北师版初中数学知识点复习总结.pdf

最新北师版初中数学知识点复习七年级上第一章丰富的图形世界（New）1生活中的立体图形2绽开与折叠3截一个几何体4从三个方向看物体的形态一圆柱:底面是圆面侧面是曲面01.枉体4棱体:底面是多边形侧面是正方形或长方形辘/*圆锥:底面是圆面 侧面是曲面02.锥体I棱锥:底面是多边形侧面都是三角形03.球体：由球面围成的（球面是曲面）04.几何图形是由点、线、面构成的。几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。几何的表面有平面 和曲面；面与面相交得到线；线与线相交得到点。X5.棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱。派6.侧棱：相邻两个侧面的交线叫做刨犊，全部侧棱长都相等。0 7.棱柱的上、下底面的形态相同，侧面的形态都是长方形。08.依据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱它们底 面图形的形态分别为三边形、四边形、五边形、六边形09.长方体和正方体都是四棱柱。0 10.圆柱的表面绽开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。0 11.圆锥的表面绽开图是由一个圆形和一个扇形连成。设.设一个多边形的边数为n（n23,且n为整数），从一个顶点动身的对角线有（n-3）条;可以把n边形成（n-2）个三角形；这个n边形共有妁S 条对角线。213.圆上两点之间的部分叫做弧，弧是一条曲线。014.扇形，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。015.凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。第二章有理数及其运算（New）1.有理数2.数轴3.肯定值4.有理数的加法5.有理数的减法6.有理数的加减混合运算7.有理数的乘法8.有理数的除法9.有理数的乘方10.科学记数法11.有理数的混和运算12.用计算器进行运算有理数,正整数（如：1,2,3）整数零（0）、负整数（如：1,2,3），正分数（如:万，,5.3,3.8,）分数 负分数（如:,2.3,4.8）、2 3数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上全部的点都 表示有理数）假如两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互 为相反数。（0的相反数是0）在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。0数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。肯定值的定义：一个数a的肯定值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的肯定值 记作|a|o正数的肯定值是它本身；负数的肯定值是它的数；。的肯定值是0。0)a 0(。=0)-a(a 0)或 a-aa b均不为 零）。X6.积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘，即（ab）n=anbn 为正整数）。X7.幕的乘方与积乘方法则均可逆向运用。三.同底数塞的除法XL同底数塞的除法法则：同底数塞相除，底数不变，指数相减，即（aW 0,m、n都是正数，且mn）.X2.在应用时须要留意以下儿点：法则运用的前提条件是“同底数基相除”而且0不能做除数，所以法则中aWO.任何不等于0的数的。次幕等于1,即=1（丰）,如10=则0无意义.任何不等于0的数的-p次幕（p是正整数），等于这个数的p的次募的倒数,即a-。（a WO,P是正整数），而0二0一3都是无意义的；当a0时,a”的值肯定是正的；当a0时,a”的值 可能是正也可能是负的，如（2尸=-,（-2）-3 运算要留意运算依次.4 8四.整式的乘法XI.单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项 式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘法法则在运用时要留意以下几点：积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算肯定值。这时简单出现的错误的是，将 系数相乘与指数相加混淆；相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。X2.单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的安排律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式 与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。单项式与多项式相乘时要留意以下几点：单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；运算时要留意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；在混合运算时，要留意运算依次。X3.多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加。多项式与多项式相乘时要留意以下几点：多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等 于原两个多项式项数的积；多项式相乘的结果应留意合并同类项；对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘（x+aXx+h）=x2+（a+h）x+ab,其二次项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项 的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（g+。）和相乘可以得到（mx+anx+h）=mnx2+（ma+mb）x+ah五.平方差公式ai.平方差公式:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,，即（。+幼（。-2）=/-n其结构特征是：公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。六.完全平方公式01.完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2倍，0 即土力）2=/+2ab+b2；0口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；0 2.结构特征：公式左边是二项式的完全平方；公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。0 3.在运用完全平方公式时，要留意公式右边中间项的符号，以及避开出现（。力）2=/这样的错误。七.整式的除法ai.单项式除法单项式单项式相除，把系数、同底数惠分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的 字母，则连同它的指数作为商的一个因式；02.多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特 点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数 相同，另外还要特殊留意符号。第二章相交线与平行线一.两条直线的位置关系二.探究直线平行的条件三.平行线的性质四.用尺规作角一.两条直线的位置关系1、余角；假如两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余。2、补角：假如两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补。3、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。4、余角和补角的性质用数学语言可表示为：（1）/1+/2=90（180）,/1+/3=90（180）,则N2=N3（同角的余角（或补角）相 等）。（2）/I+/2=90（180）,/3+/4=90（180）,且/I=Z4,则 Z2=Z3（等角的余角（或 补角）相等）。5、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。6、对顶角的性质：对顶角相等。7、对顶角是从位置上定义的，对顶角肯定相等，但相等的角不肯定是对顶角。8、垂直:直线AB,CD相互垂直,记作“AB_LCD”（或“CD _LAB）,读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB）o9、垂线的性质：性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：直线外一点与直线上各点连接的全部线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。10、点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度11、同一平面内，两条直线的位置关系：相交（垂直）或平行。12、两条直线被第三条直线所截，形成了 8个角。同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫 同旁内角。12、平行线：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。留意：(1)平行线是无限延长的，无论怎样延长也不相交。(2)当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。13、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。补充平行线的判定方法：(1)平行于同一条直线的两直线平行。(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。(3)平行线的定义。二.探究直线平行的条件两条直线相互平行的条件即两条直线相互平行的判定定理，共有三条：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。三.平行线的特征平行线的特征即平行线的性质定理，共有三条：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。四.用尺规作线段和角XI.关于尺规作图尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。X2.关于尺规的功能直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。圆规的功能是：以随意一点为圆心，随意长度为半径作一个圆；以随意一点为圆心，随意长 度为半径画一段弧。第三章三角形1相识三角形2图形的全等3探究三角形全等的条件4用尺规作三角形5利用三角形全等测距离一.相识三角形1.关于三角形的概念及其按角的分类由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。这里要留意两点：组成三角形的三条线段要“不在同始终线上”；假如在同始终线上，三角形就不存在；三条线段“首尾是顺次相接，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端点就 是三角形的顶点。三角形按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。2.关于三角形三条边的关系依据公理“连结两点的线中，线段最短”可得三角形三边关系的一特性质定理，即三角形随 意两边之和大于第三边。三角形三边关系的另一特性质：三角形随意两边之差小于第三边。对于这两特性质，要全面理解，驾驭其实质，应用时才不会出错。设三角形三边的长分别为a、b、c则：一般地，对于三角形的某一条边a来说，肯定有|b-c|Vab+c成立；反之，只有|b-c|a a,那么a、b、c三条线段就能构成三角形；假如已知线段a最小，只要满意|b-c|Va,那么这三条线段就能构成三角形。3.关于三角形的内角和三角形三个内角的和为180直角三角形的两个锐角互余；一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；一个三角中至少有两个内角是锐角。4.关于三角形的中线、高和中线三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；随意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；随意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不同的 位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，如图1；直角三角形有一条高在三角形的内 部，另两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三 角形的外部，如图3。一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。图形全等：能够完全重合的图形称为全等图形。全等图形的形态和大小都相同。只是形态相 同而大小不同，或者说只是满意面积相同但形态不同的两个图形都不是全等的图形 ai.关于全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全笠三角形一。相互重合的顶点叫做对应点，相互重合的边叫 做对应边，相互重合的角叫做对应箱所谓“完全重合”，就是各条近居应相等，各个角也对应相等。因此也可以这样说，各条边 对应相等，各个角也对应相等的两个三角形叫做全等三角形。X2.全等三角形的对应边相等，对应角相等。03.全等三角形的性质常常用来证明两条线段相等和两个角相等。三.探三角形全等的条件匕 三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“S S S”X2.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“S AS”X3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“AS A”生 两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”四.用尺规作三角形1.已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“AS A”）来 作图的。2.已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“S AS”）来 作图的。3.已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“S S S”）来作图的。五.利用三角形全等测距离（补充）探究直三角形全等的条件XI.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简称为“斜边、直角边”或“HL”。这只对直角三角形成立。X2.直角三角形是三角形中的一类，它具有一般三角形的性质，因而也可用“S AS”、“AS A”、“AAS”、“S S S”来判定。直角三角形的其他判定方法可以归纳如下：两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等。三条边对应相等的两个直角三角形全等。第四章变量之间的关系1用表格表示的变量间关系2用关系式表示的变量间关系3用图象表示的变量间关系1、表示变量间的关系的方法（1）表格（2）关系式（3）图象2、变量、自变量、因变量在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。假如一个变量y随另一个变量x的变化而变化,则把x叫做自变量，y叫做因变量。3、自变量与因变量的确定：（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。（3）常量（不发生变化的量）（4）在一个变化的关系式中只有一个自变量和一个因变量，且因变量须要写在等号左边。4、图像法。用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表 示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。5、速度图象1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；2、精确读懂不同走向的线所表示的意义：（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；（3）下降的线：从左向右呈下降.状的线，其代表速度减小。6、路程图象1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；2、精确读懂不同走向的线所表示的意义：（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。七、三种变量之间关系的表达方法与特点：表达方法特 点表格法多个变量可以同时出现在同一张表格中关系式法精确地反映了因变量与自变量的数值关系图象法直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势第五章生活中的轴对称1.轴对称现象2.探究轴对称的性质3.简单的轴对称图形4.利用轴对称进行设计上假如一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做 轴对称图形；这条直线叫做对称轴。X2.X3.生X5.角是对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴，角平分线上的点到角两边距离相等。线段垂直平分线（中垂线）上的随意一点到线段两个端点的距离相等。角、线段和等腰三角形是轴对称图形。等腰三角形两底角相等（等边对等角），有两个角相等，那么他们所对应的边也相等（等角对等边）X6.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，简称为“三线合一”。派7.轴对称图形上对应点所连的线段被对称轴垂直平分。X8.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。第六章概率初步1感受可能性2频率的稳定性3等可能事务的概率ai.随机事务发生与不发生的可能性不总是各占一半，都为50%。X2.现实生活中存在着大量的不确定事务，而概率正是探讨不确定事务的一门学科。派3.了解必定事务和不可能事务发生的概率。必定事务发生的概率为I,即P（必定事务）=1；不可能事务发生的概率为0,即P（不可能事务）=0;假如A为不确定事务，那么OP（A）10不可能发生然发生派4.了解几何概率这类问题的计算方法事务发生概率=事件所有可能结果所组成的图形面积 所有可能结果所组成的图形面积八年级上第一章勾股定理1.探究勾股定理2.肯定是直角三角形吗3.勾股定理的应用直角三角形两直角边的平和等于斜边的平方。即：a-+h=c。假如三角形的三边长a,b,c满意/+=/,那么这个三角形是直角三角形。满意条件/+二的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3,4,5）；（681（5,12,13）；（8,15,17）；（7,24,25）；（20,21,29）；（9,40,41）；.（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）有理数整数自然数(0,L 2,3)、负整数(-1,-2,-3)实数正分数（1（整数，有限小数.无限循环小物分数（小麴，3负分魏）b 乙 J无理数正有理数 负有理数（无限不循环小数）第一章实皿1数1.2.3.4.5.6.相识无理数 平方根 立方根 估算用计算器开方 实数算术平方根：一般地，假如一个正数X的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的算术土方根，记作0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a2O时,a才有算 未平方根。平方根：一般地，假如一个数x的平方根等于a,即x2=a,那么数x就叫做a的平方根。正数有两个平方根（一正一负）；。只有一个平方根，就是它本身；负数没看乖正根.正数的立方根是正数；。的立方根是0;负数的立方根是负数。=Jab(a O,b 0)4a _ 4b(6/O,/?O)第三章位置与坐标1.确定位置2.平面直角坐标系3.轴对称与坐标变化平面直角坐标系概念:在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫X轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点0称为原点。点的坐标：在平面内一点P,过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b 分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。在直角坐标系中如何依据点的坐标，找出这个点（如图4所示），方法是由P（a、b）,在 x轴上找到坐标为a的点A,过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为b的点B,过B作y轴的 垂线，两垂线的交点即为所找的P点。如何依据已知条件建立适当的直角坐标系？依据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算便利，一般地没有明确的方法，但有以下儿 条常用的方法：以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）;以图形中某线段所在直线 为x轴（或y轴）；以已知线段中点为原点；以两直线交点为原点；利用图形的轴 对称性以对称轴为y轴等。图形”纵横向伸缩”的变化规律：A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形 比原来的图形在横向：当nl时-，伸长为原来的n倍；当0nl时-，压缩为原来的n 倍。B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形 比原来的图形在纵向：当nl时，伸长为原来的n倍；当00）或向左（a0）平移了|a|个单位。B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别加上b,所得的图形形态、大小 不变，而位置向上（b0）或向下（b0）,所得的图形与原图形相比，形 态不变；当nl时，对应线段大小扩大到原来的n倍；当0 0 k Op=0（2）b0 k 0 b=0 b0时,y随x的增大而增大；当k0时,y随x的增大而减小。第五章二元一次方程组1.相识二元一次方程组2.求解二元一次方程组3.应用二元一次方程组一一鸡兔同笼4.应用二元一次方程组一一增收节支5.应用二元一次方程组一一里程碑上的数6.二元一次方程与一次函数7.用二元一次方程组确定一次函数表达式*8.三元一次方程组含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。两个一次 方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。解二元一次方程组：代入清元盅加减消元法（无论是代入消元法还是加减消元法,其目的都是将“二 元一次方程”变为“一元一次方程”，所谓之“消元”）在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：设未知数（在设未知数时，大多数状况 只要设问题为x或y；但也有时也须依据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；找寻 等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可依据其 列出方程）。问题禁 一 方程（组）翌T解答处理问题的过程可以进一步概括为：抽象 检驳第六章数据的分析1.平均数2.中位数与众数3.从统计图分析数据的集中趋势4.数据的离散程度1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数、众数、中位数2、平均数（1）平均数：一般地，对于n个数1，%,居 我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为X。（2）加权平均数：3、众数一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。4、中位数一般地，将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平 均数）叫做这组数据的中位数。加权平均数：一组数据玉,2,%”的权分加为吗，卬2,叱？，则称“小+劣%+二为这门个数的加权平均数。（如：对某同学的数学、语文、科学 W1+w2 H-wn三科的考查，成果分别为72,50,88,而三项成果的“权”分别为4、3、1,则加权平均数72x4+50 x3+88x1为：4+3+1)一般地，n个数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平 均数)叫做这组数据的中位数。一组数据中出现次数最蓼的丽个数据叫做这组数据的众数。众数着眼于对各数据出现次数的考察，中位数首先要将薮据按大小依次排列，而且要留意 当数据个数为奇数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数为偶数时，居于中间的 两个数据的平均数才是中位数，特殊要留意一组数据的平均数和中位数是唯一的，但众 数则不肯定是唯一的。第七章平行线的证明1.为什么要证明2.定义与命题3.平行线的判定4.平行线的性质5.三角形内角和定理一、命题:推断一件事情的句子。假如一个句子没有对某一件事情做出任何推断，那么它就不是命题。每个命题都由条件和 结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推论出的事项。命题通常可以写成“假如。那么。”的形式，其中“假如”引出的部分是条件，“那么”引出 的部分是结论。正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。公认的真命题称为真理。演绎推理的过程称为证明，经验证明的真命题称为定理。二、平行线的判定1、平行线的判定公理(1).两直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行.(2).两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.留意：证明两直线平行，关键是找到 与特征结论相关的角.2、平行线的性质.定理：两直线平行，同位角相等.定理：两直线平行，内错角相等.定理：两直线平行，同旁内角互补定理：平行于同一条直线的两条直线平行三、三角形的内角和定理1、三角形内角和定理：三角形内角和等于1802、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角八年级下第一章三角形的证明1.等腰三角形2.直角三角形3.线段的垂直平分线4.角平分线一.等腰三角形等腰三角形两底角的角平分线相等等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30。，这它所对的直角边必定等于斜边的一半。有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。假如知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：勾股定理：a2+b2=c2（留意区分斜边与直角边）在直角三角形中，如有一个内角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）在两个命题中，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个 命题称为互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题一个命题是真命题，它的逆命题却不肯定是真命题。假如一个定理的逆命题是真命题，那么他也是一个定理，这两个定理称为互为定理，其中一个定理是另一个定理的逆定理 三.线段的垂直平分线垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。（留意着重号的意义）直线与射线有垂线，但无垂直平分线线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形的三边的垂直平分线窄于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示,AO=BO=CO）A A角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线逆定理：在角内部的，假如一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合。三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。（如图2所示,OD=OE=OF）第二章一元一次不等式与一元一次不等式组1.2.3.不等关系不等式的基本性质 不等式的解集 函数XL 一般地，用符号（或 W”），“”（或）连接的式子叫做不等式.02.要区分方程与不等式：方程表示的是相等的关系；不等式表示的是不相等的关系.X3.精确“翻译”不等式，正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 大于等于0（20）0和正数 不小于0非正数 小于等于0（W0）0和负数 不大于0上驾驭不等式的基本性质，并会敏捷运用：（1）不等式的两边加上（或减去）同一个整式,不等号的方向不变，即：假如 ab,那么 a+cb+c,a-cb-c.（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即a h假如ab,并且c0,那么acbc,.c c（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向改变，即：假如ab,并且c0,那么acbc,-b,那么a-b是正数;反过来，假如a-b是正数,那么ab;假如a=b,那么a-b等于0;反过来,假如a-b等于0,那么a=b;假如ab,那么a-b是负数;反过来,假如a-b是正数,那么ab a-b0 a=b a-b=0 ab a-bb（或ax0时,解为x;当a=0时，且b0,则x取一切实数；ah当a=0时，且b20,则无解;当a0时，解为了 一;a0 5.不等式应用的探究（利用不等式解决实际问题）列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：审：仔细审题,找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义；设：设出适当的未知数;列：依据题中的不等关系，列出不等式；解：解出所列的不等式的解集;答：写出答案,并检验答案是否符合题意.五.一元一次不等式与一次函数六.一元一次不等式组工定义：由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做二:元二次丕 等式组.X2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.假如这些不等式 的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.儿个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.X3.解一元一次不等式组的步骤：分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种状况（a、b为实数,且a a xbxb_ _1_两大取较大a b 1Vxa xa-1-J a-b-两小取小Vx a xbax a-b-大小交叉中间找Vxb无解-J-1-a b/在大小分别没有 解（是空集）第三章图形的平移与旋转1.图形的平移2.图形的旋转3.中心对称4.简单的图案设计平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动肯定距离,这样的图形运动称为平移。平移的基本性质：经过平移，对应线段、对应角分别相 等；对应点所连的线段平行且相等。旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转 动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。旋转的性质：旋转后的图形与原图形的大小和形态相同;旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等;对应点到旋转中心的连线所成的角度彼此相等。(例：如图所示，点D、E、F分别为点A、B、C的对应点，经过旋转,图形上的每一点都绕旋 转中心沿相同方向转动了相同的角度，随意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋 转角，对应点到旋转中心的距离相等。)第四章因式分解1.因式分解2.提公因式法3.公式法一.因式分解上把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这仝多项式分解因式.X2.因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区分和联系：(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二.提公共因式法提公因式法.如：ab+ac=a(b+c)X2.概念内涵：(1)因式分解的最终结果应当是“积”；(2)公因式可能是单项式，也可能是多项式；(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的安排律,即：ma+mb me=m(a+b-c)X3.易错点点评：(1)留意项的符号与事指数是否搞错；(2)公因式是否提“干净”；(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.三.公式法运用公式法.X2.主要公式：(1)平方差公式：a2-b2=(a+ba-b)(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+bfa2-2ab+b2=(a-b)2Q/-y 4=2 XX2 _ y 2)就没有分解究竟.X4.运用公式法：ID平方差公式：应是二项式或视作二项式的多项式；二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;二项是异号.(2)完全平方公式：应是三项式;其中两项同号,且各为一整式的平方；还有一项可正负，且它是前两项塞的底数乘积的2倍.X5.因式分解的思路与解题步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式；(2)再看能否运用公式法；(3)用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；(4)因式分解的最终结果必需是几个整式的乘积,否则不是因式分解；(5)因式分解的结果必需进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.(补充)分组分解法：X1.分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如：am+an+bm+bn=a(m+n)+bm+n)=(a+b)(m+ri)X2.概念内涵：分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可接着分解,分组后是否可利用公式法接着分解因式.X3.留意：分组时要留意符号的变化.十字相乘法：办之+5%+。，将a和c分别分解成两个因数的乘积，a=4，c=Cj-c2,且满意aNC1b=a1c2+a2c1,往往写成a2 02的形式,将二次三项式进行分解.如：ax2+hx+c=(aix+cl)(a2x+c2)X2.二次三项式f+px+乡的分解：p=a+b q=ab 1/a x1+px+q=(x+ax+h)X3.规律内涵：(1)理解:把f+px+9分解因式时，假如常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数P的符号相同.(2)假如常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中肯定值较大的因数与一 次项系数P的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系 数p.生易错点点评：(1)十字相乘法在对系数分解时易出错；(2)分解的结果与原式不等,这时通常采纳多项式乘法还原后检验分解的是否正确.第五章分式与分式方程1.相识分式2.分式的乘除法3.分式的加减法4.分式方程一.相识分式上两个整数不能整除时，出现了分数;类似地，当两个整式不能整除时,就出现了分式.A A整式A除以整式B,可以表示成的形式.假如除式B中含有字母,那么称为分式,对B于随意一个分式,分母都不能为零.B整式X2.整式和分式统称为有理式,即有：有理式1八八、分式X3.进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.A AxM A AM 八、=-,=-(M w 0)B BxM B B+M里一个分式的分子、分母有公因式时，可以运用分式的基本性质，把这个分式的分子、分 母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.二.分式的乘除法XL分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式 的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.Hn AC AC 即：-=-,B D BDX2.分式乘方，把分子、_A DAD BD-B C-分母分别乘方.5为正整数)逆向运用41=(4，当n为整数时,仍旧有4二更成立.B BJ bJ BnX3.分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.三.分式的加减法XL分式与分数类彳以,也可以通分.依据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与 原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.X2.分式的加减法：分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减；A R A+R上述法则用式子表示是：一=C C C(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:A,C AD,BC ADBC B D BD BD BDX3.概念内涵:通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公 倍数;最简公分母的字母,取各分母全部字母的最高次幕的积，假如分母是多项式,则首 先对多项式进行因式分解.四.分式方程XL解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘最简公分母,约去分母，化成整式方程;解这个整式方程；把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必需舍去.X2.列分式方程解应用题的一般步骤：审清题意;设未知数;依据题意找相等关系,列出（分式）方程；解方程,并验根;写出答案.第六章平行四边形1.平行四边形的性质2.平行四边形的判定3.三角形的中位线4.多边形的内角和与外角和平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶 点连成的线段叫做它的对角额。平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线相互平分。平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两条对角线相互平分的四边形是平行四边形。平行线之间的距离：若两条直线相互平行，则其中一条直线上随意两点到另一条直线的距 离相等。这个距离称为平行线之间的距离。【几个重要结论】1.菱形的面积等于两对角线乘积的一半.正方形同样如此。2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3.直角三角形中，假如有一个锐角等于30。，那么30。所对的直角边等于斜边的一半.九年级上第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定2.矩形的性质与判定3.正方形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四家版都相等,两条对角线相互垂直平分,每一条对角线平分一组对角。菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线相互垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（依据定义）。对角线相等的平行四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有平行四边形、痣舷、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形,有两条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形;邻边相等的矩形是正方形;对角线相等的菱