锐角三角函数 投影与视图复习导学案.doc

第二十八章 锐角三角函数复习学案
一、锐角三角函数的概念 （3~8分）
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA（或者sin ,sin ），
即
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，
即
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，
即
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，
即
2、锐角三角函数的概念

E
O
A
B
C
D
·
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它
对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．
（1）、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。
已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）
A． B． C． D．
（2）、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．
二、各锐角三角函数之间的关系（可通过线段比值来证明）
（1）互余关系
一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值
sinA=cosB=cos(90°—A)，
一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值
cosA=sinB=sin(90°—A),
一个锐角的正切值等于它余角的余切值
tanA=cotB=cot(90°—A)，
一个锐角的余切值等于它余角的正切值
cotA=tanB=tan(90°—A)
（2）平方关系
同一个锐角的正弦与余弦的平方和等于1

（3）倒数关系
同一个锐角的正切与余切之积为1，即tanAcotA=1
（4）弦切关系
tanA= cotA=
5、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）,
0＜＜1
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）,
0＜＜1
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
三、一些特殊角的三角函数值
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0

1
cosα
1

0
tanα
0

1

不存在
cotα
不存在

1

0
求下列各式的值．
（1）sin30°·cos45°+cos60°; （2）2sin60°-2cos30°·sin45°

（3）; （4）-sin60°（1-sin30°）．

（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°+·tan30°

四、解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：

3、仰角、俯角
 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

例：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？

4、坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？

例：同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)

例3．如图5，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高I0米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固。并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：。
(1)求加固后坝底增加的宽度AF；
(2)求完成这项工程需要土石多少立方米?(结果保留根号)

课后练习
一．判断下列说法是否正确
i  对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1 （    ）
ii  对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2           （    ）
iii  如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2I                                           （    ）
iv  如果cosα1＜cosα2，那么锐角α1＞锐角α2                          （    ）
二．选择
1.在Rt△ABC中，下列式子中不一定成立的是______
A．sinA＝sinB B．cosA＝sinB C．sinA＝cosB D．sin(A+B)＝sinC
2.在

A．0°＜∠A≤30° B．30°＜∠A≤45°
C．45＜∠A≤60° D．60°＜∠A＜90°
5．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且c=3b，则cosA=
6．△ABC中，∠C=90°，若BC=4，sinA=,则AC的长是
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB=,那么cosA的值是
8．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为
9．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且,那么点A的坐标是

·
·

10．如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点. 如果，.那么点与点的距离为
11． 如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为

A
B
C
D

随堂演练：
1．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC=_________．
2．将半径为10cm，弧长为12的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角的余弦值是 ．
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠DAC=30°，BD＝2，AB＝2；则AC的长是
4．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，DE⊥BC，垂足是E，
若AD＝2DC，AB＝4DE，则sinB等于
5．如图，AB是伸缩性遮阳棚，CD是窗户，要想夏至正午时的阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是 （假如夏至正午时的阳光与地平面的夹角是600）
6． 如图，将矩形纸片()的一角沿着过点的直线折叠，使点落在边上，落点为,折痕交边交于点.若，，则__________;若，则=_________(用含有、的代数式表示)

C
A
B
D
阳光
1米
2米

7．如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB－AC=2－，求BC的长。

8.如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4.
（1）求证: ～；
(2) 求的值；
（3）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，
求的度数.

9．南平是海峡西岸经济区的绿色腹地.如图所示，我市的A、B两地相距20km，B在A的北偏东45°方向上，一森林保护中心P在A的北偏东30°和B的正西方向上.现计划修建的一条高速铁路将经过AB（线段），已知森林保护区的范围在以点P为圆心，半径为4km的圆形区域内.请问这条高速铁路会不会穿越保护区，为什么？
A
B
P
北
北

10.如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45)

11．如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30º，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45º．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离（≈1.732，结果精确到0.1m）．
A
B
C
D
E

12已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m)．

第二十九章　投影与视图复习学案
课题：29.1投影
一、教学目标：
1、经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；
2、了角平行投影和中心投影的区别。
3、使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
二、教学重、难点
教学重点：理解平行投影和中心投影的特征；
教学难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。
一般地.用光线照射物体.在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
有时光线是一组互相平行的射线.例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线(如图).由平行光线形成的投影是平行投影.例如.物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影.

由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如.物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影.

探究平行投影和中心投影和性质和区别
4、请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？
平行投影与中心投影的区别与联系

区 别
联系
光 线
物体与投影面平行时的投影
平行投影
平行的投射线
全等
都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。(即都是投影)
中心投影
从一点出发的投射线
放大(位似变换)
下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个是平行投影哪个是中心投影?图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?

指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。
（二）合作学习，探究新知
1、如图，把一根直的细铁丝(记为安线段AB)放在三个不同位置:
    (1)铁丝平行于投影面; (2)铁丝倾斜于投影面，
    (3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状 

通过观察，我们可以发现;
(1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB  =    A1B1  
(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB   >   A2B2
(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3
2、如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置:
    (1)纸板平行于投影面; (2)纸板倾斜于投影面;
    (3)纸板垂直于投影面

结论(1)当纸板P平行于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小一样;
(2)当纸板P倾斜于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小发生变化;
(3)当纸板P垂直于投影面Q时. P的正投影成为一条线段.
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.

例1、A、B 表示教室门口，张丽在教室内，王明、钱勇、李杰三同学在教室外，位置如图所示，张丽能看得见三位同学吗？请说明理由。

例４、如右上图，小王、小李及一根电线杆在灯光下的影子。
（１）确定光源的位置；
（２）在图中画出表示
电线杆高度的线段。

课题 29.2 三视图

如图 (1)，我们用三个互相垂直的平面
作为投影面，其中正对着我们的叫做正
面，正面下方的叫做水平面，右边的叫
做侧面.一个物体(例如一个长方体)在三
个投影面内同时进行正投影，在正面内
得到的由前向后观察物体的视图，叫做
主视图，在水平面内得到的由上向下观
察物体的视图，叫做俯视图;在侧面内得
到由左向右观察物体的视图，叫做左视
图.
如图(2)，将三个投影面展开在一个平面内，得到这一物体的一张三视图(由主视图，俯视图和左视图组成).三视图中的各视图，分别从不同方面表示物体，三者合起来就能够较全面地反映物体的形状.

三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示
同一物体的高.左视图与俯视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大
小是互相联系的.画三视图时.三个视图要放在正确的位置.并且使

主视图与俯视图的长对正，
主视图与左视图的高平齐.
左视图与俯视图的宽相等。
通过以上的学习，你有什么发现？
物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图，看得见的画实线，看不见的画虚线。
例1画出下图2所示的一些基本几何体的三视图.

分析:画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为:
    1.确定主视图的位置，画出主视图;
  2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”。
3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
解：

2、你能画出下图1中几何体的三视图吗 小明画出了它们的三种视图(图2),他画的对吗 请你判断一下.

3、做一做：画出下列几何体的三视图

4、下面的三视图说出立体图形的名称.

5、如图①放置的一个水管三叉接头，若其正视图如图②，则其俯视图是（　　 ）

6、如图，是有几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图， 则搭成这个几何体的小正方体的个数是
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

左视图
主视图
俯视图
7、右图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，
则搭成这个几何体的小正方体的个数是

A．5 B．6
C．7 D．8
8、画出实物图(如图，上部分是长方体，下部是空心圆柱)的三视图．

9、某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积.

分析:对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形——展开图.在实际的生产中.三视图和展开图往往结合在一起使用.解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图.从而计算面积.

10、如图是一个物体的三视图，请画出物体的形状。

11根据下面三视图建造的建筑物是什么样子的？共有几层？一共需要多少个小正方体。

四、小结
1、画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大小，不要受到该方向的物体结构的干扰。
2、在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。
3、一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看。
4、一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等。
5、对于较复杂的物体，有三视图形象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系。