-b-3b2=2 x 42+(-2)2+42 -38-3&+(3)2+22=2x36 38 3x49=713(3)a-b(a-by(a-b)=aa-2ab+bb=a2-2a
9、-b+b2=36 2x38+49=922,已知四点 A(1,-2,3),B(4,-4,-3),C(2,4,3),D(8,6,6),求向量 AB 在 向量CD上的投影.解:AB=3,-2,-6,CD=6,2,3).二 AB CD 3x6+(-2)x 2+(-6)x 3 4Fr j AB=-=-=.2|CZ)|_,62+22+32 723.设重量为100kg的物体从点M|(3,1,8)沿直线移动到点M,(1,4,2),计算重力所作的 功(长度单位方法厂精品解:取重力方向为Z轴负方向,依题意有f=0,0,-100X9.8 s=MM=-2,3,-6)故 W=f s=0,0,-980 -2,3,-6)=
10、5880(J)24.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角.解:(布炉(7a-5b)=71。|2+16。2一15 历上=0(a-4b)-(7a-2b)=71。卜-30a 必+81万卜=0 a b a b 1(a b)?1由及可传:=-=_=.=-a2 b2 2 1。|2历|2 4 u b又。Z=22,所以COS。12故。=ar c c o s _=.2 325.一动点与Mo(l,l,l)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直,求动点的轨迹方程.解:设动点为M(x,y,z)M M0因 M MJ_,故 A/M几=0.阻次 l)+3(y-l)-4(z-
11、l)=0整理得:2x+3y-4z-l=0即为动点M的轨迹方程.26.设aX-2,7,6),b=(4,-3,-8),证明:以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直 证明:以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,ab,且a+b=2,4,-2)a-b=-6,10,14)又(a+b)(a-g 2 X(-6)+4 X10+(-2)X 14=0故(a+b),(a-b).27.已知 a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求:(l)ax b;2a X 7b;(3)7b X 2a;(4)aXa.解:2 axb=1-1-1 3 3 2i+j+k=3i-7j-5k2 2 1 1-1(2)2ax7A
12、=14(o x)=42i 98j 70比(3)7。x 2a=14S x。)=14(。x)=-42/+98j+70k(4)X。=0.精品28.已知向量a和b互相垂直,且山=3,历1=4.计算:(1)|(a+b)X(a-b)|;(2)|(3a+b)X(a-2b)|.(l)I(。+5)x(o b)=axa-axb+bxa-bxb 1=1-2(ax ft)l71=2l o l U,s in_=24 2(2)I(,3a+b)x(a-2b)=3axa-6axb+bxa-2bxb=7(bxa)71=7 x 3 x 4 x sin =84229.求垂直于向量3i-4j-k和2i-j+k的单位向量,并求上述两向
13、量夹角的正弦.4解:axb=13.32+21 1i+1 14I k=-5i-5j+5k与。x,平行的单位向量e=上_=YE(j j+k)axb I 3sinO=laxb IlaIxldl573 _ 513V26-/6-2630.一平行四边形以向量a=(2,l,1)和b=(l,2,1)为邻边,求其对角线夹角的正弦.解:两对角线向量为I=a+b=3i-j,I=a-b=i+3j-2k因为 IT 万+6j+10kl=JIZ3,1 2l=jio,l l=x/141 2所以sinOIZ xZ I V140,2=_ =1IZ Wl I 回.内即为所求对角线间夹角的正弦.31.已知三点 A(2,-l,5),B
14、(0,3,-2),C(-2,3,l),点 M,N,P 分别是 AB,BC,CA 的中点,证明:MNxMP=(ACxBC).证明:中点M,N,P的坐标分别为3 1N(&,q,尸(0,1,3)MN=-2,2,-23 MP=-1,0,-)精品AC=-4,4,-4)3C=2,0,32MNxMP=-04ACx 七二0-2-23 i+32 无=3i+5j+2it2 24i+3434-2;+4-24 无=12i+20j+8 比故 MNxMP=-(ACxBC)_4亢求靛垂直于向量a=(2,3,4)和横轴的单位向量.解:设横轴向量为b=(x,0,0)则同时唾直于z,b的响噎为一304 4i+2 2j+30Q x
15、b=0 0k=4xj 3xk故同时垂直于a,b的单位向量为“士篇T吁初33.四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.解:设四顶点依次取为A,B,C,D.A3=0,1,2,AD=2-2,1则由A,B,D三点所确定三角形的面积为-ABxALH=L5i+4j-2k h 1 2 2 2,同理可求其他三个三角形的面积依次为;,、/XJJ.故四面体的表面积S=+JW+2 234.已知三点 A(2,4,l),B(3,7,5),C(4,10,9),证:此三点共线.证明:AB=1,3,4 AC=2,6,S显然AC=2AB则 ABxAC=ABx 2AB=2(
16、ABx AB)=0故A,f C三谪共线.精品35.求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=l l平行的平面方程.解:所求平面与平面3x-2y+6z=l l平行故 n=3,-2,6,又过点(4,1,-2)故所求平面方程为:3(x-4)-2(y-l)+6(z+2)=0即 3x-2y+6z+2=0.36.求过点M*,7,-3),且与连接坐标原点到点M。的线段OM。垂直的平面方程.解:所求平面的法向量可取为11=。加0=1,7,3故平面方程为:x-l+7(y-7)-3(z+3)=0即 x+7y-3z-59=037.设平面过点(1,2,-1),而在x轴和*j上的截距都等于在y轴上的截距的两倍,求
17、此平面 方程.解:设平面在y轴上的截距为bx y 7,a则平面方程可定为b+3+=12b b 2b又(1,2广1)在平面上,则有得 b=2.故所求平面方程为巴+三二1 4 2 438.求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程.解:由平面的三点式方程知x-x1X-x2 IX-X3 11y-y2 1y-y3 1代入三已知点,有Z-Z1二0Z-Z2 1二0Z Z3 1X y-iz+l2 1-2-12+11 11 12+1化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.39.指出下列各平面的特殊位置,并画出其图形:(i)y=o;3x二o;(3)2x-3y-6=0;(4)x-y
18、=0;(5)2x-3y+4z=0.解:y=0表示xOz坐标面(如图7-2)(2)3x-l=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3)yX精品图7-2图7-3(3)2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y=-2的平面.(如图7-4)x-y=。表示过z轴的平面(如图7-5)2x-3y+4z=0表示过原点的平面(如图7-6).图7-4图7-6图7-540.通过两点(1,1,1,)和(2,2,2)作垂直于平面x+y-z=0的平面.解:设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n=A,B,C已知平面法向量为n过已知两点的向量由题知 n n=0,n-1=0A+B-C=0=C
19、=0,A=B.A+B+C=0所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点(1,1,1)在平面上,所以有D=0故平面方程为x-y=0.41.决定参数k的值,使平面x+ky-2z=9适合下列条件:(1)经过点(5,-4,6);71(2)与平面2x-3y+z=0成的角.4解:(1)因平面过点(5,-4,6)故有 5-4k-2 X 6=9得 k=-4.(2)两平面的法向量分别为个=l,k,-2且COS。=1n=2,-3,l _ l-l7T y/2=COS=4 2Iw l l n I j 5+2 f解得金亭42.确定下列方程中的1和m:(1)平面 2x+l y+3z-5=0 和平面 mx-6y-z+2=0 平
20、行;平面3x-5y+l z-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解:(1)n=2,1,3),n=m,-6,-l 精品n n n=二工 n in=181 2 m-6-1%=3,-5,1,、二1,3,2n n=3x l-5x 3+/x 2=0=/=6.43.通过点(1,-1,1)作垂直于两平面x-y+z-l=O和2x+y+z+l=0的平面.解:设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=O其法向量n=A,B,Cn=l,-l,l ,n=2,1,1)A-2CnlnnA3+C=0 31 nnn n2A+3+C=0 八 C又(1,-1,1)在所求平面上,故AB+C+D=O,得D=0 故所求平面方程为2 C-
21、Cx+y+Cz=O3 3即 2x-y-3z=044.求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量.解:n=3-l,7,n=l,-l,2.n In,n Ink=5i+j-2k则 e=(5i+j 2 无).回45.求通过下列两已知点的直线方程:7 3(1)(1,-2,1),(3,1,-1);(2)(3,-1,0),(1,0,-3)解:(1)两点所确立的一个向量为s=3-l,1+2,=3,-2故直线的标准方程为:x-1 y+2 z-1 x-3 y-1 z+1_=_=_ 或 _=_=_2 3-2-2 3-2(2)直线方向向量可取为s=l-3,0+1,-3-0)=-2,1,-3故直
22、线的标准方程为:x-3 y+1 z.x-1 y z+3-=-=或-=-46.求直线精品解:所给直线的方向向量为2.23,+335 k=i-7j-19k另取x=0代入直线一般方程可解得yo=7,z(=17 于是直线过点(0,7,17),因此直线的标准方程为:x _ y_ Q _ z-17T-7=49且直线的参数方程为:X t y=7-7t z=17-19r47.求下列直线与平面的交点:x-1 V+1 z-=-=,2x+3v+z-l=0;1-2 6x+2 y-z-32 3 2 yx=l+t解:(1)直线参数方程为(y=1 2 z=6t代入平面方程得t二i故交点为(2,-3,6).x 2+2t(2)
23、直线参数方程为 y=l+3/z=3+2,代入平面方程解得t=0.故交点为(-2,1,3).48.求下列直线的夹角:5x-3y+3z-9=0 12x+2y-z+23=0(1)i c 和 c c c3%-2y+z-l=0 13x+8y+z-18=0 x-2 _ y-3 _ z-1 4-12y 3 _ z 8和 0);(3)z=4-X2,x=0,y=0,z=0 及 2x+y=4;(2)x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2 及 z=0;(4)z=6-(X2+y2),x=0,y=0,z=0 及 x+y=l.解:(1)(2)(3)(4)分别如图 7-19,7-20,7-21,7-22 所示.x2
24、 y2 0 1 尢-3 y 4 z+2+-1 与 -81-36 9 3-6-4%2 尸 z2 1 x y z+2_+_=与 一=_=_16 9 4 4 3 4解:(1)直线的参数方程为精品%=3+3,y=4 6%z=2+4r代入曲面方程解得t=O,t=l.得交点坐标为(3,4,-2),(6,-2,2).直线的参数方程为x=4-t 2z=065.试考察曲面+7-=1在下列各平面上的截痕的形状,并写出其方程平面x=2;(2)平面y=0;平面y=5;(4)平面z=2.精品_ 尸+Z2翻r n部处土和 户小、(24、解:(1)截线方程为(、)2(V)23 3x=2其形状为x=2平面上的双曲线.上+三=
25、1(2)截线方程为勺4J 二 为xOz面上的一个椭圆.-%2+Z2 _(3)截线方程为,(3/2(272)2J=5为平面y=5上的一个椭圆.兰1=0(4)截线方程为 9 25z=2为平面z=2上的两条直线.66.求单叶双曲面五+下一丁=1与平面x-2z+3=0的交线在xOy平面,yOz平面及xOz 16 4 5平面上的投影曲线.解:以2=等代入曲面方程得X2+20y2-24x-l 16=0.故交线在xOy平面上的投影为X 2+20y2-24x-l 16=0z=0以x=2z-3代入曲面方程,得20y2+4z2-60z-35=0.故交线在yOz平面上的投影为20y2+4z2-60z-35=0%=0
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