最小二乘法在中学物理实验中的应用.pdf

?物理竞赛?巧用运动的分解?速解竞赛压轴题孔兴隆(温州市龙湾区教师发展中心?浙江 温州?325011)?题目?(2010 年第27届全国中学生物理竞赛预赛第18题)超声波流量计是利用液体流速对超声波传播速度的影响来测量液体流速,再通过流速来确定流量的仪器.一种超声波流量计的原理示意如图 1 所示.在充满流动液体(管道横截面上各点流速相同)管道两侧外表面上 P1和 P2处(与管道轴线在同一平面内),各置一超声波脉冲发射器 T1、T2和接收器 R1、R2.位于P1处的超声波脉冲发射器 T1向被测液体发射超声脉冲,当位于 P2处的接收器 R2接收到超声脉冲时,发射器 T2立即向被测液体发射超声脉冲.如果知道了超声脉冲从 P1传播到 P2所经历的时间 t1和超声脉冲从 P2传播到 P1所经历的时间 t2,又知道了 P1、P2两点的距离 l 以及l 沿管道轴线的投影 b,管道中液体的流速 u 便可求得,试求 u.解?如图 2、3所示,设超声脉冲相对液体的速度为 c,从P1传播到 P2时超声脉冲相对液体的速度 c与管道的夹角为?,从 P2传播到 P1时超声脉冲相对液体的速度 c 与管道的夹角为?,则由运动的分解可得(ccos?-u)t1-b,则cos?=b+ut1ct1,(csin?)t1=l2-b2,则sin?=l2-b2ct1,(ccos?+u)t2=b,则cos?=b-ut2ct2,(csin?)t2=l2-b2,则sin?=l2-b2ct2,由 sin2?+cos2?=sin2?+cos2?得(l2-b2ct1)2+(b+ut1ct1)2=(l2-b2ct2)2+(b+ut2ct2)2,化简得2ubt1t2=l2(t1-t2),即u=l2(t1-t2)2bt1t2.评析?参考答案解法一用速度叠加并结合余弦定理、求根公式求解,计算量很大.解法二采用近似法,但不容易想到.笔者提供的解法从常见的运动的分解出发,并充分利用角度间的数学关系,也能较快地求出结果.最小二乘法在中学物理实验中的应用袁?媛?李文娜?高永昌(河北师范大学物理科学与信息工程学院?河北 石家庄?050016)1?问题的提出某省 27 届物理竞赛复赛实验题是一道研究音叉频率及振动波长与受力关系的问题.提供的实验器材有音叉、细绳(线密度?已知)、5个质量已知的砝码、1个质量已知的钩码、1 个定滑轮、1 个卷尺.一般学生通过实验器材都会联想到用驻波的方法进行解答,将细绳一端固定在音叉上,另一端通过定滑轮与钩码相连,音叉振动时通过调节音叉与定滑轮之间的距离形成 2个以上的稳定驻波,测量驻波的个数 n 和长度 L,可计算得知振动波长?=2Ln.进而,利用关系式 v=T?(波的相位传播速度或能量传播速度决定于介质,若介?50?2011年 4月?Vol.29?No.07?中学物理质是绳则 v 和T 满足该关系式)可得到音叉的频率 f(f=v?)与 T 的关系式f=1?T?,测量多组数据,即可求得?f.接着,题目要求在上述工作的基础上,利用作图法和最小二乘法线性拟合研究振动波长与受力的关系,并求得回归拟合线的斜率 b1、纵轴截距 b2及相关系数 r.通过作图法寻找?与T 的关系,参赛者一般都能顺利完成.由关系式?=1fT?两边求对数可得关系式 lg?=12lgT-12lg?-lgf,lg?,lgT 分别相当于 y、x.多次改变 T 值,可测得相应的?值,在坐标纸上描点作lg?-lgT 图,绘制出图线的走向,可知b1、b2.但由于中学物理实验较少使用最小二乘法进行数据处理,所以大多参赛者在此遇到困难.其实,最小二乘法是物理实验中常用的数据处理方法,当实验数据一般是离散数据点,任何实验都不可能覆盖所有可能的数据点,且数据呈现线性特征时,用最小二乘法进行线性回归是最好的选择.2?最小二乘法线性回归其实最小二乘法高中生并不陌生,高中数学新课标对此有明确的内容标准.在必修3的?统计?主题下的第3个二级主题?变量的相关性?明确要求学生:经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.描述这条回归直线的方程叫回归方程.求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画?从整体上看,各点与此直线的距离最小?.人们经过长期的实践与研究,得出了计算回归方程的斜率与截距的公式(1)、(2).使得样本数据点到回归直线的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法.通常将作图法与最小二乘法配合使用,作图法简便直观,但对坐标纸及坐标系的标度值都有要求,应根据实验数据选择正确的坐标纸及合适的标度;最小二乘法不如作图法直观,但用计算器进行线性回归计算方便,两全的办法是先作图,如有个别数据是坏值,用作图法可以看得很清楚并可剔除它,再拟合直线,然后用最小二乘法解参数并计算误差.统计中用相关系数 来衡量两个变量之间线性关系的强弱,其计算公式为(3).?b1=?ni=1xiyi-n?x?y?ni=1x2i-n?x2=xy-?x?yx2-?x2(1)?b2=?y-b1?x(2)?r=?ni=1(xi-?x)(yi-?y)?ni=1(xi-?x)2?ni=1(yi-?y)2=xy-?x?y x2-(?x)2 y2-(?y)2(3)其中?x=1n?ni=1xi(4)?y=1n?ni=1yi(5)3?案例分析在物理实验中,如果已知两个量的关系,即满足 y=b1x+b2,却不知系数 b1和 b2时,可以通过实验测量多组 x、y,根据最小二乘法求出 b1、b2,由此可以确定直线方程 y=b1x+b2.案例一?光电效应法测普朗克常数(高中物理选修 3-5)从 1907 年起,美国物理学家密立根通过实验测量金属的遏止电压 Uc与入射光的频率?,想由此计算出普朗克常量h,以检验爱因斯坦光电效应方程的正确性.按照爱因斯坦的光电效应理论,金属中的电子吸收一个光子获得的能量是h?,这些能量的一部分用来克服金属的逸出功 W0,剩下的表现为逸出后电子的初动能 Ek,即可表述为公式(6),电子逸出后的初动能 Ek与使电流减小到零的反向遏止电压 Uc之间存在关系式(7),由(6)、(7)式可得(8)式.?Ek=h?-W0(6)?Ek=eUc(7)?Uc=he?-W0e(8)(8)式中,逸出功 W0、电子电荷 e 和普朗克常量h 都是常数.公式表明遏止电压 Uc与光的频率?之间满足线性关系 y=b1x+b2.he、-Wce分别相当于b1、b2,Uc、v 分别相当于y、x.测量多组数值,如表 1.表 1?实验测得某金属的 Uc和入射光?的数据Uc?V0.5410.6370.7140.8090.878?1014Hz5.6445.8886.0986.3036.501利用最小二乘法计算得:?b1=?ni=1xiyi-n?x?y?ni=1x2i-n?x2=xy-?x?yx2-?x2=3.96?10-15V?s,即?h=b1e=3.96?10-15?1.60?10-19=6.34?10-34J?s,则W0=-b2e=-e(?y-b1?x)=2.716 J.实验数据经最小二乘法处理后,结果比教科书中提供的作图法求 h(h=6.30?10-34J?s)的值更接近真实值,表明了在物理实验数据处理中使用最小二乘法的优越性.案例二?测定电池的电动势和内阻(高中物理选修 3-1)测定电源电动势和内阻的基本原理是闭合电路欧姆?51?中学物理?Vol.29?No.07?2011 年 4 月?中学生?一个磁通现象的解释高运旭?王彦明(山西临县一中?山西 临县?033200)?问题?条形磁铁周围的磁感线分布如图1 所示,在磁场中有两个小圆面 S1和 S2,小圆面垂直磁体的轴线,中心位于轴线上,则通过两个小圆面的磁通量,那个大?对磁通计算法的讨论?如图 2 所示,在匀强磁场B 中,有一圆形区域,面积 S,则通过S 面的磁通?=BS.如图 2所示,当磁场所在区域有两个匀强磁场 B1、B2,且 B1 B2方向相反时,其合磁场强度 B=B1-B2,方向指向纸里,则由磁通量计算式?=BS,可得磁通量?=(B1-B2)S,或?=B1S-B2S.由此可知,(1)磁通计算式中的 为合磁场强度.(2)当穿?过面积 的磁场有两个或两个以上时,其计算方法,可采用?=(B1-B2)S,或?=B1S-B2S 进行计算.问题答案?由上可知,S1中的磁通量?1大于 S2中的磁通量?2,即?1?2.?定律.电源电动势 E、内电阻 r,与路端电压 U、电流 I 的关系可以写成 E=U+Ir,变形为 U=E-Ir.其中电源电动势 E、内电阻 r 是常数,路端电压 U 与电流I 之间满足关系式y=b1x+b2,E、-r 分别相当于系数b1、b2,I、U 分别相当于 x、y,测量多组数值,如表 2.表 2 实验测得某闭合电路 U 和I 的数据U?V0.7210.6050.5150.4100.3070.199I?A0.0150.0290.0390.0500.0610.072利用最小二乘法计算得:b1=?ni=1x1y1-n?x?y?ni=1x2i-n?x2=xy-?x?yx2-?x2=-9.193 V?A.r=-b1=9.193 V?A,b2=?y-b1?x=0.867 V.E=0.867 V.在选修 3-1 中,介绍了解方程组和作图两种求 E、r 的方法.解方程组法会因实验仪器、环境、人的自身等因素会造成系统误差;作图法虽然在处理数据时更加简便、直观,但学生采用的标度单位以及对点的处理技术都会带来较大的误差.利用最小二乘法线性回归可以更精确地获得 E、r 的数值.4?运用 Excel 进行计算最小二乘法以误差理论为依据,在诸多数据处理方法中,误差最小,精确性最好,然而在实际教学过程中,因其计算繁琐,学生很少采用这一方法,影响了学生运用最小二乘法数据处理能力的提高.Excel是学生比较熟悉的软件,用它处理数据非常简便.Excel 函数库中可以找到线性回归拟合线方程的斜率函数SLOPE、线性回归拟合线方程的截距函数INT ERCEPT 以及相关系数函数 CORREL,可用以确定线性方程 y=b1x+b2的 b1、b2两个系数和 y、x 之间的线性相关度 r.以案例一为例,在空白单元格内定位光标,单击?插入?菜单中的?fx 函数?命令,在弹出的对话框中分别选中函数名为?SLOPE?、?INTERCEPT?、?CORREL?的函数,在各自的对话框中输入存放数据的单元格区域 A 1:E1 和 A 2:E2,便可获得斜率 b1=0.397?10-15,截距 b2=-1.702和相关系数 r=0.999(如图 1所示).在物理实验教学中倡导学生利用最小二乘法原理与Excel计算功能相结合分析数据,对培养学生实验数据处理能力将大有裨益.?52?2011年 4月?Vol.29?No.07?中学物理