二元一次方程组应用.doc

2.4 二元一次方程组的应用（1）
【教学目标】
Ø1．掌握应用二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤．
2．会列二元一次方程组解应用题．
【教学重点、难点】
Ø1．本节教学的重点是列二元一次方程组解应用题．
2．例l的问题情境比较复杂，不易列出方程，是本节教学的难点．
【教学过程】
一、创设情景，引入新课
从游泳池中的数学问题引入．
师：炎热的夏口，游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗?
通过创设愉悦的问题情境，引起学生的学习兴趣，在轻松的气氛中探索问题．
师：你能用所学过的知识来解决这个问题吗?
(学生通过四人小组活动，观察分析，仔细审题，纷纷讲述了自己的方法．)
教师可以启发学生思考下面的问题：
(1)这个实际问题中有哪些等量关系?
(2)怎样设未知数?可以列出几个方程?
通过师生共同归纳得出：
女孩人数二男孩人数－1，
男孩人数：2×(女孩人数－1)
教师引导学生用列一元一次方程和列二元一次方程组两种不同方法求解，并比较两种解
法的繁简，让学生体会学习二元一次方程组的必要性．
学生可得出下列方法：
(1)如果设男孩有，人，可根据每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，得方程
x＝2(x－1)—1，解得x＝4．
(2)如果设女孩有y人，可根据每位男孩看到蓝色的游泳帽与红色的游泳帽一样多，得
方程2(y－1)—1＝y，解得y=3．
(3)设男孩有x人，女孩有y人，由题意可列方程组 　x－1＝y　　　解得　　x＝4
　x＝2（y－1），　 　　 y＝3
(4)列二元一次方程组求解，有什么优点?
把学生逐步引入问题情境中，对学生的思考有一定的引导和启发作用，激励了学生探索
解决问题的欲望．
　　师生共同总结：当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容
易列出方程，要注意的是必须寻找两个等量关系，列出两个不同的方程，组成二元一次方程组(这里不同的方程的真实含义是不等价的方程，但对学生不讲述不等价的概念)．
如果当两个未知量之间的数量关系比较复杂隐蔽时，直接列一元—次方程就比较困难，这时列方程组解就显得优越．
二、典型例题分析
例1 用如课本图4-10中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如课本图4-11的竖
式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完?

通过此例让学生感受到数学与数学应用的普遍性与科学性．
多媒体显示一个竖式纸盒，横式纸盒的平面展开图，学生小组讨论，并填写下表：

x只竖式纸盒
y只横式纸盒
合计
正方形纸板的张数

长方形纸板的张数

通过学生观察、思考、得到两个等量关系：
两种纸盒所用正方形纸板的张数的和＝1000(张)，
两种纸盒所用长方形纸板的张数的和＝2000(张)．
解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个．根据题意，得　x＋2 y ＝1000　　解得　　x＝200
　4x＋3y＝2000，　 　　　y＝400
经检验，这个解满足方程组，且符合题意．
答：做竖式纸盒200个，横式纸盒400个，恰好将库存的纸板用完．
引申：如果有正方形纸板500张，长方形纸板100l张，那么能否做成若干只两种纸盒后，恰好把库存的纸板用完?说明理由．
解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据题意，得
　x＋2 y ＝500　　　解得　　　x＝
　　4x＋3y＝1001　　　　　　　　y＝
可见x，y不是自然数，不符合题意．所以不能做成若干只纸盒，恰好把库存的纸板用完． 这里应该提醒学生注意：必须检验所求出的未知量的值是否符合实际意义．
上例属于配套问题，分析时应着重启发学生利用列表得到竖式、横式纸盒数与所需的正
方形与长方形纸板的张数之间的数量关系．
通过上面的例题，师生共同归纳应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：
(1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)．
这时要明确问题中的已知量是什么，未知量是什么．根据问题的不同，用“列表”“图示”“语言式子”揭示出问题中已知量和未知量之间的直接关系或间接的等量关系．
(2)制订计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)．
设未知数的方法有两种：一种是设直接未知数，就是把问题中要求的未知量用x，y等表示；一种是设间接未知数，就是把与问题中要求的未知量相关的另一些未知量用x，y的代数式表示．哪一种设法便于列出方程组就选用哪一种．
在列方程组时，根据所设的未知数、已知量和未知量之间的等量关系列出方程组．要注意的是：方程组中每个方程之间应不等价；方程的个数和未知数的个数相等；方程两边所表示的量相同．
(3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案)．
解方程组时，应根据所列方程的特点选择最简便的方法求出方程组的解．
回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意)．
所设的未知数常常受到某些条件的限制，因此，要检验并判断方程的解是否符合题意，最后写出答案．
三、探究尝试
1．走路、骑车、乘车等是学生熟悉的事件，通过行程问题作为学生探究性学习的课题十分自然．
甲、乙两人从相距18km的两地同时出发，相向而行，经过兰时相遇．如果甲比乙先出发导时，那么在乙出发后经过÷时两人相遇，求甲、乙两人的速度．
学生面对新问题，非常好奇兴奋，并积极思考，教师要抓住时机，要求学生通过讨论，动手实验，积极探索解题方法．
教师针对学生的讨论，通过多媒体动态演示：

如：设甲的速度为每时行xkm，乙的速度为每时ykm，通过分析和探究得
　x＋y ＝18　　　　　　
　　x＋（x＋y）＝18　　　　　　　
要使学生懂得对不同问题要辅以不同的教学工具来解决，比如行程问题用图示法，配套
问题用列表法都十分适宜．
本题是行程问题，讲解时，应把问题分解成两个相遇问题，充分利用图示，引导学生找出两个等量关系．在讲解此例前，还应复习一下相遇问题的基本等量关系．
2．做课本课内练习第2题．
四、小结
本节课有哪些收获与感受?
五．作业．