六年级数学上册知识点总结.docx

新课标人教版六年级数学上册各单元知识点归纳
第一单元分数乘法
一、分数乘法
(一)分数乘法的意义：
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。 例如：65×5表示求5个65的和是多少? 1/3×5表示求5个1/3的和是多少?
2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。 例如：1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。 4×3/8表示求4的3/8是多少.
(二)、分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。(整数和分母约分)
2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。（尽量约分，不会约分的就不约，常考的质因数有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×19=361） 4、小数乘分数，可以先把小数化为分数，也可以把分数化成小数再计算（建议把小数化分数再计算）
(三)、 乘法中比较大小的规律 一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。 一个数(0除外)乘小于1的数(0除外)，积小于这个数。 一个数(0除外)乘1，积等于这个数。
(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律： a × b = b × a
乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )
乘法分配律： ( a + b )×c = a c + b c
二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法)，即求单位“1”的几分之几是多少)
1、画线段图：(1)两个量的关系：画两条线段图，先画单位一的量，注意两条线段的左边要对齐。(2)部分和整体的关系：画一条线段图。
2、找单位“1”： 单位“1” 在分率句中分率的前面； 或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。
3、写数量关系式的技巧：
(1)“的” 相当于 “×” ，“占”、“相当于”“是”、“比”是 “ = ”
(2)分率前是“的”字：用单位“1”的量×分率=具体量 例如：甲数是20，甲数的1/3是多少？列式是：20×1/3
4、看分率前有没有多或少的问题；分率前是“多或少”的关系式：
（比少）：单位“1”的量×(1-分率)=具体量； 例如：甲数是50，乙数比甲数少1/2，乙数是多少？ 列式是：50×（1-1/2）
（比多）：单位“1”的量×(1+分率)=具体量
例如：小红有30元钱，小明比小红多3/5，小红有多少钱？
列式是：50×（1+3/5）
5、求一个数的几倍是多少：用 一个数×几倍；
6、求一个数的几分之几是多少： 用一个数×几分之几。
7、求几个几分之几是多少：用几分之几×个数
8、求已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的方法：
(1)、单位“1”的量×(1-分率)=另一个部分量（建议用）
(2)、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量
例如：教材15页做一做和16页练习第七题（题目中有时候会有这种题的关键字“其中”）

第二单元位置与方向（二）
一、确定物体位置的方法：1、先找观测点；2、再定方向（看方向夹角的度数）；3、最后确定距离（看比例尺）
二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。
三、位置关系的相对性：1、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。
四、相对位置：东--西；南--北；南偏东--北偏西。

第三单元分数除法
一、倒数
1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。 强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。 (要说清谁是谁的倒数)。 2、求倒数的方法：
(1)、求分数的倒数：交换分子分母的位置。
(2)、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。 (3)、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。
(4)、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。
3、 1的倒数是1； 因为1×1=1；0没有倒数，因为0乘任何数都得0，(分母不能为0)
4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
5、运用，a×2/3=b×1/4求a和b是多少。把a×2/3=b×1/4看成等于1,也就是求2/3的倒数和求1/4的倒数。
6、分数除法的意义：
乘法： 因数 × 因数 = 积
除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
例如：1/2÷3/5意义是：已知两个因数的积是1/2与其中一个因数3/5，求另一个因数的运算。
7、分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
8、分数除法比较大小时的规律：
(1)当除数大于1，商小于被除数; 、
(2)当除数小于1(不等于0)，商大于被除数;
(3)当除数等于1，商等于被除数。
“[ ]”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的
二、分数除法解决问题
1，解法：(1)方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。 解：设未知量为X （一定要解设）,再列方程 用 X×分率=具体量 例如：公鸡有20只，是母鸡只数的1/3，母鸡有多少只。（单位1是母鸡只数，单位1未知.）解：设母鸡有X只。列方程为：X×1/3=20
(2)算术(用除法)：单位“1”的量未知用除法： 即已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。
分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量 例如：公鸡有20只，是母鸡只数的1/3，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数，单位一未知，）用除法，列式是：20÷1/3
2、看分率前有没有比多或比少的问题；
分率前是“多或少”的关系式：
（比少）：具体量÷ (1-分率)= 单位“1”的量； 例如:桃树有50棵，比苹果树少1/6，苹果树有多少棵。 列式是：50÷（1-1/6）
（比多）：具体量 ÷ (1+分率)= 单位“1”的量
例如:一种商品现在是80元，比原价增加了1/7，原价多少？
列式是：80÷（1+1/7）
3、求一个数是另一个数的几分之几是多少： 用一个数除以另一个数，结果写为分数形式。
例如:男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的几分之几。 列式是：15÷20=15/20=3/4
4、求一个数比另一个数多几分之几的方法：
用两个数的相差量÷单位“1”的量 =分数 即①求一个数比另一个数多几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。 例如：5比3多几分之几？（5－3）÷3=2/3
②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。 例如：3比5少几分之几？（5－3）÷5=2/5
说明：多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同。
5、工程问题：把工作总量看作单位“1”，合做多长时间完成一项工程用1÷效率和，即1÷（1/时间+1/时间），（工作效率=1/时间）
例如：一项工程甲单独做要5天完成，乙单独做要10天完成，甲单独做要3天完成，三人合做几天可以完成？列式：1÷（1/5+1/10+1/3）

第四单元比
(一)、比的意义
1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 例如 15 ：10 = 15÷10=3/2(比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示)
15 ∶ 10 ＝ 3/2
前项 比号 后项 比值
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。
也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。
4、区分比和比值
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。
6、 比和除法、分数的联系：
比 前项 比号“：” 后项 比值
除法 被除数 除号“÷” 除数 商
分数 分子 分数线“—” 分母 分数值
7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。
9、体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。
10、求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数（不会约分的就不约分） 例如：15∶ 10 ＝15÷10＝15／10＝3/2
(二)、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不变。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。 2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比的方法：
（1）利用比的基本性质。
(2)用求比值的方法。注意： 最后结果要写成比的形式。
例如： 15∶10 = 15÷10 =15／10＝ 3/2 = 3∶2
还可以15∶10 = 15÷10 = 3/2 最简整数比是3∶2
5、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有单位。
6.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。一般有两种解题法
１，用分率解:按比例分配通常把总量看作单位1，即转化成分率。要先求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？ 1+4=5 糖占1/5 用 25×1/5得到糖的数量，水占4/5 用 25×4/5得到水的数量。
2，用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少。 例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？糖和水的份数一共有1+4=5， 一份就是25÷5=5克，糖有1份就是5×1=5（克）水有4份就是5×4=20（克）。

第五单元圆的认识
一、认识圆形
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1/2。用字母表示为：d=2r或r=d/2
8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10、只有1条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有2条对称轴的图形是： 长方形；只有3条对称轴的图形是： 等边三角形；只有4条对称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。
１１、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点。

二、圆的周长
1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。
2、圆周率实验：（滚动法）在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，得到圆的周长。或者用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长（测绳法）。 发现，圆周长与它直径的比值（圆周长除以直径）是一个固定数即３倍多一点，我们把它叫做圆周率用字母π表示。
3、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π(pai) 表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。
(2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。
4、圆的周长公式： 圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C= πd
(1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示 d = C ÷π或圆的周长等于２乘圆周率乘半径，用字母表示C=2πr
(2)、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的２倍， 用字母表示 r = C ÷ 2π（r = C / 2π）
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
(1)、周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法：2π r ÷ 2 即C半= π r (2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：半圆的周长=5.14 r （推导过程C半=2π r ÷ 2+d=πr+d=πr+2r =5.14 r）
三、圆的面积
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。
2、圆面积公式的推导：
(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。
(2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
3、圆面积的计算方法：
因为：长方形面积 = 长 ×宽
所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径
即 S圆 = Ｃ÷2× r＝πr × r＝πr2
圆的面积公式：S圆 =πr2
4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。(R=r+环的宽度.)
S环 = πR2 –πr2 或S环 = π(R2 –r2 )（建议用这个公式）。
5、一个圆，半径扩大或缩小n倍，直径和周长也扩大或缩小n倍；而面积扩大或缩小的倍数是n2倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大32倍即是9倍。
6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9。
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π
8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。
9、常用各π值结果：
π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7
10、外方内圆（内切圆）公式S=0.86r2 推导过程：S=S正-S圆=d2 –πr2 =2r×2r-πr2 =4r2 –πr2 =r2 ×(4-π)=0.86r2
11、外圆内方（外切圆）公式S=1.14r 推导过程：S=S圆-S正=πr -dr/2×2=2r×r/2×r=πr -2r =r ×(π-2)=1.14r （把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径）
12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。
13、S扇=S圆×n/360；S扇环=S环×n/360
14、扇形也是轴对称图形，有一条对称轴。
15、常见半径与直径的周长和面积的结果。 半径 半径的平方 直径 周长 面积

第六单元百分数
一、百分数的意义和写法
（一）、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。
（二）、百分数和分数的主要联系与区别：
联系：都可以表示两个量的倍比关系。
区别：①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位; 分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。 ②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数; 分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
（三）百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示，读作百分之。
二、百分数和分数、小数的互化
(一)百分数与小数的互化： 1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位（数位不够用0补足），同时在后面添上百分号。 2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位（数位不够用0补足），同时去掉百分号。
(二)百分数的和分数的互化 1、百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要约成最简分数。 2、分数化成百分数： ① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。 ②先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。（建议用这种方法）
(三)常见分数小数百分数之间的互化
三、用百分数解决问题
(一)一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式。 例如：例如:男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的百分之几。 列式是：15÷20=15/20=75﹪
3、已知单位“1”的量(用乘法)，求单位“1”的百分之几是多少的问题，数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
(1)百分率前是“的”： 单位“1”的量×百分率=百分率对应量
(2百分率前是“多或少”的数量关系： 单位“1”的量×(1±百分率)=百分率对应量
4、未知单位“1”的量(用除法)，已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。 方法与分数的方法相同。
解法： (1)方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。
(2)算术(用除法)： 百分率对应量÷对应百分率 = 单位“1”的量
5、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与分数的方法相同。只是结果要写为百分数形式。
看百分率前有没有比多或比少的问题； 百分率前是“多或少”的关系式： （比少）：具体量÷ (1-百分率)= 单位“1”的量； 例如:大米有50千克，比面粉树少50﹪，面粉有多少千克。 列式是：50÷（1-50﹪）
（比多）：具体量 ÷ (1+百分率)= 单位“1”的量 例如:工人做110个零件，比原计划多做了10﹪，原计划做多少个？ 列式是：110÷（1+10﹪）
6、求一个数比另一个数多百分之几的方法：方法与分数的方法相同。 用两个数的相差量÷单位“1”的量 =百分之几 即①求一个数比另一个数多百分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为百分数形式。 甲比乙多几分之几的问题，方法A，（甲-乙）÷乙 （建议用） 方法B，甲÷乙-100﹪ 例如：老师计划改40本作业，实际改了50本，实际比计划多改了百分之几？ 列式是：（50－40）÷40=0.25=25﹪ ②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为百分数形式。 乙比甲少几分之几的问题，方法A,（甲-乙）÷甲（建议用） 方法B， 100﹪-乙÷甲 例如：张三家用了100度电，李四家用了90度电，李四家比张三家少用百分之几？ （100－90）÷100=0.1=10﹪ 说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位“1”不同。
7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之几，用a﹪÷（1±a﹪） 8、求价格先降a﹪又上升a﹪后的价格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假设原来的价格为“1”。求变化幅度（求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用1-降价后又上升的百分率。

第七单元：扇形统计图
一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数（单位“1”），用圆内各个扇形面积表示各部分数量与总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量与总数之间的关系。（要在统计图上写出百分率）
三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。(因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占3600的百分比。)
四、应用：
1.会观察统计图。
2、你得到什么数学信息？
可回答：①、***占总体的百分之几； ②、**占的百分比最多，**占的百分比最少；
3、你还能提什么数学问题：**和**一共占百分之几。

数学广角：数与形
1、每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积，这些算式还可以用平方数的形式来表示。 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 得出：从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方。
2、从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数（即（n2+n），或等于偶数个数乘比偶数个数大1的数即n×（n+1）。
补充内容（位置）
1、我们用数对（数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括号里面的数由左至右为列数和行数，即“先列后行”）确定点的位置。如数对(3，5)表示：(第三列，第五行) 竖排叫列(从左往右看)横排叫行(从前往后看)，先数列再数行。
2、平移时用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”来表述，平移时图形的现状不变。
3、图形左、右平移： 行不变 ；图形上、下平移： 列不变
4、（“鸡兔同笼”问题）
（1）、“鸡兔同笼”问题的特点： 题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量。
（2）、“鸡兔同笼”问题的解题方法
A假设法（1） 假如都是兔（2） 假如都是鸡； （一般假设都是大数（脚多的），再求出两个脚的相差量，用大的相差量除以小的相差量得到小数（脚少的）最后再用总的头减小数得到大数。（我们称为设大得小，设小得大） 例，有34个同学去划船，大船每船坐4人，小船每船坐2人，租12条船刚好坐满，问大船和小船各租了几条。 假设法： ①假设全部是大船则坐12×4=48(人) ②那么实际人数与大船做的人数相差48-34=14(人)， ③实际一条大船比一条小船多坐4-2=2(人) ④大的相差量÷小的相差量得到小的量（即得到小船的数量），14÷2=7（条） ⑤总的船减小的船得到大的船12-7=5（条）。(要注意单位)
B、列方程法：例有34个同学去划船，大船每船坐4人，小船每船坐2人，租12条船刚好坐满，问大船和小船各租了几条。 解：设大船有X条，则小船有12-X条