直线的参数方程教学设计（全国）.doc

《直线的参数方程》教学设计
一、 教学内容分析
1. 课时安排
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4坐标系与参数方程》第二讲第三节。在本节课的教学实施过程中，我将其分为两个课时，第一课时是直线参数方程的建立、认识及在解决实际问题中的应用；第二课时为直线参数方程在解决直线与圆锥曲线的位置关系中的应用：包括推导弦长公式及弦中点参数公式等。
2.上下位知识及本课价值
直线的参数方程是在学生学完直线的普通方程，参数方程的定义及圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的参数方程，并且掌握了求曲线参数方程的一般步骤与方法之后才进行学习的，这构成了本节课的上位知识。同时直线参数方程也肩负着完善学生们的知识体系的价值和作用，因为高中阶段解析几何中所涉及的曲线只包括直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线，学生们学完其它曲线的参数方程之后，必定会想到去研究直线的参数方程。另外直线的参数方程提供了解决直线与圆锥曲线相交问题的另一解法：设直线的参数方程，代入圆锥曲线方程，根据韦达定理得到的关系，进而再将条件中所涉及的距离或与中点有关的问题用参数进行转化，再由韦达定理所得关系解决问题。直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何中很重要的问题，不管是对于数学本身还是高考，用参数方程的好处是设点只设一个参数，并且表示某些距离与中点也较普通方程之下的表示简单。而要用参数方程解决问题的前提是学生能够对于直线的参数方程的标准形式及参数的几何意义有准确、深刻的理解，这样直线参数方程的推导及对直线参数方程的认识就显得尤为重要。另外对于直线参数方程的认识中能够让学生体会到如何认识一个数学对象，如果学法指导的好，能够让学生认识到磨刀不误砍柴功，在得出一个数学结论后应重视去分析其结构形式，而非功利化的只重视应用。
2. 教材中建立参数方程的方法
教材以向量为工具建立了直线参的数方程，在选择参数t的过程中，想通过让学生探讨如何将直线上任意一点M的坐标（x，y）与已知量：点M0的坐标（x0，y0）和倾斜角建立联系入手，然后想让学生想到倾斜角可与方向联系，点M与M0可以用距离或有向线段数量的大小联系，进而利用向量工具（向量的坐标表示）建立直线的参数方程。这样处理的优点是能让学生体会到向量的工具性，但在具体教学工程中我发现以下几个问题：
（1）学生对向量知识的遗忘不足以使其想到用向量，且无使用单位方向向量表示直线上向量的经验
（2）引导学生探讨直线上任意一点M的坐标（x，y）与已知量：点M0的坐标（x0，y0）和倾斜角的关系难度比较大；
（3）学生在根据向量关系式得出参数几何意义时发生了困难
（4）建立直线参数方程的方法与圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程求解方法不能统一，求解前面几条曲线的参数方程时有两种方法：动点轨迹法和三角代换法（抛物线除外），其中动点轨迹法应该是深入学生内心的，但在直线参数方程及建立过程中并未用到这两种方法，这会让学生感觉到探求参数方程的方法多而不容易把握 。
4.我的处理方法及看法
基于以上几点，特提出我的处理意见：将直线看作点做匀速直线运动的轨迹，给曲线赋予物理意义，然后得出直线的参数方程，进而根据其物理意义探究其几何意义。这样处理的好处有以下几点：⑴形成对数学更高层次的认识，加深数学来源于生活而高于生活的体会，并体会出物理，代数，几何三者的融合，体会到三者之间的紧密联系；而由物理学知识来认识数学在数学选修2－1导数、定积分的学习中学生已经有所经历，对学生而言，这种经历对他学习直线的参数方程是很有帮助的；⑵在逐渐完善直线参数方程的过程中体会数学所追求的简洁与统一，并体会出认识事物的简单化原则；⑶在求直线参数方程的过程中，体会到直线参数方程的不唯一性；⑷学生能够更好地理解参数t的几何意义，参数t的物理意义时间得出其几何意义距离是比较容易想到的。
二、 教学目标设置
知识与技能目标：记忆并识别直线的参数方程，知道直线的参数方程不唯一，并能将非标准形式化为标准形式；会求直线的参数方程；能够说出参数的几何意义，并会利用参数的几何意义求直线上点到定点的距离
过程与方法目标：经历直线参数方程的建立与完善的过程，以及对参数方程标准形式认识的过程，从中体会数学研究的简单化原则，体会数学与物理，形与数的相互联系，并培养学生理性的思维品质。
情感态度与价值观目标：通过及时客观的评价，让学生整堂课处于一个收获的状态，让学生产生学有所获的自豪感，进而增强其学习数学的兴趣与信心
教学重点：直线参数方程的建立、直线参数方程标准形式的识别及应用
教学难点：参数方程中参数几何意义的理解，直线参数方程标准形式的认识
三、 学生学情分析
高三学生知识体系初步形成，知道要完善知识体系，所以对研究直线的参数方程有迫切的需要。有一定的探究能力和操作能力，对匀速直线运动比较熟悉，能够在老师策略性和方法性的指导下自己动手写出直线的参数方程，知道应该探讨参数的取值范围及参数的意义，但对物理背景与数学符号还有几何意义的综合认识还达不到认知水平。有从运动轨迹入手探讨曲线参数方程的经验，但是能否用此经验解决问题需要教师引导。对于参数方程的应用有一定的了解，知道学完参数方程后从能力上应该会求参数方程，知道参数方程在求最值问题中的应用，会将参数方程化作普通方程，并由普通方程得出直线的倾斜角及斜率，但可能由于三角函数问题的关系会将角求错。对直线参数方程的标准形式的形式认识上可能不够，应指导学生从哪些方面去认识。学生有一定的思辨能力，但是对于标准形式与非标准形式的区别上可能会出问题。其次再根据参数几何意义求距离时，可能不会区分动点是不是在直线上，距离是不是参数方程中定点到直线上定点的距离
四、 教学策略分析
1. 从运动的观点出发探究直线的参数方程，使得探究过程更加自然
2. 由参数的物理背景出发探讨出参数的几何意义，可以突破其几何意义理解上的难点
3. 选取一些典型例子使得学生加深对参数方程标准形式的认识，并体会出非标准型化为标准型的必要性，且学会将非标准型化为标准型
4. 运用变式教学加深学生利用几何意义求距离的理解
5. 采用问题引学、评价诱学，自主探究、合作探究、共同展示等方式和手段提高学生学习的积极性，增强自信心
五、 教学过程
1、回顾旧知,导入新课
问题1：前面已经研究了哪些曲线的参数方程？是怎样探究的？接下里你还想探讨什么样的曲线？
问题2：我们该如何探讨直线的参数方程呢，用三角代换法还是动点轨迹法？
问题3：直线可看作是质点做什么样的运动的运动轨迹？
问题4：你想将直线看成点的哪种运动形式的轨迹？
【设计意图】：第一二两个问题的提出与回答可让学生得出探究直线参数方程的方法，及探究内容（参数方程及应用），为学生建立直线的参数方程做好准备。每个问题后都留有停顿，让学生思考，前两个问题采用集体回答，第三个问题，由学生思考，叫学生谈自己的想法，因为运动轨迹为直线的运动方式不仅是匀速直线运动，还可以为匀变速直线运动，非匀变速直线运动等，从而体会出匀速直线运动去探讨直线参数方程比较简单，在过程中既体会到数学知识的物理背景具有多样性，也让学生体会到数学研究的一般性原则：简单化原则。问题四学生应该可以集体回答出来。
2．探究展示，建构知识
问题5：（PPT显示）现将直线放入平面直角坐标系，已知其上一定点及其倾斜角，假设一动点从定点出发沿直线以速度V（自设数值，速度方向沿直线向上为正，向下为负）做匀速直线运动，试求直线的参数方程
【设计意图】：让学生自设数值，体现学生探究的自主性，让学生自己作为学习的主人，可以加深学生对知识的理解。相信很多同学会选择速度为1，也有同学会选择其他的速度，也有同学会选择负速度，老师在学生求解的过程中观察指导，选取有代表性的同学上黑板将其所写参数方程进行展示，并且提示学生注明参数的范围，此时由于参数的物理意义，学生们会注明，对建立曲线的参数方程也起到了巩固作用。在此过程中也让学生体会到了物理与数学的联系。
问题6：这些同学所求出来的参数方程不一样，说明了什么？
问题7：既然这么多参数方程都能表示直线（这里有点不严谨，但暂时只能这么说），那么选取最简单的作为我们公认的参数方程，来研究直线，大家来做选择
【设计意图】：通过展示与问题让学生体会到参数方程的不唯一性，体会到事物的多样性，体会到直线参数方程的标准形式的必要性，同时还可训练其对数学问题的分析与表达能力，培养其数学素养。所得结果应该是：（板书）
问题8：同学们求出来的是整条直线的参数方程吗？
【设计意图】：通过问题引起思考，从曲线的参数方程的定义进行判断得出此参数方程只是直线上的一条射线的参数方程，为了节省时间，师生共同以速度为-1来探究另一半直线的参数
方程，得出结果：（板书），在此过程中培养学生严谨的思维品质，理性的科学精神。
问题9：一条直线的两部分参数方程不一样，能否通过一定的处理使其统一成一种形式呢？
【设计意图】：利用问题引起认知冲突，由学生讨论得出结果，只需改变t的范围限制即可，在此过程中也让学生认识到了参数符号的几何意义，得出了参数的范围，并且对统一形式的必要性和好处有了更深刻的认识，促进思维的深刻性，培养学生的抽象概括能力，分解与整合的能力。所得直线的参数方程为：（板书）
问题10：（PPT显示）.参数的几何意义是什么？试从参数的符号和数值两个方面来说明参数的几何意义
【设计意图】：参数符号的几何意义，学生应该马上能够反应出来，而参数的数值的几何意义，应从其物理意义和符号的几何意义来加以引导，有时间t，速度1应该能够很自然的想到其几何意义为动点M到定点M0的距离，进一步体会物理与数学的联系，以及数学的抽象性。
3、理性认识、思辨解疑
问题11：要求出直线的参数方程，你需要知道哪些量呢？
【设计意图】：让学生认识到要求直线的参数方程只需要知道直线上的一个定点和直线的倾斜角即可，并且让学生认识到这与求直线的普通方程所需要素一样，加深两点确定一条直线的印象。将新知识纳入就知识体系之中。
练习1：(PPT演示)求直线y=x+1的一个参数方程
【设计意图】：（1）让学生学会求直线的参数方程，
（2）进一步认识直线参数方程的不唯一性。由于选点的不同，学生们求出的参数方程会不一样，
（3）通过纠错指出x的表达式中t的系数为，y的表达式中t的系数为sin
问题12：（ppt显示、学生合作探究）参数方程能否表示直线y=x+1？此参数方程与我们在练习1中所求出的参数方程的主要不同点在什么地方？根据所得直线的参数方程中t的系数一定为正吗？你认为中t的系数应满足什么条件？
设计意图：（1）进一步练习参数方程与普通方程的互化，这也是高考考查的重点
（2）通过比较让学生认识到中对t的系数的要求，从而得到其系数特征：x的表达式中t的系数，y的表达式中t的系数
（3）将命名为直线参数方程的标准形式，并板书出其特征
（4）在合作探究过程中培养学生的分析能力及数学表达能力，合作探究的能力，真正达到培养能力的目的，实现难点的化解与突破。
练习2：的直线的倾斜角为 ，参数t=1所对应点到（0，1）点的距离为 ，到（1，1）点的距离为 。
【设计意图】：（1）进一步加深对直线参数方程标准形式的认识
（2）初步意识到利用参数的几何意义可求解两点间的距离，但必须是到参数方程中定点的距离，加深参数几何意义的理解
（3）认识到求两点间的距离有两种方法：普通方程之下用两点间的距离公式，参数方程之下用参数的几何意义，但必须是已知参数的点到参数方程中的定点的距离
（4）先将问题抛给学生，让学生尝试解决问题，并通过叙述解题过程让其暴露思维过程中的问题，再通过师生共同纠错，加深对数学本质的理解。
4、知识应用，加深印象
例题.当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h的速度向西偏北方向移动。已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风的侵袭？
【设计意图】：（1）是前面建立直线参数方程的过程的一次检验
（2）让学生体会到参数方程的实际应用性及利用参数方程解决问题的便捷性
（3）让学生体会到本节课知识的来龙去脉，来源与物理，又应用于物理
5、归纳小结、巩固新知
请回顾本节课过程，谈谈你对本节课研究内容，研究方法及所涉及的数学思想的感受。如果你有什么问题，或者产生了什么样的新想法，提出了什么新问题，请现在作业本上。
【设计意图】：通过课堂小结，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．养成良好学习习惯，增强学生学习的自信心并逐步培养学生提出问题的能力，逐渐的由学数学到研究数学再到感悟数学。
6、布置作业、课后自评（印发给学生）
1.若直线的参数方程为，试将其化为标准形式

4.若将直线放入平面直角坐标系，已知其上一定点及其倾斜角，假设一动点从定点出发沿直线以初速度，加速度a做匀变速直线运动，试求直线的参数方程
5.阅读教材中对于直线参数方程的推导过程，体会向量的工具性
6.总结本节课的学习心得体会，总结自己在做作业过程中所出现的问题
【设计意图】：作业的设置应体现本节课的基本知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验。这样才能达到练习与反馈的目的，并且通过阅读教材中建立直线方程的过程，体会向量的工具性，并且对遗忘的向量问题做以复习。然后通过让学生写心得体会，让学生再次总结本节课的知识内容、思想方法、探究思路等，提过数学表达能力及数学领悟能力。通过总结自己遗留的问题进一步对自己的学习有一个自我反馈和对师反馈，达到及时纠正、及时解决问题的目的。
六、我的设计说明
1、本质、地位、作用分析：
《新课程标准》要求：参数方程的教学应该让学生体会到参数方程的好处及参数的直观意义，学会参数方程和普通方程的转化。
参数方程是曲线的另一种方程形式，与普通方程相比，其可将曲线中x与y的关系间接的表达出来，特别是在我们无法建立x与y的直接关系时尤为重要，从这个角度上来说，参数方程比普通方程更具广泛的应用价值，在高等数学里有很多用参数方程表示的曲线。另外参数方程中的两个变量最终用一个变量来表示，这本身就蕴含着消元的思想，为我们设动点的坐标提供了更方便的设法。另外一个方面我们一直在说点动成线，而在普通方程里是看不清点动的根本原因的，在参数方程之下能够更清楚的看出动点运动的原因，动点参谁而动。另外本节课是新课程下的概念课，属于概念性知识，对于概念性知识有其学习的方法与门道，需要我们理性的建立并完善概念知识，并学会概念知识的应用，在教学过程中应让概念教学富有数学味，在此基础上通过观察、比较，提炼概括出本质属性，让概念的发现过程是一个探究之旅。
2、教学目标分析：
张奠宙教授曾经提出：数学教学的目标之一是要把数学知识的学术形态转化为教育形态，通过数学知识的教育形态散发出数学的巨大魅力，体现数学的价值，揭示数学的本质，感染学生，激励学生，让数学“冰冷的美丽”唤发学生“火热的思考”
根据《数学课程标准》中关于“直线的参数方程”的相关教学要求，结合教材特点和学生的实际情况，从而确定了“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的三维教学目标．
知识与技能目标：记忆并识别直线的参数方程，知道直线的参数方程不唯一，并能将非标准形式化为标准形式；会求直线的参数方程；能够说出参数的几何意义，并会利用参数的几何意义求直线上点到定点的距离
过程与方法目标：经历直线参数方程的建立与完善的过程，以及对参数方程标准形式认识的过程，从中体会数学研究的简单化原则，体会数学与物理，形与数的相互联系，并培养学生理性的思维品质。
情感态度与价值观目标：通过及时客观的评价，让学生整堂课处于一个收获的状态，让学生产生学有所获的自豪感，进而增强其学习数学的兴趣与信心
教学重点：直线参数方程的建立、直线参数方程标准形式的识别及应用
教学难点：参数方程中参数几何意义的理解，直线参数方程标准形式的认识
3、教学过程的设计
根据教学内容，结合学生的具体情况，我采用了学生自主探究和教师启发引导相结合的教学方式．在整个的教学过程中注重以教师为主导，学生为主体的教学模式，将目标问题化，问题设疑化，疑问探究化，将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，尽可能地让学生动手、动脑，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念
对于教材中建立直线参数的方法进行了反思，然后提出从运动的观点出发，将直线看成直线上一点做匀速直线运动的轨迹，然后根据匀速直线运动的位移公式写出直线的参数方程，然后一步步完善得到直线参数方程的标准形式。并从参数的物理意义出发探究得出参数的几何意义，然后通过将非标准形式与标准形式相对比总结得出标准形式的特征。在此过程中通过两个练习让学生学会求直线的参数方程，并学会将直线参数方程的非标准形式转化为标准形式，进而对参数方程的几何意义进行简单的应用，从而让学生体会用直线参数方程求直线上点到参数方程中的定点的距离的便捷性，体会新知识在数学内部的用途。再通过例1，利用所学新知识解决实际问题，使学生体会到数学与物理的联系，进一步体会新知识在研究实际问题中的应用。通过课堂总结与课后作业让学生养成总结反思，提出新问题，解决遗留问题的习惯，最终达到新知识的深刻理解、深度掌握和熟练运用。
从本节课预期教学效果来看，学生的学习兴致会很高，其思维是积极的，行动应该是迅速的，心情应该是愉悦的，整个课堂气氛应该是紧张而愉快的，应该能达到预期目标。

第六届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动
参评教师报名表

姓 名
曹志栋 
性 别
 男
（贴照片处）
出生年月
1986年8月 
教 龄
 5年
工作单位
甘肃省兰州市五十八中 
通讯地址
兰州市西固区兰炼一中 
邮 编
730060 
E-mail
Guidewolf825@ 
移动电话
 13919335009
本
人
简
历

2003~2007年西北师范大学数信学院数学与应用数学专业完成本科学习
2007～至今甘肃省兰州市五十八中从事高中数学教学工作
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