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培养小学生的数学素养
数学素养听起来好像很深奥、很生疏，其实它时时渗透在我们的日常生活中，如：商场打折信息、家庭投资理财问题等。
那什么是数学素养？对于数学素养的解释，到目前为止还没有一个严格的、统一的定义。有人认为“数学素养”是人在先天基础上，受后天环境、数学教育等影响，所获得的数学知识技能、数学思想方法、数学能力、数学观念和数学思维品质等融于身心的一种比较稳定的心理状态。用南开大学顾沛教授的话说：“数学素养”就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩下的东西。
小学生的数学素养包括数感、符号意识、空间观念、统计观念、数学应用意识五种数学意识，数学思维、数学理解、数学交流、解决问题四种数学能力以及数学价值观的发展。
下面我从以下三个方面和大家谈谈我对培养学生数学素养的肤浅认识：一、用数学的视角去认识世界。二、用数学的方式去思考问题。三、用数学的方法解决问题。
首先看第一个方面：用数学的视角去认识世界——数学意识的培养。
什么是“数学意识”呢？举一个例子，假如学生会计算“48÷4”，说明学生具有除法的知识与技能。学生会解“有48个苹果，平均每人分4个苹果，可以分给多少人？”，说明学生具有一定的分析问题、解决问题的能力，但都不能说明学生具有数学意识。而在体育课上，48位学生在跳长绳，教师共准备了4根长绳，由此学生能想到“48÷4”这个算式，这就说明学生具有一定的数学意识了。
（一）理解数的意义与数的联系，培养数感。
 在北京自然博物馆有一块展板：“1983年初在东北地区进行的航行调查表明，在7000平方米的山林中仅发现两只老虎，因此东北虎被列为一级保护动物。”对外经贸大学的小杨认为:一个标准的操场都比7000平方米大。如果在7000平方米的范围里就有两只老虎，那么老虎的数量应该很多，怎么还会因此被列为一级保护动物呢？那为什么那么多的参观者对此说明都熟视无睹，而小杨却能发现其中的问题呢？一方面我认为小杨善于观察、思考，另一方面说明小杨有很好的数感。
“数感”，就是对数的本质的理解和感觉。数的本质是“多与少”或者“大与小”，从而过渡到数的顺序。有关“数感”问题我们可以追溯到动物的感知，比如说—条狗，它可能敢与一匹狼争斗，但如果有两匹狼它就会害怕，如果面对一群狼它就会逃跑。这说明动物也知道“多与少”。在《数：科学的语言》一书中记载了这样一件事：一只乌鸦在一家庄园的望楼顶上建了个鸟巢，庄园主对此很生气，决心杀死这只乌鸦。可是，每当庄园主走进望楼，乌鸦就离巢而去，直到庄园主走出望楼才回巢。庄园主就想了一个办法，他找来—个朋友，两人一起进去，然后走出一人，希望留下一个人去杀乌鸦，但是乌鸦并没有上当回巢。后来又三人进去两人出来，四人进去三人出来，依然如故。直到五人进去四人出来，乌鸦才分辨不清，回巢了。这说明乌鸦关于数的悟性至少可以分辨到4或5。如果人不会数数的话，能辨别到几呢?实验表明，人也只能辨别到4或5。由此可以推断，在数学方面，发明了计数之后，人类才与动物产生了本质的差异。有了“多少”这一概念，人类才能理解“有序”、“后继数”等概念。从l开始，借助“后继数”，便形成了自然数系；通过自然数的四则运算，形成了有理数系；通过有理数的代数运算，最终形成了实数系。所以，“多少”的概念，以及由其自然产生而不是通过运算产生的自然数，才是数学最本质的概念，也是小学数学的根基。因此，培养小学生的“数感”是低学段教学的重点。
其实学生入学前就已经知道了不少数，但那只是他们凭生活经验认识的数，对数他们只是有一种非常“肤浅”的表层认识，我们的任务就是让这些成人看起来非常抽象的数，在孩子的脑子中逐渐丰富起来，富有“数的内涵”。一年级上册第五单元学习11～20各数的认识，本节课的教学重点是，让学生通过动手操作初步认识和数位“个位”、“十位” 和 计数单位“一”、“十”；理解同一数字在不同位置表示不同的数值。一上课我通过猜数游戏引出“11”这个数，然后要求学生把11根小棒摆在桌面上，让别人一眼就能看出是11根。当学生把11根分成10根和1根两部分后，接着让他们把10根捆在一起。这时告诉大家，和同学们一样，数也有自己的位置，并出示数位筒，认识个位和十位。1根小棒表示1个一应放在个位筒里，1捆小棒表示1个十应放在十位筒里。另外，学生通过1个十和10个一的相互转化过程，体会 “数位”“计数单位”概念的实际意义，建立“数位”和“计数单位”的概念。同时，“数位筒”的教学又在不知不觉中对后面“份”的概念的教学起到了非常微妙的作用，从份的概念来分析，把这“10”根小棒捆成1捆，就是把10根小棒看成1份。学完后我问学生当你看到20你想到了什么？刘钰杰说：“我穿20号的鞋子。”刘翔宇说；“20十位上是2，个位上是0。”杜雨萌说：“我有20支新铅笔。”丁中岚说：“20比11大多了。”如果我们不给孩子说的自由，大概就没机会知道孩子心中的数有如此丰富的内涵了。
（二）经历符号化过程，培养符号意识。
英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”符号意识，主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。
学生在生活中能接触到很多像停车标志、奥运五环标志等用符号表示的情境，所以有一定的符号经验。上学期学习“统计我们的鞋码”时，我就利用学生已有的符号经验，鼓励他们用自己喜欢的方式进行统计，有的学生写数，有的画“√”，还有的用“○、△”等图形表示。记得王老师在教学“用数对确定位置”时，先通过呈现学生熟悉的教室里的座位这一具体场景，激活学生头脑中已有的描述物体位置的经验；通过交流，学生产生用一致的方式来表示位置的需求。然后把具体的场景图逐步抽象成圆圈图、网络图这种平面图，并让经历用数对表示位置的过程。这样学生就经历了“具体事物——个性化地符号表示——学会数学化表示”的学习过程，体会到引入符号的必要性以及数学符号的简洁与实用，培养了学生的符号意识，发展空间观念。
当然数学符号的产生和发展过程并不是一帆风顺的，如，阿拉伯数字的诞生和使用就是一个漫长的过程，我们可以结合数的认识的教学向学生介绍数字诞生的历史，让学生了解数字符号的发展史，感受数学文化的无穷魅力。
（三）实践操作与数学思考相结合，培养空间观念
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。
我们就生活在宇宙这个大空间里，如，你想邀请别人去你家做客，就要说清楚你家的方位及去你家的行走路线。还有，我们的楼房，就要经历先有设计师把头脑中的实物抽象成平面图形，再由建筑师负责把它转化为实物的过程。
教学时，我们要充分利用学生已有的生活经验，找准发展空间观念的支点。上学期在学习 “方向与位置”时，我把学生带到操场上，利用学生已有的“太阳从东方升起”的生活经验，先确定东方，再来认识其他三个方向。这样就把教学视野拓展到了生活空间，利用生活原型来有效促进学生空间观念的发展。
空间观念的发展不仅需要丰富的现实情境、而且需要大量的操作活动。在教学“体积和容积”时，有位教师就利用从粉笔盒抽出粉笔和放回粉笔的动态过程，把抽象的数学概念具体化，让“物体占有空间的大小”变得可观察、可感受。还有在学习“搭一搭”时，老师先出示两幅从物体前面和右面观察到的平面图：前面：        右面：         然后让学生通过想一想、搭一搭、说一说等活动，知道有多种可能的情况，不能确定物体的具体形状。这时老师又出示从上面看到的平面图。上面：        最后，大家通过想一想、搭一搭确定了物体的形状。

在这里，教学过程把学生的观察、操作、想象、思考、交流等活动结合起来，发挥学生的空间想象力，实现了二维平面与三维空间之间的转化，有效促进了活动的内化及空间观念的形成。
（四）经历统计活动的全过程，培养统计观念
我们几乎每天都要和数据打交道，如：“今日沪综指开于2845.33点，跌幅1.07%，成交额679.80亿元。”“我国1.91亿亩作物受旱，422万人饮水困难”，对数据进行收集、整理、分析是我们每位公民的基本素养之一。统计就是一个包括数据的收集、整理、描述和分析的完整过程。小学生学习统计的核心目标是发展“统计观念”
统计观念的培养仅靠训练是难以形成的，必须让学生去亲身体验。如，上学期学校举办“阳光女孩节”，我班就开展了一次“应多买些什么颜色的气球”的调查。学生经历了收集数据、整理数据、描述数据，通过交流，作出决策的统计活动。在活动中学生体会到统计的必要性以及统计的作用。
现代公共媒体已经大量使用统计图来表示信息，能看懂生活中常见的统计图表是现代公民重要的数学素养。因此，进行统计教学时，应将学习重点放在引导学生读懂统计图表、会分析图表中的数据并进行必要的推理上，而不是放在制作统计图表上。如，一位同学调查了自己班上的5位男同学，其中有4位同学喜欢打篮球，便得出结论他班80%的同学喜欢打篮球。我们就要引导学生对数据来源、数据处理的方法以及由此得到的结论进行合理的质疑，使学生对统计数据有较全面、正确的认识。
（五）注重数学与生活的联系，培养数学应用意识
有一次，我的好朋友不好意思的问我：在超市买东西时，你好不好看同一产品不同的包装的价格，然后比较一下哪个便宜再买？其实，我们学知识为了什么？不就是用吗？学了不让它为我们的生活服务，我们学它干什么。比如，同样是光明纯鲜牛奶：大包装1000ml,8元/桶；小包装220ml，2元/盒。通过计算1000÷8=1250（ml/元） 220÷2=110（ml/元）可以知道，同样1元钱，可以多喝15 ml牛奶，如果家庭人口比较多，当然选择大包装合算。什么是数学应用意识呢？数学应用意识是应用数学知识、数学思想方法的心理倾向，主动尝试用数学知识、方法、策略、思想去思考和解决遇到的现实问题。看来我这位朋友就有很好的数学应用意识。在教学中我们要有意识的引导学生关注生活中的这些数学问题，让他们体会到学习数学的意义以及数学的应用价值，养成用数学的眼光观察生活的习惯。
培养学生的应用意识和实践能力，仅靠课堂上的学习体验是不够的，我们还要安排一些有意思的实践活动，把数学学习延伸到课外。在认识“厘米和米”时，一位教师就安排了四次课外实践活动：（一）请你和爸爸、妈妈一起用脚量一量你的小房间的长。通过活动，让学生体验到同一物体用不同的长度单位量，会得到不同的结果；其次让学生在学习长度单位前，对长度单位先有一个广义的了解，并在与爸爸妈妈合作的过程中感受学习的快乐。（二）请你和同桌一起用一拃来量一量课桌的长。通过本活动，学生再一次体验到同一物体用不同的长度单位量，会得到不同的结果，同时让学生感受到就自己的一拃在量的过程中长短也在变化，这样量不准确，最好用一个比较准一点的工具来量。（三）请你用数学书来量一量你的小房间和课桌的长。通过这一活动，学生感悟到用同样的长度单位去量，可以比较物体的长短，但这样的长度单位在叙述时很不方便，适用范围也小，既不能量比较长的物体，如操场，也不能量比较小的物体，如橡皮，从而感受到需要有一种统一的测量工具和统一的长度单位。（四）请你用尺子来量一量你的小房间和课桌的长。通过这次活动，学生加深了对厘米和米的认识，同时建立了法定长度单位与生活中长度单位间的联系，熟练掌握了用尺子来量物体的长度的方法。
第二个方面：用数学的方式思考问题——数学思维能力的培养。
（一）数形结合，发展学生的形象思维
小学生的思维处于形象思维向抽象思维过渡的阶段。数是形的抽象，形是数的表现。“数形结合”能帮助学生生成正确的数学表象，促进学生的数学理解。
案例一：“千克与克”的认识属于概念教学，内容相对比较抽象，学生理解有一定困难。在学习千克的时候，我设计了一个找1千克的环节。我让学生一只手掂着1千克重的洗衣粉，另一只手掂一掂袋子里的东西，估一估哪袋东西也重1千克。人对物体质量的直观感知，除了掂一掂然后估一估之外，很重要的一种方式是根据具体实物的数量来进行简单推断。因此，在评价学生“克与千克”知识掌握程度时，经常要考查学生“5个苹果约重（）千克”、“1箱苹果重10（）”。我们大人根据一般的生活经验，都能做出简单的估计。但刚上三年级的小学生，生活经验比较少，或者平时经历了但没有留心，临到做题时只能瞎猜。而且同样质量的物体，每个物体的大小不同，物体的数量也不同。这就要求教师在课堂上通过实践活动，唤醒学生的经验，提醒他们注意积累对质量的体验。比如，学生掂、称出1千克苹果、面粉等后，让学生数一数、看一看，就能发现4～６个苹果约重1千克，2瓶矿泉水约重1千克，1千克黄豆（约4000粒）有几捧。让学生将抽象的1千克数学概念与具体事物的数量、体积联系起来，能帮助学生有效建立1千克的质量概念，化抽象的概念为可以看得见的数学事实。
    案例二：在计算教学中我们不仅要让学生掌握计算方法，更重要的是要人学生明白算理，使学生不仅“知其然”，而且“知其所以然”，促进学生对数学的理解。在小学阶段，加、减、乘、除的竖式写法是笔算教学的重要内容，其中除法的竖式相对特殊。初次接触除法竖式是在二年级上册第七单元表内除法，由口算引入，数目简单，根据知识迁移规律，学生一般都会仿照加、减、乘法的竖式写法来写“除法竖式”。如果我们非要学生再创造一种新的竖式写法，那么除法竖式只能成为教师一厢情愿硬塞给学生的东西，体现不出除法竖式的优势。教学不应该是学生适应教师，而应该以学定教。为了让学生体验到笔算除法的必要性，我在教学这节课时，改变了教材的呈现顺序，把二年级下册的有余数的笔算除法提前，也就是先教学有余数除法的竖式，再教学没有余数的。教学过程是这样设计的：1.分糖葫芦活动，把13串糖葫芦平均分给4个同学，每个同学分到几串，还剩几串？2.用小棒代替糖葫芦分一分。3.列横式计算：13÷4=3（串）……1（串）。4.加、减、乘法都有竖式，除法也能用竖式计算，让学生尝试写出来，结果多数同学不知怎样写，而我班李景渤这样创造：
                                          13÷  4             3……1
这时，我写出正确的除法竖式让学生对比两者的不同，学生发现正确的写法能清楚的看出哪些是要分的，哪些是已经分的，哪些是剩余的，能更好的体现出分的过程。接着结合分小棒的过程来介绍除法竖式的写法。关于除法竖式的书写顺序，教材和教师用书都没有说明，我尝试按被除数、除号、除数、等于号、商的顺序来书写，这种书写过程与横式书写顺序一样，这样可以避免学生把除号里面的被除数和外面的除数位置搞错。5.学生尝试练习除法竖式：21÷5、20÷6、15÷3。从有余数到无余数，从一般到特殊，学生顺利理解在15÷3的竖式中，被除数下面要再写一个15，是表示分掉了15个。这节课先教学有余数的除法竖式，让学生产生用加、减法的竖式书写，余数没办法处理的矛盾，从而产生学习除法竖式的内心需求，同时也有助于学生理解除法竖式中各部分的意义。
案例三：图形语言是形象思维的主要载体，运用“数形结合”办法解决问题就是把数学问题中的数量关系与空间形式结合起来进行思维。例如，小朋友排队，小雨从前往后数，他自己是第8个。又从后往前数，他是第5个。这队共有多少个小朋友？一部分学生一时难以解决，教师要引导学生画示意图解决，用图表示为：前○○○○○○○△○○○○后，得到：7+1+4=12（人）或8+4=12（人），化抽象为直观，使问题的数量关系更容易理解，找到简捷地解决问题的办法。
（二）精心组织数学活动，培养学生初步的推理能力
推理是由一个或几个已知判断得出新判断的思维过程。根据小学生的年龄特征，小学生的推理能力应以合情推理为主。伟大的科学家牛顿认为：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”数学猜想是合情推理发展的基础。“猜想——验证”是一种重要的推理策略。在教学“圆锥的体积”时，老师要求学生把圆柱形的胡萝卜削成等高的圆锥，并猜测圆锥的体积与圆柱体积的关系。有的认为是圆柱的1/2,有人认为是1/3,也有人认为介于1/2和1/3之间。在上述案例中，学生借助观察与实验进行了大胆猜想；我们也可以运用类比提出猜想，如根据“长方体的体积=底面积×高”，可以类比推断出“圆柱的体积=底面积×高”。
由于合情推理的结果具有不确定性，所以我们要采用实例法和演绎法对结论进行论证，并以实例验证为主。实例验证，主要是通过举例的方法进行，可以举反例，推翻原来的结论或猜想。也可以举出正例，运用不完全归纳法验证猜想使原来的结论更加可靠。下面我们来看学生是怎样验证“3的倍数的特征”的。当学生根据2、5的倍数的特征猜测：个位上是3、6、9的数是3的倍数后，学生就用反例进行了验证：生1：个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，如13、16、19都不是3的倍数。生2：像60、12、27等个位上不是3、6、9，但这些数都是3的倍数。通过探索初步得出：“一个数每个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数”这一结论后，学生又用“举例归纳”的方法进行了验证：如有的学生发现“在1～100的自然数中，是3的倍数的，各位数位的数字和都是3的倍数。110、145各数位数字之和不是3的倍数，这些数就不是3的倍数。”最后，教师还引导学生利用3根小棒在数位表中摆数，用“操作归纳”的方法进一步验证了结论。
随着年级的升高，我们应该结合课堂上的学习内容，引导学生学习一些有效的演绎推理方法。如，17世纪著名的数学家莱布尼兹就一丝不苟地利用数学的演绎法论证了“2×2=4”，2×2=2×（1+1）=2+2=2+（1+1）=（2+1）+1=3+1=4，这里运用了自然数的意义、乘法分配律、加法结合律等知识进行论证。
小学生的推理能力往往不是靠“传授”得来的，而是在自主参与的推理活动中“领悟”出来的。数学推理能力的培养并不仅局限于课堂，一些有效的课外活动及游戏方式同样是培养推理能力的良好途径。
（三）把握整体，突破常规，培养直觉思维能力
爱因斯坦说：“真正可贵的思维是直觉思维。”直觉思维是人脑对事物、问题、现象的某种直接的领悟和洞察的一种思维形式。在教学中，要培养学生的直觉思维能力。首先，要提高学生整体把握知识的能力。如小明今年8岁，他妈妈今年36岁，再过6年，妈妈比小明大几岁？按一般的思维方式，此题列式是“（36+6）-（8+6）”，但具有良好的直觉思维的学生就会简化信息与问题间的距离，直接列式为“36-8”.其次，要选择合适的问题和形式，训练学生的直觉思维。如问题1：计算（1+3+5+…+2007）-（2+4+6+…+2006），教师可以引导学生观察数据特点，从而产生直觉预见，去掉括号，将算式重组为1+（3-2）+（5-4）+…+（2007-2006）=1004。问题2：下面时间中，与你的年龄最接近的是（）。ａ．600时  b 600日    c 600周    d 600月   本题是一道选择题，只要求从四个选项中挑选一个合理的答案，省略了解题过程，允许学生运用合理的猜想，有利于直觉思维的发展。
最后一个方面:用数学的方法解决问题——解决问题能力的培养。
记得匈牙利著名数学家罗莎曾做过一个比喻：假如在一群专家面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，要想烧开水，应当怎么做？大家都认为应先灌水，再点燃煤气灶，然后放到火上烧，这是共同的认识。但如果壶中已经灌好水了，其它条件都不变，又该怎样做？这时，多数专家会直接点燃煤气灶，然后放在火上烧，而唯有数学家会把水倒掉，因为数学家这时会用数学思维——化归思想来思考问题，把后一情形化归为前面已经熟悉的情形。比喻虽有点夸张，但它的确能说明：与其他应用科学家相比，数学家更善于用数学的思维方式来思考问题。能否用数学的思想、方法、策略等去解决数学问题或日常问题是学生数学素养高低的一个重要标志。
（一）让运用策略成为学生的一种思维习惯
生活中的问题形式多样、变化多端，我们不可能把所有问题让学生一一尝试解决。因此，“解决问题”的学习价值在于使学生积淀解决问题的基本思路和常用方法，积累解决问题的经验，形成解决问题的基本策略。根据小学生的年龄特点，应把画图、列表、猜想与验证、动手操作等作为常用策略在教学中加以指导。
很多问题都可以通过用“图”解决或找到思路。“画图”包括画线段图、示意图等。线段图是一种常见的图式表征的形式，在一年级学习求一个数比另一个数多（少）几的问题时，我就引导学生用线段图来揭示数量关系：
一班：
二班：                   使问题变的直观易解。
画示意图是指用图来模拟具体情境或事物运动变化的过程，如这样一个问题：小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。小船摆渡21次后，船在南岸还是北岸？为什么？
在教师的引导下学生画出了示意图。通过观察得出结论：摆渡奇数次后，船在北岸；摆渡偶数次后，船在南岸。因为21是奇数，所以船在北岸。画图直观、明了，学生容易找到解题思路。
列表也是一种重要的解决问题策略。列表可以帮助学生整理信息，并利用表格进行分析推理；也可以帮助学生分析数量之间的关系、寻找规律。对于古代数学名题“鸡兔同笼”：鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡、兔各有多少只？我们可以引导学生列表：
头（个）
鸡（只）
兔（只）
腿（条）
20
 1
19
78
   20
5
15
70
   20
10
10
60
   20
15
5
50
   20
14
6
52
这么多腿？一定是兔子太多了
还多，兔子还应减少
比54少了，兔子数应该在5和10之间
然后用“猜想与尝试”的策略找到解决问题的答案。其实“鸡兔同笼”问题我们的关注点不是数学问题本身，而是要用“鸡兔同笼”这个问题为载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会解决问题的一般策略。“动手操作”策略是利用实物操作或动态模拟帮助学生思考问题。在各个学习领域都可以应用动手操作策略帮助学生理解知识、解决问题。如利用摆小棒理解算理、利用图形剪拼探索组合图形面积的计算方法等。当遇到如“小军去游泳池游泳，他在泳道内游了两个来回，共游了100米，这个游泳池的泳道有多长？”这样的问题，可以让学生用手在桌面上模拟一下真实情境，理解“两个来回”实际上就是4个泳道的长。
另外，在指导学生掌握和运用这些方法和策略的同时，还应结合适当的材料渗透一些基本的数学思想，如刚才提到的化归思想，数学问题解决的最基本的形式就是化归：把未知的问题化归为已知的问题，把非典型的问题化归为典型的问题，把非常规的问题化归为常规问题。还有函数思想、集合思想等。
（二）有效实现解决问题过程的两次转化
周玉仁教授认为：“在解决实际问题的过程中，小学生实际上完成了两个转化。从纷乱的实际问题中获取有用的信息，抽象成数学问题，这是第一个转化。然后分析其间的数量关系，用数学方法求解或近似解，并在实际中检验，这是第二个转化。”因此，我们要加强对学生解决问题过程的指导，促进学生较好地完成这“两次转化”，提高他们解决问题的能力。
1.注重“问题表征”方法与策略的指导，促进“问题情境”向“数学问题”的转化
表征问题的方式一般分为内部表征和外部表征两种。内部表征（也称心理表征），是指在头脑中表征问题，对于信息少、数量关系简单的问题，学生一般用内部表征就能解决。外部表征是指把有关信息与问题用图形、表格等方式表示出来。外部表征的形式很多，像信息摘录、画图呈现等。根据小学生的特点，教学中要加强外部表征方式的指导，引导学生读懂问题情境，摘录下有用信息，实现“问题情境”向“数学问题”的转化。
心理表征有两种基本的策略——直接转换策略和问题模型策略。使用直接转换策略的学生只对题中的表面内容进行理解，比如看到“一共”就用加法，看到“少”就用减法；而使用问题模型策略的学生是对每个信息都进行表征，理解各信息之间的关系，再进行情境模型建构。如这样一个问题：学校体育室共有30个篮球，四（1）班借了20个篮球，又还回来8个，四（1）班还有几个篮球没有还？如果学生认为“ 共有30个篮球，借走20个，算式是‘30-20’，又还回来8个，所以算式是‘30-20+8’”这说明他使用的是直接转换策略；如果学生认为“借走20个，又还回来8个，所以没有还的篮球数是‘20-8’，30在这个问题中是多余信息”，这个学生使用的就是问题模型策略。教学中，教师要有针对性的指导，提高学生运用“问题模型策略”表征问题的能力。
2.注重数量关系分析的指导，促进从“数学问题”到“用数学方法解决”的转化
解决问题时，分析数量关系是从“数学问题”到“用数学方法解决”的“桥梁”。数量关系的建构要结合具体的问题情境，除了“速度、时间、路程”和“单价、数量、总价”等常见的数学模型有必要进行概括外，其他的数量关系就没有必要作统一要求了。对于比较复杂的数量关系，教师要引导学生利用画图、列表等表征方式进行分析。下面来看一个教学片断：“解决角上重复计数问题”：在一个正方形的每条边上放6个棋子，最少要用多少个棋子？教师鼓励学生用画图的方式说明自己的想法。结果出现了：生1：6×2+（6-2）×2=20（个），我先算两条边的棋子数要12个，另外两条边只要增加4个就可以了。生2：角上4个棋子各重复了一次，我每条边上只算一个，所以是5×4=20（个）。生3：角上的棋子重复了一次，所以是6×4-4=20(个)。生4：角上的棋子可以先不算，所以是4×4+4=20(个)。反馈交流后，再呈现第二个问题：在一个正方形的每条边上摆100个棋子，最少要多少个呢？让学生先把图画在脑子里，尝试列式计算，最后画图验证。在上述案例中，教师引导学生用画图的方法进行思考，从简单到复杂，从具体到抽象，并把数学计算方法、图形、数学语言说明相结合，促进了学生对方法的理解，提高了使用画图策略解决问题的能力。当然，解决问题的策略是多样化的，我们要鼓励学生根据不同的问题来选择恰当的方法和策略，并将解决问题的策略内化为个人的数学素养，成为思考问题的一种习惯。
（三）在交流与反思中促进方法与策略的内化
解决问题经验的积累、方法策略的内化在很大程度上是交流与反思的结果。
案例：“估计一版报纸有多少字”。老师先让学生独立思考后说说自己打算怎样估计：生1：先估计一篇文章，再数出一共几篇文章。生2：先估计一栏有多少字，再看一共有几栏。生3：把报纸折成大小相等的几块，先估计一块，再估计整版。接着让学生在三种方法中选择一种进行估计。估计完再进行交流。这两次交流意义不同：第一次是交流估计的策略，通过交流使一部分还没有想起策略的同学得到了启发，估计时就不会茫然无序。第二次主要是交流具体的估计方法，在同学们的互相补充中来完善自己的方法。
许多研究表明，学生在问题解决中之所以失败，常常不是因为缺乏相关的知识和认知策略，而是对知识和认知策略的无效运用。专家在研究问题时，会定期检查解题过程，看看是否沿着一条正确的途径，如果感觉没有进展，就会毫不犹豫地停下来，选择其他途径。学生的评价、反思意识和水平对提高学生解决问题的能力起着重要的作用，教师要善于引导学生对解决问题的过程和方法进行反思和评价，促进“策略”的形成。
总之，“解决问题”教学要变“教解法”为“策略指导”，引导学生学会从复杂的情境中解读数学信息，注重解决问题过程中的体验和解决问题方法的积淀，提升学生的数学素养。
记得听过这样一个故事：一位数学家的女儿从幼儿园放学回家，父亲问她今天学到了什么？女儿高兴的回答道：“我们今天学习了‘集合’。”数学家想，对这样一个高度抽象的概念，到高中一年级才要学，女儿的年龄实在太小了。因此，他关切地问：“你懂吗？”女儿肯定地回答：“懂！一点都不难。”父亲还是放心不下，又追问道：“你们老师是怎样教的？”女儿说：“老师先让班上的男孩子站起来，然后告诉大家，这就是男孩子集合；再让所有女孩子站起来，并说这就是女孩子集合；接下来，又是白人孩子的集合、黑人孩子的集合。老师最后问大家：是否都懂了？大家回答：都懂了。”听完女儿的叙述，父亲想检验一下女儿的学习成果，就问:“我们能否把世界上所有的土豆组成一个集合呢？”女儿迟疑了一会儿，最终回答：“不行！除非它们都站起来。”看来在教学中我们不仅要注重发展学生的数学意识，重点培养他们数学思维能力和解决问题的能力；还要把握数学的本质与联系，培养学生的理解能力；促进学生全面、持续、和谐的发展也是学生数学素养培养的重要内容。
最后我们来看一个案例：一位教师在教学“自然数按能否被2整除分为偶数和奇数”时，让学生按从小到大的顺序列举偶数和奇数，并形成下列板书：
自然数  偶数：0、2、4、6…
        奇数：1、3、5、7…
然后引导探究偶数和奇数的特点。一生说：“偶数的个数是无限的，自然数的个数是偶数的2倍。”这时师追问理由。生解释道：“因为自然数是按一个偶数一个奇数这样的顺序排列的，偶数与奇数的个数一样多，所以说自然数的个数是偶数的2倍，也是奇数的2倍。”师评价：你的眼力真厉害，看问题很全面，自然数的个数确实是偶数的2倍。
看到这个案例我忽然想起了德国数学家大卫·希尔伯特讲的一个故事：我们先设想有一家旅馆，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了一位新客，想订个房间，“对不起”，旅馆主人说，“所有的房间都住满了。”现在再设想有另一家旅馆，内设无限个房间，所有的房间也都客满了。这时也有一位新客，想订个房间。“不成问题！”旅馆主人说。接着他就把１号房间的旅客移到２号房间，２号房间的旅客移到３号房间，３号房间的旅客移到４号房间等等，这样继续移下去。这样一来，新客就被安排住进了已被腾空的１号房间。我们再设想一个有无限个房间的旅馆，各个房间也都住满了客人。这时又来了无穷多位要求订房间的客人。怎么办呢？于是旅馆主人把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到4号房间，3号房间的旅客移到6号房间，如此等等，这样继续下去。现在，所有的单号房间都腾出来了，新来的无穷多位客人可以住进去，问题解决了！这就是希尔伯特在谈到“无限大数”的奇怪而美妙的性质时说到的“希尔伯特旅馆”。
其实偶数集和奇数集都是自然数集的真子集。表面上看偶数集和奇数集中元素的个数各占自然数集中元素的一半，偶数和奇数的个数都比自然数的个数少，其实这种说法是错误的。因为只有在有限集合中元素的个数才能比较多少，而偶数集、奇数集和自然数集都是无限集合，所以无法比较它们集合中元素个数的多少。例如，自然数和偶数之间可以建立起一一对应的关系：0→0，1→2，2→4，3→6，…，n→2n,…。从上面我们可以看出每一个自然数都有一个偶数和它相对应，怎么能说自然数的个数是偶数的2倍呢？就像我们可以把一条直线看成是两条射线，但不能说直线的长度是射线的2倍，或者认为直线比射线长。在教学中我们不能把在有限集合范围内积累的经验盲目应用到无限集合中。
记得原来我在别的学校时，有段时间特别忙。一个同事抱怨说：“我见了邻居都很不好意思，每天早出晚归的，两头不见太阳，一小学老师有什么可忙的，又不是大学教授。”其实别以为小学数学知识简单，如果没有数学基础理论知识和高等数学的视野，是做不好这份看似简单的工作的。期待在以后的工作中和大家共同学习，在小儿科的小学数学上，做出大学问！