基本不等式教案.doc

3．4 基本不等式 张超

第一课时 基本不等式（一）
一、教学目标
(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释
(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质
二、教学重点、难点
教学重点：两个不等式的证明和区别
教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵
三、教学过程
提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
（，）
提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （ ）
提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？
（当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点）
1、一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？
证明:
所以
注意强调 （1） 当且仅当时,
(2)特别地,如果 用和代替、，可得,
也可写成
提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式的几何解释吗？

练习、已知：求证：

例3、若，，，
比较的大小[来源:Zxxk.Com]
例4、当时，求函数的值域。
例5、若实数满足求的最小值
练习：教材P100面练习1题、2题。
四：课堂小结：
比较两个重要不等式的联系和区别

第二课时 基本不等式（二）
一、教学目标
（1）知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题
（2）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。
二、教学重点、教学难点
教学重点：正确运用基本不等式
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
三、教学流程
（一）复习引入
1．基本不等式：如果
如果a,b是正数，那么
前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数
2．我们称的算术平均数，称的几何平均数.
成立的条件是不同的：
练习

小结：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，
且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，
则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.
（二）举例分析
例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的
篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
解：分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（1）设矩形菜园的长为 m,　　宽为 m,则　　　篱笆的长为2（）m
由 ，可得 2（）
等号当且仅当，
因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（）=36，=18，矩形菜园的面积为，
由 可得 ,
可得等号当且仅当
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81
例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800深为3 m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？
分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。
解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.

练习3：已知△ABC中，∠ABC=900，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的
最大值是
（四）课堂小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。
在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：
(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

第三课时 基本不等式（三）
（一）教学目标
（1）知识与技能目标
1.熟练使用a2+b2³2ab和.
2.会应用此定理求某些函数的最值；[来源:学科网ZXXK]
3.能够解决一些简单的实际问题.
（2）过程与能力目标
了解运用的条件，熟练运用不等式中1的变换.
（二）教学重点：在运用中要注意“一正”、“二定”、“三相等”.
教学难点：的运用.[来源:学科网ZXXK]
（三）教学流程
（1）复习：基本不等式
（2）举例分析

变形3： a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和此时a、b的值[来源:Zxxk.Com]

例2． a,b都是正数且2a+b=2,求a(1+b)的最值和此时a、b的值

。

证法1：直接用公式

证法2：对1进行变换

练 习

：
课堂小结

[来源:学,科,网]