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《烙饼问题》、磨课前后教学设计与反思
一、最初教学设计
【教学目标】
1、经历问题情境，通过对烙饼问题的探究，理解并掌握
烙饼问题的最优方案。体会解决问题策略的多样性，初步形成寻找解决问题最优方案的意识。
2、经历探究过程，体会化归、转化等是解决问题的重要方法，学会用画图、列表等方法分析问题。
3、了解统筹的含义，感受统筹在日常生活中的广泛应用，
体会合理安排的重要性。
【教学重点】
探究烙3张饼的最优方案
【教学难点】
学会用画图、列表等方法分析、解决问题，体会化归、转化等是解决问题的重要方法。
【教学用具】每个活动小组3枚硬币、教师演示用3张圆纸片
【教学过程】
课前谈话：1、发放学具饼对学具的使用作要求
2、交流：你觉得数学对你最大的帮助是什么？
一、问题情境，引导探究
情境：烙饼问题（修改主题图为妈妈和小红两人）
1、观察情境图，理解烙饼规则
（1）呈题：每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面3
分钟。
（2）读题（图）：指名读题，引导理解题意
理解：引导理解题意，理解烙饼规则
2、独立思考，引导交流
（1）引导：烙1张饼，最少需要几分钟？
① 思考：学生独立思考
② 交流：指名学生进行汇报（配以教具进行演示）
（2）引导：烙2张饼，最少需要几分钟？
① 思考：学生独立思考
② 交流：指名学生进行汇报（配以教具进行演示）
③ 引导：你会选择哪种烙饼方案？
二、合理安排，分类思考
1、合理安排
（1）引导：为什么烙1张饼和烙2张饼用时一样？
（2）小结：只要每次锅中都能够烙两个面，就会节省时间，节省资源。
2、分类思考
（1）3张饼
引导：如果要烙3块饼，怎样烙用时最少？？
① 思考：想一想，你打算怎样烙？用了几分钟？如果思考有困难，可以用硬币代替饼来摆一摆。
② 活动：组织小组活动
③ 汇报：组织学生汇报
（先反馈12分钟的烙法，再反馈9分钟的烙法，有9
分钟烙法的学生让其把自己的想法模拟操作，组织其他
学生先个人说，在小组说）
④ 记录：组织学生用自己的方式进行记录
⑤ 反馈：组织学生进行展示
（注意反馈不同的记录方法，重点反馈图表式的）
⑥ 梳理：将烙2张、3张饼的时间用表格进行整理
（2）偶数张饼（由4张饼引出）
① 思考：学生独立思考
② 图示：独立图示烙法
③ 反馈：组织学生进行反馈（注意反馈不同烙法，并进行适当引导）
④ 小结：4张饼，只要两张两张的同时烙，比较节省时间。
⑤ 引导：你觉得还有几张饼也可以像刚才这样两张两张的同时烙?
⑥ 整理：结合学生回答整理表格（将烙6张、8张、10张饼时间板书出来，其余省略）
⑦ 交流：看来当饼为双数张时，你觉得怎样烙最节省时间？
（独立思考：最终得出当饼为偶数张的时候，我们只要两张两张的同时烙，就最节省时间。）
（若有学生提出奇数张饼也行最好，顺势引导探究）
（3）奇数张饼（由5张饼引出）
① 思考：学生独立思考
② 图示：独立图示烙法
③ 反馈：组织学生进行反馈（注意反馈不同烙法，并进行适当引导）
④ 转化：我们就是把5想成2+3，先同时烙其中的两张饼，再烙剩下的3张饼，一共用了6+9分钟。实际上也就是把5张饼转化成1个2张和1个3张饼的烙法。（适时板书）
⑤ 引导：7张饼你准备怎么烙？9张饼呢？（将烙7张、9张饼时间板书出来，其余省略）
⑥ 交流：当饼为单数张时，怎样烙最节省时间？
（适当引导，得出：当饼为奇数张的时，我们只要先两张两张的同时烙，最后再烙剩下的3张饼，这种烙法最节省时间。）
三、 综合归纳，引申拓展
1、抽象归纳，发现规律
（1）观察：引导观察统计烙饼时间的表格
（2）思考：你有什么发现？
（3）补充：补充当1张饼的情况
（4）修正：烙饼的张数和时间关系
2、小结梳理，应用规律
（1）尝试：20张饼、100张饼的时间
（2）抽象：n张饼与烙饼时间的关系式
（3）小结：通过今天的学习，你有什么收获？
3、生活感知，引申拓展
（1）生活：回顾生活中做饭程序的统筹安排、烧水泡茶程序的统筹安排等
（2）补充：介绍统筹学和华罗庚
（3）提升：每次只能烙3张饼，两面都要烙，每面3分钟。烙4张饼最少需要多少时间？

板书设计：

烙饼问题
只有合理安排 才能节省时间
饼（张数） 次数 最少时间（分）
1 1 6
2 2 6
3 3 9
4 4 12
5 5 15
6 6 18
7 7 21
8 8 24
9 9 27
……
n n n*3

二、最终教学设计
【教学目标】
1、通过对烙饼问题的探究，掌握烙饼问题的最优方案。体会解决问题策略的多样性，初步形成寻找解决问题最优方案的意识。
2、经历探究过程，体会化归、转化等是解决问题的重要方法，学会用画图等方法分析问题。
3、感受数学在日常生活中的广泛应用，体会合理安排的重要性。
【教学重点】
探究烙3张饼的最优方案
【教学难点】
理解烙不同张数饼的最优方案就是“让锅里始终都烙两张饼（两个面）”
【教学准备】教具饼3个、学具饼若干、CAI课件
【教学过程】

一、问题情境，引导探究
揭题：今天这节课，就要来研究和烙饼有关的数学问题。
（板书：数学广角-----烙饼问题）
情境：烙饼问题
1、 观察情境图，理解烙饼规则
观察：（师指着大屏幕）看，小红的妈妈正在烙饼，一起来看看烙饼的要求。
（CAI呈现烙饼要求，师读烙饼规则）
引导：请说说你对这几句话的理解。

问题：（CAI呈现问题）爸爸、妈妈和小红每人一张，怎样才能尽快吃上饼？
交流：这句话你是怎么理解的？（组织学生反馈）

明确：这也就是问 “3张饼，最少需要几分钟？”（课件呈现问题）

（组织学生简单交流）
引导：看来大家的意见不太一致啊，说明这个问题有点
复杂，干脆我们将问题简单点，先从最简单的数字开始研究吧
思考：如果现在只烙1张饼，需要几分钟？

2、 独立思考，引导交流
反馈：指名反馈
（教师配以课件演示适时板书： 1张饼，共6分）

思考：如果要烙2张饼，最少需要几分钟？（师提问语速加快）
（说明：如果有困难，可以用圆片当饼，动手烙一烙）
（组织学生反馈，先反馈12分钟烙法，再反馈6分钟烙法，同步配以课件演示， 6
分钟烙法指名上黑板演示）

二、 合理安排，分类思考
1、引导优化，理解道理
对比：通过刚才的交流，我们知道了，一部分同学是一
张一张烙的，一部分同学是一次烙两张，如果再次选择，
你会选择哪种方法？
（对比交流中追问：为什么选择第二种烙法？）
小结：看来啊，在一口锅一次能两张饼的前提下，一次烙两张就会比较省事
（板书：一次烙两张 省时）

深化：为什么都不选一张一张烙的方法呢？
引导：（指着课件）这口锅本来一次能烙两张饼，可
在每次都只烙了一张饼，仔细看看锅的状态，你有什么想说的？
（适时板书 单独烙一张 不省时）
小结：通过刚才的比较，我们知道了烙饼问题中，只有
将锅底的面积充分利用了，才能节省时间。
2、动手探究，升华认识
引导：想想，烙3张饼，最少需要几分钟？
要求：独立思考，可以用桌上的圆片摆一摆。如果有困难，可以求助同桌或者老师
（教师组织学生活动，师巡视参与小组活动，反馈时，先组织汇报12分钟的烙法，再组织汇报9分钟的烙法，学生反馈时配以课件同步演示）

演示：接着来看看9分钟的方法，请你上来给我们演示一下
（师指名学生黑板上演示，要求其只演示不说话）
引导：谁来说说他是怎么想的？（配以学生回答教师用课件同步演示）

比较：两种不同的方法，你会选择哪种？
（对比交流中追问：：仔细观察第一种方法，它的时间浪费在哪？？）
小结：看来在烙饼过程中，要想节省时间，就不能单独
剩下一张饼。
操作：刚才没有用这种轮换烙方法的同学，我建议大家再次用学具动手烙一烙。（教师组织全体学生操作9分钟烙法）
深化：有没有可能找到比9分钟更少的时间了？
（组织学生充分交流）
小结：（指着第二种烙法）多么睿智的回答啊，仔细看看这口锅的状态，每次锅里都烙了两张饼，所以不可能找到比9分钟更少的时间了。
师：看来，小红一家三口要想尽快的吃上饼，最少只要9分钟。
3、回顾总结，方法引领
回顾：回顾一下刚才解决问题的过程，我们是怎样解决问题的？
（组织回顾交流）
小结：我们从简单的问题开始，先找到了省时的关键，然后利用这个认识解决了3张饼的问题，知道了烙3张饼最少只要9分钟。
4、更多张饼
思考：（CAI呈现）如果烙4张饼？5张饼呢？……10张饼呢？怎样烙最节省时间？
要求：能不能不再操作学具，独立思考，就用我们掌握的知识来解决。
（1）双数张饼
（组织汇报烙4张的时间和方法）
明确：原来烙4张饼，大家都是转化成2和2。
类推：除了4张饼，你认为还有几张饼也能像这样两
张两张的同时烙？（指名说）
小结：交流中引导小结出烙双数张饼的最优方案。
（2）单数张饼
引导：解决了双数张饼的问题，那单数张饼呢？
① 5张饼
反馈：组织汇报最少用了几分钟。
（反馈中引导对“2+2+1”烙法评价：你们认为这会是最节省时间的方案吗？）
强化：只要锅里一次只烙1张饼，就肯定不省时
思考：通过两位同学的介绍，5张饼，怎样烙才最节省时间？
明确：有意思，把5转化2和3，这种方法最节省时间。
② 7张饼
反馈：组织汇报最少用了几分钟。
明确：7张饼，转化一个3和两个2，这种方法最节省时间。
③ 9张饼
反馈：组织汇报最少用了几分钟。
（组织反馈不同方法）
对比：虽然两种方法都要27分钟，可是结合实际考虑，你们你会选择哪种方案？
（组织对 “3+3+3”和“2+2+2+3”烙法进行评价）
明确：9张饼，转化一个3和三个2，这种方法最节省时间。
④ 单数张饼
归纳：看来单数张饼，怎样烙才最节省时间？
（组织学生反馈）
小结：单数张饼，转化成一个3和若干个2，这样烙就最节省时间。
三、 综合归纳，引申拓展
过渡：同学们真是了不起，不仅解决了烙饼问题，还烙出学问，
1、引申拓展
（1）小结：今天这节课，我们一起走进了数学广角，研究了烙饼问题，说说你有什么收获？
（引导从研究方法、知识规律、合理安排等方面作总结提升）
2、生活回归，应用规律
应用：老师办公室只有2台电脑可以上网，甲、乙、丙3位老师每人都要上网2次查资料，每次1小时，怎样安排可使3人最快完成查资料的任务？时间是多少？

板书设计：
烙饼问题
一次烙1张 不省时

一次只能烙两张饼

一次烙2张 省时

1（张） 6（分）
2 6
3 9
4 12
5 15

三、磨课历程及反思
第一次试教后课堂教学主要存在以下问题：
1、教学目标定位模糊。主要表现在究竟要学生对烙饼问题的最优方案理解到什么程度上。要不要引导发现烙饼次数（张数）与最少时间之间的关系？是否探究3张饼、4张饼、5张饼……始终借助画图（列表）的方法？是否要介绍“运筹学”相关知识？等，都是困扰教学的问题所在。
2、教学重点不突出。原因是我在教学中放慢了对3张饼的最优方案的探究，在单数和双数张饼的最优方案的探究上也花了大气力；不仅关注了烙饼最优化方案的探究，也引导发现烙饼问题中隐藏的规律；不仅要求学生学会思考，还尝试教给学生思考问题的方法------画图、列表策略等，总想面面俱到、处处重点，反而使得本节课的重点不突出。
3、教学过程没有关注到全体学生。这种非常规的问题本身理解有难度，加之烙饼的规则与学生实际生活不相符，教学中我将“烙饼的规则”直接呈现，没有让学生真正理解就进行问题的探究，导致部分学生对烙饼的规则理解不到位，甚至到最后仍有部分学生出现不该出现的错误。
4、教学节奏不明快。因为教学中关注点太多，每一环节都显得节奏偏慢，导致最后超时10多分钟。

痛定思痛，试教中的问题促使我再次进行教学的调整。接下来的几次试教中促进了我对教材的理解越来越深入。慢慢的，对教材的处理开始有了自己的思考---------是否可以将对烙饼问题的最优方案的理解要求适当降低，不要求学生发现烙饼次数（张数）与最少时间之间的关系这一规律？是否可以将画图（列表）这一解决问题的方法在教学中潜移默化的渗透给学生，把更多的时间留给学生进行深入思考？是否可以将单双数张饼最优方案的探究适当弱化，并将单数张作为探究的重点？我对教学设计做了如下的调整：
1、教学目标定位的调整：
主要表现在：
（1）通过对烙饼问题的探究，掌握烙饼问题的最优方案，体会解决问题策略的多样性，初步形成寻找解决问题最优方案的意识。在这弱化了对知识上的要求，只要学生达到“给出具体的数，知道怎么烙最省时”就行，并不要学生发现烙饼次数（张数）与最少时间之间的关系。取而代之，突出了“在探究方案的过程中体会解决问题策略的多样性，初步形成寻找解决问题最优方案的意识”这一要求。
（2）在探究的过程中体会化归、转化等解决问题的方法，学会用画图等方法分析问题。教学中不再要求学生尝试用画图、列表等方法来表示烙饼方法，而是将画图等解决问题的方法通过课件潜移默化的给予学生，留出了更多的时间以保证学生进行充足的思考。
2、教学设计思路的调整：试教中，由于学生对烙1张饼和2张饼的省时道理不理解，直接影响了对烙3张饼最优方案的探索和理解。学生的认识需要在研究和比较的过程中获得，于是这次教学中我放慢了烙1张饼和2张饼的教学环节，并加强烙1张饼、2张饼不同方案的对比。通过比较，学生获得了“一次烙一张不省时，一次烙两张省时”的认识，这就为学生探索、理解烙3张饼最优方案提供了认识上的支撑，烙1张饼、2张饼不仅是方法上的准备，更是思想认识的基础。有了这些认识，烙3张饼的最优方案才有探究成功的可能。接着，通过对烙3张饼中两种不同的方法的对比（12分钟和9分钟对比），进一步理解烙饼问题中省时的关键------- “让锅里始终都烙两张饼”。让学生理解了在一次能烙两张饼的问题中，要想最节省时间就不能剩下一张饼来烙，而要让锅里每次都烙两张饼。因为有了对烙饼问题中省时关键的理解，学生在交流4张饼的最优方案时自然得出烙双数张饼的最省时方案；进一步通过对5张饼、7张饼、9张饼的讨论，学生明白了烙单数张饼的最省时方案，这也是真正懂得了烙饼问题的最优方案。
3、教学重难点的突破：解决烙饼问题的重点就是研究烙3张饼的最优方案。难点是“在一次只能烙两张饼的前提下，理解烙不同张数饼的最优方案的关键------让锅里始终都有两个面”。为突破难点，教学中我有意安排了两次比较：第一次就是在烙1张饼、2张饼的最优方案的探讨结束之后，学生明白了“一次烙两张，省时”的道理后，追问“为什么一张一张的烙不好？”，第二个就是在学生得出了烙3张饼的最优方案之后，教师又追问“有没有可能找到比9分钟更少的时间了？”。两个问题，两次思考，配以课件的直观感受，学生真切的感受到因为“锅里每次都是满的”，这不仅使学生明白了“怎样烙饼最省时”的道理，更理解了“为什么这样烙最省时”，学生知其然，也知其所以然。
研究的前后，我对“非常规问题”的理解改变了；磨课的过程，自己的教学水平提升了；研讨的平台，个人的教学素养得到展示了。这种种的过程，最终受益的还是我和我的学生。