周公度结构化学课件_第一章量子力学基础知识.pdf

2010-11-191第一章量子力学基础知识第一章量子力学基础知识?微观粒子的运动特征微观粒子的运动特征?量子力学的基本假设量子力学的基本假设?一维势箱中粒子的薛定谔方程及其解一维势箱中粒子的薛定谔方程及其解2010-11-1921.1 微观粒子的运动特征rrprr.1687年，年，Newton的自然哲学的数学原理在伦敦出版。在以后的年代里的自然哲学的数学原理在伦敦出版。在以后的年代里,Lagrange创立分析力学创立分析力学;Ampere、Weber、Maxwell等人创立电动力学等人创立电动力学;Boltzmann、Gibbs等人创立统计力学等人创立统计力学.到到19世纪末，经典物理学大厦基本建成，它在一系列问题上取得了令人目眩的辉煌成就世纪末，经典物理学大厦基本建成，它在一系列问题上取得了令人目眩的辉煌成就.但它对几个问题始终不能给予解释但它对几个问题始终不能给予解释,其中之一就是著名的黑体辐射问题其中之一就是著名的黑体辐射问题.此外还有光电效应、光的波粒二象性等问题此外还有光电效应、光的波粒二象性等问题.2010-11-1931.1.11.1.1黑体辐射与能量量子化黑体辐射与能量量子化黑体辐射能量密度与波长的关系是19世纪末物理学家关心的重要问题之一.经典物理学在此遭遇严重困难：维恩公式黑体辐射能量密度与波长的关系是19世纪末物理学家关心的重要问题之一.经典物理学在此遭遇严重困难：维恩公式只适用于只适用于短波部分短波部分;由能量均分定理导出的瑞利-金斯公式;由能量均分定理导出的瑞利-金斯公式则只适用于则只适用于长波部分长波部分,它在短波部分引出了“紫外灾变”，即波长变短时辐射的能量密度趋于无穷大,而不象实验结果那样趋于零.,它在短波部分引出了“紫外灾变”，即波长变短时辐射的能量密度趋于无穷大,而不象实验结果那样趋于零.2010-11-194实验曲线实验曲线Wien（维恩）曲线（维恩）曲线能量能量波长波长Rayleigh-Jeans（瑞利金斯）曲线（瑞利金斯）曲线黑体辐射能量分布曲线黑体辐射能量分布曲线2010-11-1951900年年,Max Planck给出一个能够成功描述整个实验曲线的公式给出一个能够成功描述整个实验曲线的公式.但他不得不为此引入一个但他不得不为此引入一个“离经叛道离经叛道”的假设的假设:黑体吸收或发射辐射的能量必须是不连续的，即量子化的黑体吸收或发射辐射的能量必须是不连续的，即量子化的.辐射能量的最小单元为辐射能量的最小单元为h.是振子的频率，是振子的频率，h就是著名的就是著名的Planck常数，其最新数值为常数，其最新数值为6.62610-34 J.s.这一重要事件后来被认为是量子革命的开端这一重要事件后来被认为是量子革命的开端.Planck为此获为此获1918年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖.M.Planck2010-11-196经典物理无法解释的另一个现象来自经典物理无法解释的另一个现象来自 H.R.赫兹赫兹1887年的著名实验年的著名实验.这一实验极为有趣和重要这一实验极为有趣和重要,因为它既证实了因为它既证实了Maxwell的电磁波理论的电磁波理论该理论认为光也是电磁波该理论认为光也是电磁波,又发现了光电效应又发现了光电效应(photoelectric effect),后来导致了光的粒子学说后来导致了光的粒子学说.1.1.2光电效应与光的波粒二象性光电效应与光的波粒二象性2010-11-1971898年，年，P.勒纳特确认放电粒子为电子勒纳特确认放电粒子为电子,并于并于1902年指出年指出:入射光线的频率低于一定值就不会放出光电子;光电子的动能与光强度无关而与光的频率成正比.入射光线的频率低于一定值就不会放出光电子;光电子的动能与光强度无关而与光的频率成正比.光电子的动能显然来自光能光电子的动能显然来自光能.按照经典波动理论按照经典波动理论,光能取决于光强度即振幅平方光能取决于光强度即振幅平方,与频率无关与频率无关.显然显然,经典波动理论完全不能解释光电效应的实验事实经典波动理论完全不能解释光电效应的实验事实.光频率光频率光电子动能光电子动能mv2/2斜率为斜率为h纵截距为纵截距为-2010-11-1991905年年,Einstein提出光量子提出光量子(光子光子)概念概念,解释了光电效应解释了光电效应.根据光子学说根据光子学说,光是一束光子流光是一束光子流.每一个光子携带的能量每一个光子携带的能量 E 与光的频率与光的频率成正比成正比,而与光强度无关而与光强度无关.光子流的密度才与光强度成正比光子流的密度才与光强度成正比.光子能量光子能量:E=h光子动量光子动量:p=h/光电效应方程光电效应方程:mv2/2=h-(为入射光的波长为入射光的波长,为金属的功函数为金属的功函数,m和和v为为光电子的质量和速度光电子的质量和速度)2010-11-19101.1.3.实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性?只有把光看成是由光子组成的光束，才能理解光电效应；而只有把光看成波，才能解释衍射和干涉现象。即光表现出只有把光看成是由光子组成的光束，才能理解光电效应；而只有把光看成波，才能解释衍射和干涉现象。即光表现出波粒二象性波粒二象性。?波动模型是连续的，光子模型是量子化的，波和粒表面上看是互不相容的，却通过波动模型是连续的，光子模型是量子化的，波和粒表面上看是互不相容的，却通过Planck常数，将代表波性的概念和与代表粒性的概念和p联系在了一起，将光的波粒二象性统一起来：常数，将代表波性的概念和与代表粒性的概念和p联系在了一起，将光的波粒二象性统一起来：=h，ph/=h，ph/2010-11-1911?实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性L.V.de Broglie（德布罗意）认为辐射的波粒二象性（德布罗意）认为辐射的波粒二象性(wave-particle duality)同样适用于物质同样适用于物质.波以某种方式伴随电子和其他粒子波以某种方式伴随电子和其他粒子,正如波伴随着光子一样正如波伴随着光子一样.这就是说这就是说,一度被视为波的光已被证明也有粒子性一度被视为波的光已被证明也有粒子性,现在需要现在需要“反过来反过来”把一直认为是实物粒子的电子等物质把一直认为是实物粒子的电子等物质,也看作是波也看作是波.de Broglie关系式为关系式为:=E/h =h/p2010-11-1912PEhP=22PEm=hE=uPEPh=Eh=cPcE=自由的实物粒子光 子自由的实物粒子光 子?光子与实物粒子的主要差别：光子与实物粒子的主要差别：2010-11-1913?de Broglie波与光波不同：光波的传播速度和光子的运动速度相等；波与光波不同：光波的传播速度和光子的运动速度相等；de Broglie波的传播速度（波的传播速度（u）只有实物粒子运动速度的一半：只有实物粒子运动速度的一半：v=2u。对于实物微粒：。对于实物微粒：u=，E=p2/(2m)=(1/2)mv2,对于光：对于光：c=，E=pc=mc2?微观粒子运动速度快，自身尺度小，其波性微观粒子运动速度快，自身尺度小，其波性不能忽略；不能忽略；?宏观粒子运动速度慢，自身尺度大，其波性宏观粒子运动速度慢，自身尺度大，其波性可以忽略可以忽略：2010-11-1914?1927年，年，Davisson(戴维孙戴维孙)和和Germer（革末）用镍单晶电子衍射、（革末）用镍单晶电子衍射、Thomson（汤姆孙）用多晶金属箔电子衍射，分别得到了与（汤姆孙）用多晶金属箔电子衍射，分别得到了与X-射线衍射相同的斑点和同心圆，证实电子确有波性。后来证实：中子、质子、原子等实物微粒都有波性。射线衍射相同的斑点和同心圆，证实电子确有波性。后来证实：中子、质子、原子等实物微粒都有波性。2010-11-1915金晶体的电子衍射图金晶体的电子衍射图(Debye-Scherrer图)(Debye-Scherrer图)氧化锆晶体的X射线衍射图(Debye-Scherrer图)氧化锆晶体的X射线衍射图(Debye-Scherrer图)2010-11-1916被电压为被电压为U的电场加速的电子束,若取的电场加速的电子束,若取U的单位为的单位为V，可以算出，可以算出de Broglie波长为:波长为:=h/mv=h(2meU)-1/2=1226/(U1/2)pm试双击下列电子表格,打开后将加速电压填入下列蓝色数字单元格，看看电子的试双击下列电子表格,打开后将加速电压填入下列蓝色数字单元格，看看电子的de Broglie波长是多少：波长是多少：请在后面输入加速电压请在后面输入加速电压:100100 Vde Broglie波长等于波长等于122.6122.6 pm2010-11-1917de Broglie波不仅对建立量子力学和原子、分子结构理论有重要意义，而且在技术上有重要应用.波不仅对建立量子力学和原子、分子结构理论有重要意义，而且在技术上有重要应用.使用使用de Broglie波的电子显微镜分辨率达到光学显微镜的千倍,为我们打开了微观世界的大门.波的电子显微镜分辨率达到光学显微镜的千倍,为我们打开了微观世界的大门.2010-11-1918实物微粒波的物理意义实物微粒波的物理意义Born的统计解释Born的统计解释?Born认为，实物微粒波是Born认为，实物微粒波是几率波几率波：在空间任一点上，波的强度和粒子出现的几率成正比。：在空间任一点上，波的强度和粒子出现的几率成正比。?用较强的电子流可在短时间内得到电子衍射照片；但用很弱的电子流，让电子先后一个一个地到达底片，只要时间足够长，也能得到同样的电子衍射照片。用较强的电子流可在短时间内得到电子衍射照片；但用很弱的电子流，让电子先后一个一个地到达底片，只要时间足够长，也能得到同样的电子衍射照片。电子衍射不是电子间相互作用的结果，而是电子本身运动所固有的规律性。电子衍射不是电子间相互作用的结果，而是电子本身运动所固有的规律性。?实物微粒的波性是和微粒行为的统计性联系在一起的，没有象机械波（介质质点的振动）那样直接的物理意义，实物微粒波的强度反映粒子出现几率的大小。实物微粒的波性是和微粒行为的统计性联系在一起的，没有象机械波（介质质点的振动）那样直接的物理意义，实物微粒波的强度反映粒子出现几率的大小。2010-11-1919?对实物微粒粒性的理解也要区别于服从对实物微粒粒性的理解也要区别于服从Newton力学的粒子，实物微粒的运动没有可预测的轨迹。力学的粒子，实物微粒的运动没有可预测的轨迹。?一个粒子不能形成一个波，但从大量粒子的衍射图像可揭示出粒子运动的波性和这种波的统计性。原子和分子中电子的运动可用一个粒子不能形成一个波，但从大量粒子的衍射图像可揭示出粒子运动的波性和这种波的统计性。原子和分子中电子的运动可用波函数波函数描述，而电子出现的几率密度可用描述，而电子出现的几率密度可用电子云电子云描述。描述。?要正确理解实物粒子的波粒二象性，必须摆脱波和粒子的经典概念的束缚，用量子力学的概念来理解。要正确理解实物粒子的波粒二象性，必须摆脱波和粒子的经典概念的束缚，用量子力学的概念来理解。19251927年测不准原理和薛定谔方程的提出，标志着量子力学的诞生。年测不准原理和薛定谔方程的提出，标志着量子力学的诞生。2010-11-1920?测不准原理：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动量。测不准原理：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动量。?测不准原理是由微观粒子本身特性决定的物理量间相互关系的原理。反映的是物质的波性，并非仪器精度不够。测不准原理是由微观粒子本身特性决定的物理量间相互关系的原理。反映的是物质的波性，并非仪器精度不够。测不准原理测不准原理2010-11-1921狭缝到底片的距离比狭缝的宽度大得多狭缝到底片的距离比狭缝的宽度大得多,当当CPAP时时,PAC,PCA,ACO均接近均接近90,sin=OC/AO=/2/D/2=/DD越小越小(坐标确定得越准确坐标确定得越准确)，越大，电子经狭缝后运动方向分散得越厉害，越大，电子经狭缝后运动方向分散得越厉害(动量的不确定程度越大动量的不确定程度越大).落到落到P点的电子，在狭缝处其点的电子，在狭缝处其px=psin，即，即 px pxpsinp/D=h/D，而，而 xD所以所以 x pxh，考虑二级以上衍射，考虑二级以上衍射，x.pxhOACPpsin电子单缝衍射实验示意图yeDOxPQAC测不准关系式的导出：测不准关系式的导出：OPAPOC/22010-11-1922343161106.6262109.11 101.0107.2735107hhJ sPmvKgm smA=?例例1.计算实物粒子的波长。如以计算实物粒子的波长。如以1.0 106ms-1的速度运动的电子，其德布罗意波的波长为：这个波长相当于分子大小的数量级，与的速度运动的电子，其德布罗意波的波长为：这个波长相当于分子大小的数量级，与X射线的波长差不多，故波动性显著。射线的波长差不多，故波动性显著。2010-11-1923341336.6262100.11.06.626210hhJsPm vK gmsm=例2.计算宏观粒子的波长。若一块石头的质量为例2.计算宏观粒子的波长。若一块石头的质量为0.1Kg，飞行速度为，飞行速度为1.0ms-1，其德布罗意波的波长为：其数值非常小，观察不到波动性（可以认为不表现波动性），其粒子性是主要的，故用经典力学处理宏观物体的运动状态是恰当的。，其德布罗意波的波长为：其数值非常小，观察不到波动性（可以认为不表现波动性），其粒子性是主要的，故用经典力学处理宏观物体的运动状态是恰当的。2010-11-1924?对于实物粒子来说，在其粒子性中渗透着波动性，这一波动性能否被观察到与这个粒子的德布罗意波波长（）及粒子的相对大小（对于实物粒子来说，在其粒子性中渗透着波动性，这一波动性能否被观察到与这个粒子的德布罗意波波长（）及粒子的相对大小（d）有关。）有关。若 若 d，则波动性显著，波动性可以被观察到；若，则波动性显著，波动性可以被观察到；若 d，波动性基本没有，波动性不能被观察到。，波动性基本没有，波动性不能被观察到。2010-11-1925212EqVm v=解：由电子的电量解：由电子的电量q得：例3得：例3.计算电子在电势差为计算电子在电势差为V的电场中运动，其德布罗意波的波长的电场中运动，其德布罗意波的波长343119926.6262 10129.11 10kg 1.602 1011.226 1012.26hhhPmvmqVJ sVcVAVm=?2010-11-1926v100V=101.226 101.226mA=?若：则：此值相当于若：则：此值相当于X射线的波长射线的波长2010-11-1927?判断哪些物体的运动规律可用经典力学处理，哪些则必须用量子力学处理，测不准关系提供了定量的标准。判断哪些物体的运动规律可用经典力学处理，哪些则必须用量子力学处理，测不准关系提供了定量的标准。用测不准关系检验经典力学适用的限度，一般分以下三步：用测不准关系检验经典力学适用的限度，一般分以下三步：?确定一个恰当的不确定量；确定一个恰当的不确定量；?利用测不准关系求出另一个不确定量；利用测不准关系求出另一个不确定量；?将结果与相应的宏观量比较，若结果远小于宏观量，则可用经典力学处理；若结果相当于或大于宏观量，则需用量子力学处理。将结果与相应的宏观量比较，若结果远小于宏观量，则可用经典力学处理；若结果相当于或大于宏观量，则需用量子力学处理。?测不准关系不是限制人们的认识水平，而是限制经典力学的适用范围，是波粒二象性的客观反映。测不准关系不是限制人们的认识水平，而是限制经典力学的适用范围，是波粒二象性的客观反映。2010-11-1928例例4.在一云雾室中运动的粒子在一云雾室中运动的粒子(He的原子核的原子核),m=6.84 10-27Kg，其运动速度，其运动速度v=104m s-1，室径，室径x=10-2m，此时可观测到它的运动轨迹，这是由于下列何种原因：，此时可观测到它的运动轨迹，这是由于下列何种原因：A:粒子不是微观粒子；粒子不是微观粒子；B:测量的仪器相当精密；测量的仪器相当精密；C:粒子的运动速度可测；粒子的运动速度可测；D:云雾室的运动空间较大。解：云雾室的运动空间较大。解：A的说法明显是错误的。能否检验微观粒子的运动轨迹，仪器精密与否是一方面，粒子所处的运动条件是更重要的。因此的说法明显是错误的。能否检验微观粒子的运动轨迹，仪器精密与否是一方面，粒子所处的运动条件是更重要的。因此B是错误的。用速度可测说明坐标可测，正好违反了测不准关系。因此是错误的。用速度可测说明坐标可测，正好违反了测不准关系。因此C是错误的。此题是用测不准关系检验经典力学的适用范围，分三步来做：是错误的。此题是用测不准关系检验经典力学的适用范围，分三步来做：2010-11-192934512726.6262 10106.84 1010hJ svm sm xkgm=1.因为宏观仪器（如质谱仪、阴极管、加速器、云雾室等）中粒子运动空间都属厘米级，即坐标不确定量最大为因为宏观仪器（如质谱仪、阴极管、加速器、云雾室等）中粒子运动空间都属厘米级，即坐标不确定量最大为10-2m，故令，故令x=10-2m，2.利用测不准关系，求另一不确定量：利用测不准关系，求另一不确定量：3.与已知宏观量比较，与已知宏观量比较，vv=104m s-1，故可用经典力学处理，也即可观测到运动轨迹。，故可用经典力学处理，也即可观测到运动轨迹。若粒子运动再慢些或再快些，影响不大，仍可用经典力学处理。但若云雾室空间非常小，小到相当于原子大小的数量级，即若粒子运动再慢些或再快些，影响不大，仍可用经典力学处理。但若云雾室空间非常小，小到相当于原子大小的数量级，即x=10-10m，则，则v=103m s-1，这个数量级与粒子的运动速度差不多，显然是不能忽略的，故此时要用量子力学处理，亦即其坐标和动量不能同时有确定值，也就根本不存在什么轨道，这个数量级与粒子的运动速度差不多，显然是不能忽略的，故此时要用量子力学处理，亦即其坐标和动量不能同时有确定值，也就根本不存在什么轨道。2010-11-1930注 意注 意?电子等微观粒子若在宏观仪器（如云雾室）中运动，可以有确定的运动轨道，亦即可用经典力学处理；反之，若在微观领域运动（如原子中），则只能用量子力学处理。电子等微观粒子若在宏观仪器（如云雾室）中运动，可以有确定的运动轨道，亦即可用经典力学处理；反之，若在微观领域运动（如原子中），则只能用量子力学处理。?能否用经典力学处理，即能否观察到其运动轨迹，不仅取决于所讨论的对象，而且取决于讨论对象所处的条件。对于宏观物体，能否用经典力学处理，即能否观察到其运动轨迹，不仅取决于所讨论的对象，而且取决于讨论对象所处的条件。对于宏观物体，h可看作为可看作为0，波动不明显，因而服从经典力学的规律；对于微观粒子，波动不明显，因而服从经典力学的规律；对于微观粒子，h不能看作为不能看作为0，其运动一般要用量子力学处理，但在某些特定的条件下，电子等微观粒子的运动也可用经典力学处理。，其运动一般要用量子力学处理，但在某些特定的条件下，电子等微观粒子的运动也可用经典力学处理。2010-11-193199111.226 101.226 101.226 1010000 xhhxmmmhPV=3428166.6262 106.6262 1010 xhJ sPJ s mxm=解：据测不准关系，电子位置的不确定度为：这个不确定度约为光栅周期的10解：据测不准关系，电子位置的不确定度为：这个不确定度约为光栅周期的10-5-5，即在此加速电压条件下，电子波的波长约为光栅周期的10，即在此加速电压条件下，电子波的波长约为光栅周期的10-5-5。显然用光学光栅观察不到电子衍射。或：设电子不确定量。显然用光学光栅观察不到电子衍射。或：设电子不确定量x=10-6m，则由测不准关系求动量不确定度为：例5.试用测不准关系说明光学光栅（周期约10，则由测不准关系求动量不确定度为：例5.试用测不准关系说明光学光栅（周期约10-6-6m）观察不到电子衍射（若用10000v电压加速电子）m）观察不到电子衍射（若用10000v电压加速电子）2010-11-193231194231229.11 101.60210105.40210 xxPmvmeVKgcvJ s m=5arcsinarcsinarcsin100 xxPP=在10在104 4V加速电压下，电子的动量为：由V加速电压下，电子的动量为：由Px和和Px估算，出现第一衍射极小值的偏离角为：这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落在同一点上，因此用光学光栅观察不到电子衍射。估算，出现第一衍射极小值的偏离角为：这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落在同一点上，因此用光学光栅观察不到电子衍射。2010-11-1933微观粒子和宏观物体的区别：微观粒子和宏观物体的区别：?对于坐标与动量的描述方式？对于坐标与动量的描述方式？?运动轨迹和概率分布？运动轨迹和概率分布？?能量连续还是量子化？能量连续还是量子化？?不确定关系？不确定关系？2010-11-1934?微观粒子具有波粒二象性，根据测不准关系，微观粒子的运动没有确定的轨道，因此必须有一套全新的理论来描述微观粒子的运动微观粒子具有波粒二象性，根据测不准关系，微观粒子的运动没有确定的轨道，因此必须有一套全新的理论来描述微观粒子的运动量子力学量子力学二二.量子力学的基本假设量子力学的基本假设(quantum mechanics hypothesis)2010-11-19351.波函数和微观粒子的运动状态（波函数和微观粒子的运动状态（wave function)假设：微观体系的运动状态可用波函数(x,y,z,t)来描述。波函数是体系的状态函数，是体系中所有粒子的坐标函数，也是时间的函数。假设：微观体系的运动状态可用波函数(x,y,z,t)来描述。波函数是体系的状态函数，是体系中所有粒子的坐标函数，也是时间的函数。2010-11-1936波函数的物理意义波函数的物理意义关于关于的物理意义的物理意义,目前流行的是目前流行的是M.Born的解释：的解释：*代表时刻代表时刻t在空间在空间q点发现粒子的概率密度点发现粒子的概率密度,*d是时刻是时刻t在空间在空间q点附近微体积元点附近微体积元d内发现粒子的概率内发现粒子的概率.M.Born为此获为此获1954年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖.概率作为一种基本法则进入了物理学概率作为一种基本法则进入了物理学,被称为波函数被称为波函数,这种波被认为是一种概率波这种波被认为是一种概率波.2010-11-19372dwdddxdydz=式中式中|2称为几率密度若波函数为实数，则称为几率密度若波函数为实数，则|2=2在原子、分子体系中：在原子、分子体系中：将称为原子轨道、分子轨道将称为原子轨道、分子轨道；将将|2=*称为几率密度，即通常所说的电子云；称为几率密度，即通常所说的电子云；*d 为空间某点附近单位体积元 为空间某点附近单位体积元d中电子出现的几率。中电子出现的几率。因几率密度为实数，则因几率密度为实数，则|2=*微观体系在时间微观体系在时间t出现在空间某点出现在空间某点(x,y,z)附近附近(xx+dx,yy+dy,zz+dz)的几率与波函数的绝对值的平方成正比。即：的几率与波函数的绝对值的平方成正比。即：2010-11-1938球坐标与直角坐标的关系球坐标与直角坐标的关系2010-11-1939 定态波函数不显含时间的波函数 定态波函数不显含时间的波函数(x,y,z)称为定态波函数。意味着原子、分子体系内部的电子在空间某处单位体积内出现的几率将不随时间而变化。称为定态波函数。意味着原子、分子体系内部的电子在空间某处单位体积内出现的几率将不随时间而变化。A.体系能量不随时间而改变；.体系能量不随时间而改变；B.几率密度分布不随时间而改变；.几率密度分布不随时间而改变；C.所有力学量的平均值不随时间而改变。定态是指体系能量有确定值的状态，体系处于定态有如下几个特点：.所有力学量的平均值不随时间而改变。定态是指体系能量有确定值的状态，体系处于定态有如下几个特点：2010-11-1940)arexp(a1030s1=波函数的具体表示形式用量子力学处理微观体系时，要设法求出波函数的具体表示形式。而波函数的具体表达式是由解 波函数的具体表示形式用量子力学处理微观体系时，要设法求出波函数的具体表示形式。而波函数的具体表达式是由解Schrdinger方程得到的。例如氢原子的方程得到的。例如氢原子的1s态的波函数为：态的波函数为：2010-11-1941kd2=k1d2=1k=k1c=未归一化归一化=c 合格（标准、品优）波函数满足单值、连续、有限（平方可积）的波函数称为合格（标准或品优）波函数。合格波函数是有限或平方可积的，故都 合格（标准、品优）波函数满足单值、连续、有限（平方可积）的波函数称为合格（标准或品优）波函数。合格波函数是有限或平方可积的，故都可可归一化，但一般所给的波函数不一定归一化。当用波函数的绝对值的平方描述体系状态时，必须将波函数归一化。即：设则令故归一化，但一般所给的波函数不一定归一化。当用波函数的绝对值的平方描述体系状态时，必须将波函数归一化。即：设则令故2010-11-1942不符合品优函数条件的情况不符合品优函数条件的情况2010-11-1943)sin(lxnA=)lx0(例例1.已知一个在一维势箱中运动的粒子，其波函数为：求此波函数的归一化常数已知一个在一维势箱中运动的粒子，其波函数为：求此波函数的归一化常数A。推论：。推论：c和描写同一状态（和描写同一状态（c为常数），虽然为常数），虽然c2|2给出的几率比给出的几率比|2处大了处大了c2倍，但其在空间各点的比值并没有变化。对应加以归一化正是波函数的这一性质的要求。倍，但其在空间各点的比值并没有变化。对应加以归一化正是波函数的这一性质的要求。2010-11-1944lAlAlxnnllA2121)|2sin22121(2l02=122cos11)(sin020222=+dxlxnAdxlxnAdll解：解：2010-11-19452.力学量和算符（2.力学量和算符（operator)假设：对一个微观体系的每一个可观测的力学量A都对应着一个线性厄米算符。假设：对一个微观体系的每一个可观测的力学量A都对应着一个线性厄米算符。算符就是对一个函数施行某种运算的符号。如sin、log等。在量子力学中常用力学量上方加 算符就是对一个函数施行某种运算的符号。如sin、log等。在量子力学中常用力学量上方加“”来表示该力学量的算符。量子力学中的算符都是线性厄米算符，即该算符既是线性的，又是厄米的。来表示该力学量的算符。量子力学中的算符都是线性厄米算符，即该算符既是线性的，又是厄米的。2010-11-1946dxd11111221()()f Af df Afdf Af dfAfd=数的运算的结果乘以常数；对函数和的运算等于该算符分别对每个函数运算的结果的和，则该算符为线性算符，即：数的运算的结果乘以常数；对函数和的运算等于该算符分别对每个函数运算的结果的和，则该算符为线性算符，即：(af1)=af1(f1+f2)=f1+f2如是线性算符，而不是B.厄米算符：若算符满足或则该算符为厄米算符。A.线性算符：若一算符对常数乘以函数的运算等于该算符对函如是线性算符，而不是B.厄米算符：若算符满足或则该算符为厄米算符。A.线性算符：若一算符对常数乘以函数的运算等于该算符对函2010-11-1947xdxixdxdiixdxixdxdiixdA=)exp()(exp()exp()(exp(11dxdiA=)exp(1ix=)exp(1ix=xx =zz =yy =tt=xix2ihPx=?yiy2ihPy=?ziz2ihPz=?=2h?例如：常用力学量及其算符A.时空算符就是其本身:B.动量算符定义为：例如：常用力学量及其算符A.时空算符就是其本身:B.动量算符定义为：2010-11-194822222xx4hP=22222zz4hP=22222yy4hP=VV=)PPP(m21m2PT2z2y2x2+=222222222222222222222222228)(8)444(21)(21=+=+=mhzyxmhzhyhxhmPPPmTzyx常用的动量算符的平方为：C.能量算符势能动能常用的动量算符的平方为：C.能量算符势能动能2010-11-1949VmhVTH+=+=2228)t,z2ih,y2ih,x2ih,z,y,x(A)t,P,P,P,z ,y ,x (AzyxyzxzPyPM=)yzzy(2ihMx=)zxxz(2ihMy=zxyxPzPM=其中：称为拉普拉斯算符（其中：称为拉普拉斯算符（Laplace算符）总能：算符）总能：E=T+V其中其中 称为称为Hamilton算符算符D.其它力学量算符的表示法常用其它算符（例如：角动量）其它力学量算符的表示法常用其它算符（例如：角动量）2010-11-1950 xyzyPxPM=2)(2ihxyyxihMz2z2y2x2MMMM+=sin1)(sinsin1)2()()()(42222222222+=+=hxyyxzxxzyzzyhM 本征值和本征方程有一个函数 本征值和本征方程有一个函数f1，算符作用于，算符作用于f1后，其结果等于常数后，其结果等于常数a乘以乘以f1自身，即：自身，即：f1=af1，f1称为称为 的本征函数，常数的本征函数，常数a称为的本征值，称为的本征值，f1=af1称为算符的本征方程。称为算符的本征方程。2010-11-195122dxdx2x2e1dx)e(d=xsindx)x(sind22=xcos2dx)xcos2(d22=x6dx)x(d232=例例2 下列函数下列函数ex，sinx，2cosx，x3中，哪几个是算符的本征函数。若是，求出本征值。中，哪几个是算符的本征函数。若是，求出本征值。ex是算符的本征函数，本征值为是算符的本征函数，本征值为1sinx是算符的本征函数，本征值为是算符的本征函数，本征值为-12cosx是算符的本征函数，本征值为是算符的本征函数，本征值为-1x3不是算符的本征函数不是算符的本征函数2010-11-19523.Schrdinger方程方程假设：与微观体系能量相对应的算符称作假设：与微观体系能量相对应的算符称作Hamilton算符算符，作用于，等于体系的能量作用于，等于体系的能量E与 之乘积，即：与 之乘积，即：=E 此式即为此式即为Schrdinger方程方程含时含时Schrdinger方程为：方程为：EVmh=+)8(222tihVmh=[phone] 波函数的正交归一化条件对一个微观体系，厄米算符给出的本征函数组 波函数的正交归一化条件对一个微观体系，厄米算符给出的本征函数组1 2 3.形成一个正交归一的函数组。力学量的平均值形成一个正交归一的函数组。力学量的平均值=正交条件归一条件jijidji01=ddAA若任一力学量若任一力学量A：a（a为常数），则说明该力学量没有确定值（本征值），但可求其平均值。为常数），则说明该力学量没有确定值（本征值），但可求其平均值。2010-11-1954若已归一化，则：若已归一化，则：4.态叠加原理态叠加原理dAA=假设：若假设：若1 1 2 2 3 3.n n为某一微观体系的可能状态，则由它们线性组合所得的也是该体系可能存在的状态。为某一微观体系的可能状态，则由它们线性组合所得的也是该体系可能存在的状态。=+=niiinnccccc1332211?式中式中ci为任意常数，为任意常数，ci的大小反映了的大小反映了i对的贡献。对的贡献。5.Pauli(泡利泡利)原理原理假设V:在同一原子或分子轨道上最多只能容纳两个电子,这两个电子的自旋必须相反.假设V:在同一原子或分子轨道上最多只能容纳两个电子,这两个电子的自旋必须相反.2010-11-1955三三.一维势箱中粒子的一维势箱中粒子的Schrdinger方程及其解以一维势箱中粒子为例，说明如何运用量子力学的基本假设来处理微观体系的一般步骤和方法。一维势箱中粒子是指一个质量为方程及其解以一维势箱中粒子为例，说明如何运用量子力学的基本假设来处理微观体系的一般步骤和方法。一维势箱中粒子是指一个质量为m的微观粒子，在一维的微观粒子，在一维x方向上运动，它受到如图所示的势能限制：方向上运动，它受到如图所示的势能限制：0l0V=V=Vx步骤1：建立步骤1：建立Schrdinger方程方程V=0 0 xlV=x0,x l2010-11-19560)(0)0(=l222222m8hVm8hH=+=EH=Edxdm8h2222082222=+hmEdxd故粒子在箱壁及箱外出现的几率为故粒子在箱壁及箱外出现的几率为0，即：而在箱内，即：而在箱内，V=0。其。其Hamilton算符为：算符为：Schrdinger方程为：或：方程为：或：2010-11-1957221122122288()cos()sin()mEmExcxcxhh=+00)0sin()0cos()0(121=+=ccc212228()sin()0mElclh=21228sin()0mElh=步骤步骤2：解：解Schrdinger方程，得出和方程，得出和E的表示形式。上式为二阶线性齐次常微分方程，其通解为：利用边界条件确定的表示形式。上式为二阶线性齐次常微分方程，其通解为：利用边界条件确定c1，c2：而：而c2不能为不能为0，否则，否则0，这样粒子就不存在，是一个空箱子，与事实不符，故只能是：，这样粒子就不存在，是一个空箱子，与事实不符，故只能是：2010-11-195821222228()(1,2.)8mElnnhn hEml=212221228()08()00mElhmEh=由此得：注意：这里由此得：注意：这里n 0，因为若，因为若n=0，则同样失去意义。另外，若，则同样失去意义。另外，若n取负整数时，变成取负整数时，变成(x)=-(x)，两者描写的是体系的同一状态，为保证，两者描写的是体系的同一状态，为保证(x)是单值的，通常取是单值的，通常取(x)就可以了。就可以了。2010-11-19590c1=2228mlhnE=lxncxsin)(2=lclcdxlxncl212)(sin2220222=lc22+=将代入通式得：式中的将代入通式得：式中的c2可由归一化条件求出：取可由归一化条件求出：取2010-11-1960.)3,2,1(8222=nmlhnE),(0)()0(sin2)(lxoxxlxlxnlxnn=2218mlhE=lxlsin21=对一维势箱中的粒子：步骤对一维势箱中的粒子：步骤3：讨论由上面结果可得出一维势箱中粒子可以存在：讨论由上面结果可得出一维势箱中粒子可以存在各种能级各种能级的能量值及相应的波函数。的能量值及相应的波函数。2010-11-196122389mlhE=lxl3sin23=lxl2sin22=22284mlhE=如图表示出一维势箱中粒子的能级、波函数及几率密度如图表示出一维势箱中粒子的能级、波函数及几率密度2010-11-1962.)3,2,1(8222=nmlhnE由此得出以下结论：粒子可以存在多种运动状态由此得出以下结论：粒子可以存在多种运动状态1，2，3，n（另外还包括（另外还包括1，2，3，n的线性组合）。能量量子化能量只能取不连续的值 存在零点能（表示运动的永恒性）。能量最低的状态称为基态（n=1时的能级)，基态的能量称为零点能。没有经典的运动轨道，只有几率分布。上图说明箱中各处粒子的几率密度是不均匀的，呈现波性。这不是说粒子本身象波一样分布，而是反映粒子在箱中出现的几率函数的分布像波。的线性组合）。能量量子化能量只能取不连续的值 存在零点能（表示运动的永恒性）。能量最低的状态称为基态（n=1时的能级)，基态的能量称为零点能。没有经典的运动