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第二章 概率
1．1随机变量及其概率分布（一）
学习目标：
1．通过实例分析，理解随机变量的概念，能写出离散型变量（有限值）的可能值，并能解释其意义．
2．理解随机变量分布列的概念、了解其性质，会求分布列．
学习过程：
活动一（背景引入）
1. 复习：
（1） 随机事件及其概率

（2） 古典概型的特征

2. 背景：
（1） 在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵树是0，1，2，…，10中的某个数；
（2） 抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3，4，5，6中的某一个数；
（3） 新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果是0和1中的某个数．

思考：（1）在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的?

（2）在不同的随机试验中，结果是否不变?

（3）观察，概括出它们的共同特点．

活动二（随机变量的概念）
思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？

随机变量：
（1） 定义：
（2） 表示方法：

思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？

思考3：在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } ．
利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？

例1．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
(1) 一实验箱中装有标号为1，2，3，4，5的五只白鼠,从中任取一只,记取到的白鼠的标号为Y；
（2）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
（3）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η

活动三（随机变量的分布列的概念）
思考4：如何求随机变量取值的概率？

1．随机变量分布列的定义：
假定随机变量X有个不同的取值,它们分别是且P(X=xi)=pi ,i=1,2,…n,①
称①为随机变量X的概率分布列,简称X的分布列
2．概率分布表
将①用表的形式表示如下:

此表称为随机变量X的概率分布表
3．分布列的性质:
概率分布列中满足以下两个条件

例2从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球,用X表示 “取到的白球个数”,即
求随机变量X的概率分布．

4． 两点分布
如果随机变量X只取两个可能值___0__和____1____,则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布,并记为X～0-1或X～两点分布．
其概率分布表为:
X
0
1
P
1-p
p

活动四（求随机变量及其分布列）
例3．同时掷两颗质地均匀的骰子,观察朝上一面出现的点数,求两颗骰子中出现的较大点数X的概率分布,并求X大于2小于5的概率(2<X<5)．

思考:
求两个骰子出现较小点数Y的概率分布

活动五．课堂小结与自我检测
一．课题小结
1. 随机变量及其分布列的概念；
2. 如何求简单的随机变量的分布列？
二．自我检测
1．如果是一个随机变量，则下列命题中假命题是
（1）．取每一个可能值的概率都是非负数；（2）．取所有可能值的概率之和为1；
（3）．取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
（4）．在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
2．某人射击一次，若用X表示击中的环数，则随机变量X的可能取值有 ．
3．从一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数为的分布列．

备选题：
1．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？
答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点

2．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的概率分布列．

3．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（1） 求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率

（2） 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率

（3） 设随机变量为这五名志愿者中参加A的岗位服务的人数，求的分布列．

4．现有10张奖券,其中8张为2元,2张为5元,从中同时任取3张,求所得金额的概率分布

2．1随机变量及其概率分布（二）
学习目标：
1. 巩固随机变量及其分布列的概念，会求随机变量的分布列；
2. 掌握随机变量分布列的两个性质并能应用其解决简单的实际问题．
学习过程：
活动一（复习巩固）
1．随机变量的概念：

2．随机变量的分布列的概念及其性质：

3. 两点分布：

例1写出下列随机变量的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1) 一个袋中装有8个红球,3个白球,从中任取5个球,其中所含白球的个数为X;
(2) 一个袋中有5个相同大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个球,取出的球的最大号码记为X

活动二（求简单的随机变量的分布列）
例2．从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱子中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的概率分布．

变题: 将题中 “取出一个黑球赢2元”改为 “赢1元”其他不变,该如何解答?

例3．从一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数为的分布列．

例4．掷两枚骰子,设掷得的点数和为随机边变量X;
(1) 求X的概率分布;
(2) 求 “点数和大于8”的概率;
(3) 求 “点数和不超过6”的概率．

活动四（随机变量分布列性质的应用）
例5．设随机变量的分布列
（1）求常数的值；（2）求； （3）求

例6．一个盒子里有9个正品和3个次品零件,每次取一个零件,如果取出的是次品则放回重取，如果取出的是正品就不再放回,求在取得正品之前已取出的次品数X的概率分布,并求P．

活动五．活动五．课堂小结与自我检测
一．课题小结
如何求随机变量的分布列？

二．课堂检测
1．已知随机变量X的分布列为则 ．

2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量Y描述1次试验的成功次数,则P(Y=0)=

3．随机变量的概率分布如下:

1
2
3
4
5
6
P
0．2

0．35
0．1
0．15
0．2
则(1) =_____________;(2)P(>3)=______________(3)P()=________________

4 将3个小球任意放入4个大玻璃杯中去，杯子中球的最多个数记为，求的分布列．
备选题：
1．随机变量可能的取值的集合为{-2,0,3,5},且P(=-2)=,P(=3)=,P(=5)= ,则P(=0)的值为___________________．
2．100件产品中有10件次品,从中任意抽取4件,设可能含有的次品的件数为X,则X的可能取值为___________________________．
3．设随机变量只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率相同，则 = ．
4．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠,若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为,用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求随机变量的分布列．
5．袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分．求所得分数的概率分布．
解 得分的取值为-3，-2，-1，0，1，2，3．
=-3时表示取得3个球均为红球，
∴P（=-3）==；
=-2时表示取得2个红球和1个黑球，
∴P（=-2）==；
=-1时表示取得2个红球和1个白球，或1个红球和2个黑球，
∴P（=-1）=；
=0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，
∴P（=0）=；
=1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，
∴P（=1）=；
=2时表示取得2个白球和1个黑球，
∴P（=2）=；
=3时表示取得3个白球，∴P（=3）=；
∴所求概率分布为：

-3
-2
-1
0
1
2
3
P

2．2超几何分步
学习目标：
1. 通过实例，理解超几何分步及其特点；
2. 通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程，并能进行简单的应用．
学习过程：
活动一（背景引入）
问题1．某校组织了一次主题为“认识大自然”的夏令营活动，有10名学生参加，其中6名男生，4名女生，为了活动的需要，要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，那么其中恰有1名女生的概率有多大？并求抽取的三名同学中女生人数的概率分布．

问题2．假设一批产品共有100件，其中有5件不合格品，随机取出10件产品，求抽取的10件产品中不合格品的概率分布．

思考：（1）这两个问题有什么共同特点？
（2）对问题2，推广到一般情形，假设一批产品共有件，其中有件不合格品，随机取出件产品，求抽取的件产品中不合格品的概率分布．

活动二（超几何分布）
1．假设一批产品共有件，其中有件不合格品，随机取出件产品，则抽取的件产品中不合格品的概率分布为：,
其中，且．称分布列
X
0
1
…

P

…

为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从参数为的超几何分布，记为，
并将记为

2．说明：
（1）超几何分布的模型是不放回抽样；
（2）超几何分布种的参数是；
（3）记号中各个字母的含义：

活动三（应用）
例1. 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除了颜色外完全相同,一次从中摸出5个球．摸到4个红球一个白球就中一等奖,那么中一等奖的概率是多少?

思考：如何判断一个实际问题是否为超几何分布？

例2. 生产方提供50箱的一批产品,其中有2箱是不合格产品,采购方接受该批产品的准则是：从该产品中任取5箱产品进行检测,若至多有1箱不合格产品,便接受该批产品．问：该批产品被接受的概率是多少?

例3. 从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张,求至少有3张A的概率．

变题1：求至少有2张A的概率；

变题2：求至多有2张A的概率．

活动四（课堂小结）
如何判断一个实际问题是否为超几何分布？

活动五（自我检测）
1．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，求其中出现次品的概率．

2．从4名男生和2名女生任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，（1）求的分布列 （2）求“所选3人中女生人数”的概率
备选题：
1．设袋中有80个红球，20个白球，若从中取10个球，求其中恰有6个红球的概率．

2．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，求二级品不多于1台的概率．

3．从含有5件次品的100件产品中任取3件，试求：
（1） 取到的次品数的分布列；
（2） 至少取到1件次品的概率．

4．在某年级的联欢会上设计了一个摸球游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖,求中奖的概率．

思考：如果要将这个游戏的中奖率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则？

2．3．1条件概率
学习目标：
1. 通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义；
2. 掌握一些简单的条件概率的计算；
3. 体会由特殊到一般，再由一般到特殊的探究方法．
学习过程：
活动一（背景引入）
抛掷一枚质地均匀的硬币两次．
问题1．两次都是正面向上的概率是多少？

问题2．在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？

问题3．在第一次出现正面向上的条件下，第2次出现正面向上的概率是多少？

思考：上述三个问题有什么区别？它们之间有什么关系？

活动二（条件概率的定义）
定义：一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率．记为P ( A|B）．

思考1．试举出几个条件概率的例子．

思考2．若事件A与B互斥,则P(A|B)等于多少?

思考3．在问题1，2中，设“两次抛掷硬币，其中有一次正面向上”为事件B，“两次抛掷硬币都是正面向上”为事件A，则P(A|B)表示什么事件？

分别求出 P(A|B),探求这三者之间有什么关系？能推广到一般情形吗？
活动三（条件概率的运算）
条件概率的公式:

条件概率公式的变形:

例1．抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1,2,3,4,5,6},令事件A={2,3,5},B={1,2, 4,5,6},求P(A),P(B),P(A|B)

例2．一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P（AB），P（A︱B）．

例3．在一个盒子中有大小一样的20个球,其中10个红球,10个白球．求第1个人摸出1个红球,紧接着第2个人摸出1个白球的概率．

活动四．课堂小结与自我检测
一．课题小结
什么是条件概率？如何求条件概率？

二．自我检测
1．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次,每次抽1张,已知第1次抽到A,求第2次也抽到A的概率．

2．设某种动物出生后,能活到20岁的概率为0．8,活到25岁的概率是0．4,现有一只20岁的这种动物,求它能活到25岁的概率?

3．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2 道题，求：
(l）第1次抽到理科题的概率；
(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．

备选题：
1．一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；
(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．

2．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；
事件B：从1号箱中取出的是红球．
P（B）==，P（）=1-P（B）=，
P（A|B）==．

3．已知100件产品中有4件次品，无放回的从中抽取2次，每次抽取1件，求下列事件的概率：
（1）第一次取到次品且第二次取到正品；
（2）两次都取到正品；
（3）在第一次取到正品的条件下第二次取到次品的概率．

2．3．2事件的独立性
学习目标：
1. 了解两个事件相互独立的概念及简单应用；
2. 通过实例探究事件独立性的过程，学会判断事件独立性方法．
学习过程：
活动一（背景引入）
1. 复习巩固：
（1） 条件概率的定义：

（2） 条件概率的计算公式：

2. 问题1：把一枚硬币任意抛掷两次，事件A：第一次出现正面，事件B：第二次出现正面，求．

问题2：抛掷红、蓝两个骰子，事件A：蓝骰子出现3点或6点，事件B：两骰子出现的点数之和大于8，求．

3. 思考：在上述两个问题中，之间有什么关系？事件A的发生对事件B的发生之间有没有影响？

活动二（相互独立事件的概念）
1. 定义：
两个事件相互独立：

2. 思考：
（1） 独立事件与互斥事件有什么区别？

（2） 当时，能否称事件A、B相互独立？

（3） 如何求两个相互独立事件同时发生的概率？

（4） 能否将两个事件的独立性推广到n个事件独立性？请给出相应的结论．

例1 判断下列事件哪些是相互独立的？
（1） 袋中有3个红球，2个白球，采取有放回的取球．
事件A：从中任取一个球是白球；事件B：第二次从中任取一个球是白球．

（2） 袋中有3个红球，2个白球，采取不放回的取球．
事件A：从中任取一个球是白球；事件B：第二次从中任取一个球是白球．

（3） 篮球比赛的“罚球两次”中，
事件A：第一次罚球，球进了；事件B：第二次罚球，球没有进．

思考：（1）判断相互独立事件有哪些方法？

(2)若事件A与B相互独立，那么事件A与,B与,与是否相互独立？

例2．在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮鸡蛋，2个白皮鸡蛋，每次取一个，有放回的取两次，（1）求在第一次取到红皮鸡蛋的前提下，第二次取到红皮鸡蛋的概率；
（2）求在第一次没有取到红皮鸡蛋的前提下，第二次取到红皮鸡蛋的概率．

活动三（求相互独立事件的概率）
例．3如图,用X,Y,Z三类不同的元件连接成系统N,当元件X,Y,Z都正常工作时,系统N正常工作．已知元件X,Y,Z正常工作的概率依次为0．80,0．90 , 0．90 ,求系统N正常工作的概率P ．

X
Y
Z

变题1：在一段线路中并联着3个自动控制的开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0．7，计算在这段时间内线路正常工作的概率

变题2．如图添加第四个开关与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0．7，计算在这段时间内线路正常工作的概率

变题3．如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0．7，计算在这段时间内线路正常工作的概率

例4．甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：
（1）人都射中目标的概率；
（2）人中恰有人射中目标的概率；
（3）人至少有人射中目标的概率；
（4）人至多有人射中目标的概率？

活动四．课堂小结与自我检测
一．课题小结
事件独立性是怎样定义的？如何判断事件是相互独立的？如何求相互独立事件的概率？

二．自我检测
1．加工某一个零件共需要两道工序,若第一、二道工序的不合格品率分别为3%和5%，假定各道工序是互不影响的，问：加工出来的零件是不合格品的概率是多少？

2．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是 ．

备选题：
1．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0．2，则3个灯泡在使用1000小时后恰好坏了1个的概率是 ．

2．某道路的、、三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 ．

3．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；
（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0．8与0．7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．

4．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0．6，第2台是0．7，第3台是0．80，第4台是0．9，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率．

5．制造一种零件，甲机床的废品率是0．04，乙机床的废品率是0．05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？

6．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中都任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？

7．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0．2．
（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后被击中的概率在0．9以上，至少需要布置几门高炮？

2．4二项分布
学习目标:
1．理解次独立重复实验的模型及其意义；
2．理解二项分布并能解决一些简单的实际问题．
学习过程：
活动一（背景引入）
1．猜数游戏：
游戏：甲、乙两组同学进行抛掷硬币游戏，共抛掷9次若正面朝上5次以上则甲组获胜，若反面朝上5次以上则乙组获胜．

问题1：前一次抛掷的结果是否影响后一次的抛掷？也就是每次抛掷是否相互独立？

问题2：游戏对双方是否公平？能否从概率角度解释？

练习1：求“重复抛一枚硬币5次，其中有3次正面向上”的概率．

2．求“重复抛掷一枚骰子3次，其中有2次出现1点”的概率．

思考：这两个练习有什么共同点和不同点？

活动二 （n次独立重复试验的概念）
1．定义：一般地，由次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态即A与，每次试验中,我们将这样的试验称为次独立重复试验．
2．思考：次独立重复试验必须具备哪些条件？

3．判断下列实验是不是独立重复实验，为什么？
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的他连续射击了十次
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取2个球

4．思考：活动一中的游戏是否可以看成独立重复试验？游戏中，我们用X表示正面朝上的次数，请探求X的取值和相应的概率．

推广：若游戏中有n组数据，则正面朝上次数的概率是多少？

活动三（二项分布）
1．定义：
（1）在次独立重复试验中，事件A恰好发生（）次的概率为
．
说明：可以看出, 恰好是的二项展开式中的第项．

(2)若随机变量X的分布列为，则称X服从参数为的二项分布，记作~．

2．思考：如何判断一个随机变量的分布是否为二项分布？

二项分布与两点分布有何关系？

与超几何分布有什么区别？

活动四（简单应用）
例1求随机抛掷100次均匀硬币,正好出现50次正面的概率．

思考: 随机抛掷100次”均匀硬币正好出现50次反面的概率是多少?

例2设某保险公司吸收10000人参加人生意外保险,该公司规定:每人每年付给公司120元,若意外死亡,公司将赔偿10000元．如果每人每年意外死亡的概率为0．006,问：该公司赔本及赢利额在400000元以上的概率各有多大?（不考虑其它支出）

例3．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛．规定5局3胜(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)
(1) 试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；
(2) 按比赛规则甲获胜的概率．

练习：甲、乙两人进行围棋比赛，已知在一局棋中甲胜的概率为，甲负的概率为，没有和棋．若进行三局两胜,则甲获胜的概率是多少?若进行五局三胜制比赛,先胜三局者为胜,则甲获胜的概率的概率是多少?

活动四（课堂小结）
1. n次独立重复试验；
2. 二项分布．
活动五（自我检测）
1．某人对一目标进行射击,每次命中率都是0．25,若使至少命中1次的概率不小于0．75,至少射击几次?

2．某气象站天气预报的准确率为80%,计算
(1)5次预报中恰有2次准确的概率;
(2)5次预报中至少有2次准确的概率;
(3)5次预报中恰有2次准确,且第3次预报准确的概率．
备选题：
1．我潜艇用鱼雷打击来犯敌舰，已知每枚鱼雷的命中率都是，要击沉敌舰，至少要3枚以上鱼雷击中敌舰，现我艇的8个鱼雷管同时向敌舰发射，求敌舰被击沉的概率．

2．一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概率都是．
(1) 设为这名学生在途中遇到红灯的次数,求的分布列;
(2) 设为这名学生在首次停车前经过路口数,求的分布列;
(3) 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．

3．甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别为和．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响．
(1) 求甲射击4次,至少1次击中目标的概率;
(2) 求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(3) 假设某人连续2次击中目标,则中止其射击．问：乙恰好射击5次后中止射击的概率为多少?

2．5随机变量的均值与方差
2．5．1离散型随机变量的均值
学习目标：
1. 通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的均值（数学期望）的概念和意义；
2. 能计算简单离散型随机变量的均值（数学期望），并能解决一些实际问题；
3．掌握两点分布、二项分布和超几何分布的期望．
学习过程：
活动一（背景引入）
1. 复习巩固：
（1） 随机变量及其分布列的概念：
（2） 分布列的两个性质：
（3） 几个常见的分布：两点分布，超几何分布，二项分布
2. 问题1：
已知一次测试中，某小组得分情况如下表
得分
1
2
3
4
5
人数
1
1
3
4
1
（1）求此小组的平均值；
（2）若从中任取1人，用随机变量X表示得分，求X的概率分布．

问题2：
甲、 乙两个工人生产同一种产品,在相同条件下,他们生产100件产品所出的不合格数分别用表示, 的概率分布如下:

0
1
2
3

0．7
0．1
0．1
0．1

0
1
2
3

0．5
0．3
0．2
0
如何比较甲乙两个工人的技术?

小结：如何求随机变量的平均值？

活动二（随机变量的均值）
离散型随机变量的均值:
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X

P

则称为随机变量X的均值或数学期望,记为E(X)或
其中是随机变量X的可能取值，是概率，
说明：上述定义给出了求离散型随机变量均值的方法,高中阶段我们只研究有限个随机变量的均值的情况．

练习：（1）设随机变量X的概率分布如下表,试求E(X)
X
1
2
3
4
5
p

（2）从甲乙两位射击运动员中选择一位参加比赛，现统计了这两位运动员在训练中命中环数X，Y的概率分布如下，问：哪名运动员的平均成绩较好？
X
8
9
10
p
0．3
0．1
0．6
Y
8
9
10
p
0．2
0．5
0．3

思考：（1）与有何区别？

随机变量是可变的，可取不同的值；而期望是不变的，由的分布列唯一确定，所以称之为概率分布的数学期望，它反映了的平均水平．

（2）随机变量的期望和相应数值的算术平均数有什么区别？

期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，是相应数值的算术平均数这一概念的推广．

活动三（求随机变量的均值）
例1. 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏,在一个口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球,其中红球的个数为X,求X的数学期望．

思考：例1中的随机变量服从什么分布？试探求出超几何分布的随机变量的均值．

例2. 从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查,若这批产品的不合格品率为0．05,随机变量X表示这10件产品中的不合格品数,求随机变量X的数学期望E(X)

思考：例2中的随机变量服从什么分布？试探求出二项分布的随机变量的均值．

小结：
(1)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：
①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
②求ξ取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出Eξ
（2）
服从超几何分布的随机变量的期望
服从二项分布的随机变量的期望

练习：（1）假定1500件产品中有100件不合格品，从中抽取15件进行检查，其中不合格品件数为X，求X的数学期望．

(2)某单位有一台电话交换机,其中有5个分机专供与乙市通话．设每个分机在1小时内平均占线20分钟,并且各个分机是否占线是相互独立的,求任一时刻占线的分机数目X的数学期望．

活动四（随机变量均值的性质）
例3（1）已知的平均数为5
则的平均数为 ；
的平均数为
（2）已知E（X）=1，则E（2X+6）=

练习：已知随机变量X的概率分布为：
X
-1
0
1
P

且设Y=2X+3，则E（Y）=

小结：公式E（aξ+b）= aE(ξ)+b

活动四 课堂小结与检测
一 课题小结
如何求随机变量的均值？

二 自我检测
1．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为，求

2．设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为 ．
3．有10件产品，其中3件次品，从中任取2件，若表示取到次品的个数，求
4．甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品，日产量相等，每天出废品的情况为
工人
甲
乙
废品数
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0．4
0．3
0．2
0．1
0．3
0．5
0．2
0

则有结论
（1）甲的产品质量比乙的产品质量好一些；
（2）乙的产品质量比甲的产品质量好一些；
（3）两人的产品质量一样好；
（4）无法判断谁的质量好一些．
备选题
1．随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望
解：∵，
=3．5
2．一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对每一题的概率均为0．9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B（20,0．9）,,

由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

3．根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0．25,有大洪水的概率为0．01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800 元．
方案2：建保护围墙，建设费为2000 元．但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
试比较哪一种方案好．
解：用X1 、X2和X3分别表示三种方案的损失．
采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800 元，即
X1 = 3800 ．
采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2000 + 60000=62000 元；没有大洪水时，损失2000 元，即

同样，采用第 3 种方案，有

于是，
EX1＝3 800 ,
EX2＝62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 )
= 62000×0． 01 + 2000×(1-0．01) = 2 600 ,
EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0)
= 60 000×0．01 + 10000×0．25=3100 ．
采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 ．
4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0．7，求
⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；
⑵他罚球2次的得分η的数学期望；
⑶他罚球3次的得分X的数学期望．
解：⑴因为，，所以
1×＋0×
⑵η的概率分布为
η
0
1
2
P

所以 0×＋1×＋2×＝1．4．
⑶ξ的概率分布为
ξ
０
１
2
3
P